河北保定市第三中学2025-2026学年第二学期高一（1+3项目班）6月学业素养评估创新项目数学试卷

保定三中2025—2026学年第二学期6月学业素养评估 2024级创新项目数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线的倾斜角为（ ） A．0 B． C． D． 2．与的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 3．在正方体中，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D． 6．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A． B． C． D． 8．设动直线与交于，两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线的方程可以是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9．已知直线与直线之间的距离为2，则（ ） A．3 B．13 C．-3 D．7 10．若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．如图，已知正方体，为的中点，为的中点，点在线段（含端点）上运动，则以下结论正确的是（ ） A．无论点在何处，总有 B．存在点，使得截面恰好过点 C．点从到运动时，点到平面的距离越来越小 D．点从到运动时，平面与平面所成的锐二面角越来越大 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 13．过点与圆相切的直线方程为_________． 14．已知点是直线上一点，则的最小值是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分）已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的一般方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的一般方程． 16．（本小题15分）已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的一般方程． 17．（本小题15分）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，点，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值． 18．（本小题17分）如图，四棱锥的底面是正方形，，，是的中点，． （1）证明：平面平面； （2）若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小． 19．（本小题17分）设，，，圆过，，三个点． （1）求圆的方程； （2）设点，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求．实数的取值范围； （3）设斜率为的直线与圆相交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级创新项目6月素养评估数学答案解析 1．D 2．C 3．B 4．C 5．D 6．A 7．C 8．D 9．BC 10．ABC 11．ACD 12． 13．或 14．5 15．解：（1）由得所以点， 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 则直线的方程为； （2）当直线过原点时，直线在轴上与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为； 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 16．解：（1）设圆心，因为圆经过点，且与直线相切， 所以， 化简得，解得， 则圆心，半径， 所以圆的标准方程为． （2）由题意知，圆心到直线的距离． 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，显然满足题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得， 则直线的方程为，即． 综上可得，直线的方程为或． 17．解：（1）证明：以为坐标原点，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以 令，则，故， 所以，又平面，所以平面； （2）由（1）知，设平面的一个法向量为， 由（1）可得，， 所以 令，则，，所以， 又，所以点到平面的距离，即点到平面的距离为； （3）由（1）知平面的一个法向量为， 由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则， 所以，即二面角的正弦值为． 18．解：（1）证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以， 在中，因为，，所以， 因为，所以，即， 因为，，，所以，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）得，，，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，． 设平面的法向量为， 则，则， 即，令，可得． 设直线与平面所成的角为，则， 解得，故直线与平面所成的角为． 19．解：（1）由题意可得，圆心为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，线段的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为． 即，又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为． （2）设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交， 又，则， 解得． （3）设直线的方程为，，，， 由得，所以，， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $