精品解析：河北衡水市武强县衡水街关中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将复数整理为标准形式即可求解. 【详解】由题意得,故复数z在复平面内对应的点为. 2. 由下列平面图形沿虚线折叠围成的几何体中存在面面垂直的有（ ） A. ②③ B. ①③ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】对4个图形依次还原成立体图形，在看是否存在面面垂直. 【详解】①沿虚线折叠围成的几何体是正三棱锥，没有面面垂直； ②沿虚线折叠围成的几何体三棱锥背面的侧面和底面垂直，②符合题意； ③沿虚线折叠围成的几何体是三棱柱，当是直三棱柱是才存在面面垂直； ④沿虚线折叠围成的几何体是长方体，存在面面垂直，符合题意. 故选：C 3. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 4. 如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】由题意， 且 ； 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为. 6. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知直观图，画出原来平面图形，计算周长即可. 【详解】解：由已知直观图，根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图， 由题意可知，，则， ，，， 所以周长为. 7. 某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（ ） A. 82.5 B. 81.5 C. 87.5 D. 85 【答案】D 【解析】 【分析】先判断第百分位数所在组，然后根据频率直方图面积之和等于确定取值. 【详解】因为，， 所以第60百分位数位于，设为， 则， 解得，即估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为. 故选：D． 8. 在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取AB的中点，由条件可得点为的外心，由平面平面，可得四面体的外接球球心为的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取AB的中点M，因，则点为的外心， 又因平面平面，平面平面， 故四面体的外接球球心必在平面内，且是的外心， 易得平面，故有， 在中，，，由正弦定理，，则， 故四面体的外接球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（ ） A. 不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B. 采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C. 在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D. 在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，. 选项B，方法一抽取时零件之间没有区别，抽取概率为. 方法二抽取时各分层概率也均为，因此两方法每一个零件被抽取概率相同. 选项C，方法二的分层抽样按照比例从不同级别的样品中抽取比随机抽样更能反映总体的特征. 选项D，和C同理. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 复数的模 B. 若复数为纯虚数，则实数 C. 已知m，，2i是关于x的方程的一个根，则 D. 若复数z满足，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数模的计算公式，可判定A正确；化简复数，根据复数的分类，列出方程，求得的值，可判定B错误；根据实系数一元二次方程性质，结合韦达定理，求得的值，可判定C正确；根据复数模的几何意义，以及圆的性质，可判定D错误. 【详解】对于A，由复数，可得，所以A正确； 对于B，由复数， 因为复数为纯虚数，可得，解得，所以B错误． 对于C，由是关于x的方程的一个根，可得是方程的另一个复数根， 由韦达定理得，可得，所以，所以C正确． 对于D，由复数满足， 可得在复平面内，复数的对应点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点Z到点的距离，且点在圆内， 且, 所以的最小值为，所以D错误． 11. 已知正方体的棱长为2，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面过点，E，F且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 截面图形是一个五边形 C. 若点I在正方形内（含边界位置），且平面，则点I的轨迹长度为 D. 截面图形的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义和判定方法，可判定A正确；根据正方体截面的性质，可判定B正确.得到线段EG为点I的轨迹，求得G，H分别为和的三等分点，求得点I的轨迹长度，可判定C错误，求得五边形的边长，得到五边形的周长，可判定D正确. 【详解】对于A，在正方体中，与既不平行也不相交， 且平面，平面，，平面， 所以直线与是异面直线，所以A正确． 对于B，延长EF，与AD的延长线交于点P，与AB的延长线交于点Q， 连接交于点G，连接交于点H， 再连接GE，HF，可得五边形为所求截面，所以B正确. 对于C，如图所示，根据题意，可得线段EG为点I的轨迹， 因为E，F分别是CD，BC的中点，所以，所以， 所以G为的三等分点，同理，H为的三等分点，则， 即点I的轨迹长度为，所以C错误. 对于D，由，，且， 则五边形的周长为，所以D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是________. 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 【答案】007 【解析】 【分析】直接由随机数表依次读取数据即可. 【详解】从表中第1行第6列开始向右读取数据，依次为253，313，457，860（舍去）， 736（舍去），253（舍去），007， 故得到的第4个样本编号是007. 故答案为：007 13. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的高是______，其外接球表面积为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径，再利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 即该正四棱台的高为， 设外接球球心P到下底面中心O的距离为x，则P到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为R，则． 展开并化简：（负值舍去）， 则， 所以外接球表面积：. 14. 在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，在长方体表面确定P的轨迹，应用弧长公式计算轨迹长度. 【详解】因为，故在以为球心，半径为的球面上， 而点在长方体各面上，故在各面上的轨迹为圆弧， 如图，在矩形，因为，，故， 故，故， 同理，故， 因为，故，故，故， 故. 同理，，故，， 综上，点的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）因为，由正四棱柱，可知为点到平面的高，结合已知，即可求得答案； （2）取AD的中点Q，连接NQ，BQ，证明且，可得为异面直线MN与所成角(或其补角)，求解三角形可得再由余弦定理可得异面直线MN与所成角的余弦值. 【详解】（1）， 在正四棱柱中 平面，即为点到平面的高 （2）取的中点Q，连接， N为的中点 且， M为的中点， ，且 且 四边形是平行四边形， 且 同理可证且 且 为异面直线与所成角(或其补角). 在正方形中，，E为中点 . 异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】关键点睛：本题考查了求异面直线夹角问题，解题关键是将求两条异面直线夹角问题转化为求共面直线夹角，结合余弦定理进行求解. 16. 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【解析】 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【小问1详解】 证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； 【小问2详解】 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 17. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可; （2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可. 【小问1详解】 因为,,且, 所以, 由正弦定理可得:，即, 由余弦定理得:，所以, 又,所以. 【小问2详解】 因为, 由三角形面积公式得:，解得, 因为D为边的中点，所以， 在中，， 即，所以. 18. 如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥． （1）求证：； （2）若F为中点，且，求二面角的余弦值； （3）若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）先由二面角的定义得到是二面角的平面角，然后利用余弦定理解三角形可得结果； （3）设，则，以为底，三棱锥的高的最大值为，然后利用三棱锥体积公式表示三棱锥的体积，利用二次函数的最值可得结果. 【小问1详解】 ，，， 将沿折起，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，. 【小问2详解】 由（1）可知，，，二面角的平面角为， 由F为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由D为中点，得，设，则， 以为底的三棱锥的高为点到底面的距离，则距离的最大值为， 所以三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为. 19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． （1）证明：平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值. （3）设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求三棱锥E-HBD的外接球的表面积． 【答案】（1）证明见解析，四面体EBCD是鳖臑，四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面，进而，再由，能证明平面；由平面，平面，能得到四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是． （2）由是阳马的高，得到；由是鳖臑的高，得到，由此能求出的值． （3）由面EDB与面ABCD所成二面角求出，再算出的外接圆半径与圆心到相关点的距离，设外接球球心到平面的距离，分球心与异侧、同侧两种情况列方程求，得到外接球半径，再利用球的表面积公式算出结果. 【小问1详解】 证明：因为底面ABCD，平面ABCD，所以， 因为ABCD为长方形，所以， 因为，平面PCD， 所以平面PCD，因为平面PCD，所以， 因为PD=CD，点E是PC的中点，所以， 因为，平面PBC，所以平面PBC， 由平面PCD，平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD是一个鳖臑， 其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； 【小问2详解】 解：由已知，PD是阳马P-ABCD的高， ， 由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，， ， 在中，，点E是PC的中点， ， ． 【小问3详解】 解：取DC中点F，连接EF，过F作，连接EG； 因为E，F是PC，DC中点，所以，又平面， 所以平面ABCD，平面ABCD， 所以，又因为，，平面EFG， 所以平面EFG，所以∠EGF就是面EDB与面ABCD所成二面角的平面角： 设，又因为，所以，所以， 所以，又EF=1，得 所以，解得， 因为CD=2，，所以，，； 所以，； 设的外接圆半径为r，外接圆圆心为O， 则，， 过点O作，，垂足分别为M，K，连接OF， 则，， 又DF=1，所以，所以， 设球心为，设，若球心和点E位于平面DHB异侧， 则， ，三棱锥E-HBD的外接球的半径为， ， 若球心和点E位于平面DHB同侧， 则 解得（舍去）． 综上，三棱锥E-HBD的外接球的表面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点为（ ） A. B. C. D. 2. 由下列平面图形沿虚线折叠围成的几何体中存在面面垂直的有（ ） A. ②③ B. ①③ C. ②④ D. ①④ 3. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 4. 如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（ ） A. 82.5 B. 81.5 C. 87.5 D. 85 8. 在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（ ） A. 不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B. 采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C. 在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D. 在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 复数的模 B. 若复数为纯虚数，则实数 C. 已知m，，2i是关于x的方程的一个根，则 D. 若复数z满足，则的最小值为 11. 已知正方体的棱长为2，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面过点，E，F且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 截面图形是一个五边形 C. 若点I在正方形内（含边界位置），且平面，则点I的轨迹长度为 D. 截面图形的周长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，若从下图提供随机数表中第1行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是________. 84 42 12 53 31  34 57 86 07 36  25 30 07 32 86  23 45 78 89 07  23 68 96 08 04 32 56 78 08 43  67 89 53 55 77  34 89 94 83 75  22 53 55 78 32  45 77 89 23 45 13. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的高是______，其外接球表面积为______ 14. 在长方体中，，，，长方体表面上的动点满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 17. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 18. 如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥． （1）求证：； （2）若F为中点，且，求二面角的余弦值； （3）若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值． 19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱底面ABCD，且PD=CD=2，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． （1）证明：平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值. （3）设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求三棱锥E-HBD的外接球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $