精品解析：2026年河南部分县区学校九年级5月中招联考模拟预测数学试题

2026年河南省普通高中招生考试模拟试题 数学 注意事项： 1．本试卷共三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 2. 灯塔专业版数据显示，2026年大年初一大盘票房达12.72亿元，《飞驰人生3》单日票房突破6亿元．其中数据“12.72亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算结果等于的是（ ） A. （8个a） B. （8个a） C. （4个） D. 6. 如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 8. 一个不透明的口袋中有个除标号外其余均相同的小球，分别标有数字，，，，充分混合后随机摸出一个小球记下标号，放回后混合随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和等于的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O的对应点C恰好落在x轴上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 智能物联给我们的生活提供了诸多便利，如图甲是一个智能照明灯的工作原理图．工作电路中灯泡L的规格均为“”；控制电路中的电源电压大小可调，是光敏电阻，其阻值随光照强度（光照强度的单位为，光越强光照强度越大）变化的图像如乙图所示．当天色变暗，光敏电阻上的光照强度小于或等于 时，工作电路启动，电灯L发光．电磁铁线圈的电阻忽略不计．电流（），电压（）和电阻（）之间的关系为，则以下说法错误的是（ ） A. 当天色变暗，光敏电阻的阻值将变大 B. 光照强度与光敏电阻的关系不是反比例关系 C. 当工作电路启动，光敏电阻的阻值为 D. 当天色逐渐变暗时，控制电路中的电流将增大 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：_____． 12. 小明在一次中考体育模拟测试成绩得分情况如表，4项成绩按照如图所示的比例确定最终成绩．则小明的最终成绩为_____分． 测试项目 1000米跑 一分钟跳绳 立定跳远 篮球技能 测试成绩（分） 95 90 100 100 13. 计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 14. 如图，中，，，，以点为圆心，的长为半径在的右侧作弧，交延长线于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分面积为_______． 15. 定义：若一个三角形中，两边平方和等于第三边平方的4倍，那么我们把这样的三角形叫作“奋进三角形”例如：某三角形三边长分别是，和，因为 ，所以这个三角形是“奋进三角形”．如图，中，，，点D为的中点，连接，若是“奋进三角形”，则的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 跑和跑是河南中招考试体育加试的必考项目，寒假前夕，体育刘老师安排九年级学生在寒假期间坚持每天至少个小时的长跑，为了解学生完成长跑每天平均时长情况（单位：），分别从九年级一班和二班中各随机抽取了名学生进行调查，并将调查结果进行收集整理与分析，信息如下： 收集数据： 一班：，，，，，，，，，； 二班：，，，，，，，，，． 整理、分析数据： 平均数 中位数 众数 一班 二班 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）已知小明每天平均时长为 ，通过调查了解到，他每天平均时长比他所在班级半数以上学生用时都少，请判断他所在的班级，并说明理由； （3）若该校九年级共有名学生，请估计该校九年级学生每天平均时长不超过的人数． 18. 如图，中，，，，是的中线． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①过点C在的右侧作； ②在射线上截取，连接； （2）求证：四边形是菱形． 19. 打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． （1）求第一次煅烧和锻造的函数解析式； （2）求第一次锻造操作的时长； （3）求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 20. 中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 （1）商场购进两种材质的中国象棋各几件？ （2）若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 21. 如图1是大型摩天轮的图片，小明、小亮和小红去乘坐摩天轮，如图2，摩天轮中，钢架和支架支撑整个摩天轮，为水平地面，点在点的正下方水平地面上，点在上，当小明乘坐的座舱在点时，小亮乘坐的座舱恰好在点，且，小红在点处等待乘车，已知的直径为． （1）如图2，当，，恰好在一条直线上时，从点看点的仰角为，判断与的数量关系并证明； （2）由于人多，小红一直未登上摩天轮，如图3，当小红的视线恰好为的切线时，从点看点的仰角为，求此时小亮距地面的高度． 22. 抛物线经过和两点． （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向左平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出n的值． 23. 等边三角形中，点P为边上不与A，B重合的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若点P为的中点，请判断线段与线段的数量关系为_____； （2）如图2，若点P为上任意一点时，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省普通高中招生考试模拟试题 数学 注意事项： 1．本试卷共三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：冷藏室比冷冻室温度高 ． 2. 灯塔专业版数据显示，2026年大年初一大盘票房达12.72亿元，《飞驰人生3》单日票房突破6亿元．其中数据“12.72亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：12.72亿． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面往下看得到的视图． 【详解】从上往下看到的视图为：． 4. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行的性质得到，再由三角形外角的性质运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5. 下列计算结果等于的是（ ） A. （8个a） B. （8个a） C. （4个） D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方的定义和同底数幂的除法法则即可求解，依次计算每个选项的结果即可得出答案. 【详解】解：A、个相加，结果为 ，不等于， ∴A错误； B、根据乘方的定义，个相乘的结果为，符合要求， ∴B正确； C、个相加，结果为，不等于， ∴C错误； D、根据同底数幂除法法则，，不等于， ∴D错误． 6. 如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 7. 方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式判断根的情况．根据，方程没有实数根，即可求解． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∵， ∴方程没有实数根． 故选：D． 8. 一个不透明的口袋中有个除标号外其余均相同的小球，分别标有数字，，，，充分混合后随机摸出一个小球记下标号，放回后混合随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和等于的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和等于的情况，再利用概率计算公式计算即可． 【详解】解：画出树状图得： ∵共有种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和等于的有情况， ∴两次摸出的小球的标号之和等于的概率是：， 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，注意小球放回与不放回的区别，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键． 9. 如图，平面直角坐标系中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O的对应点C恰好落在x轴上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作轴于点E，过点A作轴于点F，解求出，根据折叠的性质得，，，则，再根据等腰三角形三线合一的性质得，解求出，即可得解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，过点A作轴于点F， ∵点B的坐标为， ∴， 在中，，， ∴，， 根据折叠的性质得，，， ∴，， ∴， ∴在中，，， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为． 10. 智能物联给我们的生活提供了诸多便利，如图甲是一个智能照明灯的工作原理图．工作电路中灯泡L的规格均为“”；控制电路中的电源电压大小可调，是光敏电阻，其阻值随光照强度（光照强度的单位为，光越强光照强度越大）变化的图像如乙图所示．当天色变暗，光敏电阻上的光照强度小于或等于 时，工作电路启动，电灯L发光．电磁铁线圈的电阻忽略不计．电流（），电压（）和电阻（）之间的关系为，则以下说法错误的是（ ） A. 当天色变暗，光敏电阻的阻值将变大 B. 光照强度与光敏电阻的关系不是反比例关系 C. 当工作电路启动，光敏电阻的阻值为 D. 当天色逐渐变暗时，控制电路中的电流将增大 【答案】D 【解析】 【详解】A：当天色变暗，光照强度减小，此时电阻变大，故A说法正确，不符合题意； B：当光照强度为时，电阻为，当光照强度为时，电阻为，，因此光照强度与光敏电阻的关系不是反比例关系，故B说法正确，不符合题意； C：当光照强度为时，电阻为，故C说法正确，不符合题意； D：光照强度降低时，电阻变大，因此在中，会变小，故D说法错误，符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：_____． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据求不等式组解集的规律：同大取大，可确定的取值范围，在取值范围内任取一个值即可. 【详解】解：不等式组的解集为，根据同大取大的原则，可得， 取，满足题意． 12. 小明在一次中考体育模拟测试成绩得分情况如表，4项成绩按照如图所示的比例确定最终成绩．则小明的最终成绩为_____分． 测试项目 1000米跑 一分钟跳绳 立定跳远 篮球技能 测试成绩（分） 95 90 100 100 【答案】96.5 【解析】 【分析】根据加权平均数的运算方法运算即可． 【详解】解：（分）． 13. 计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知数据得到的个位数字以四个一组循环，通过计算指数除以周期的余数，即可得到的个位数字． 【详解】解：由题意，可知的个位数字以四个一组循环， ， 的个位数字是循环组中的第2个数字，即为． 14. 如图，中，，，，以点为圆心，的长为半径在的右侧作弧，交延长线于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分面积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用含角直角三角形的性质，得到的长，结合勾股定理求出；再由运算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴ ． 15. 定义：若一个三角形中，两边平方和等于第三边平方的4倍，那么我们把这样的三角形叫作“奋进三角形”例如：某三角形三边长分别是，和，因为 ，所以这个三角形是“奋进三角形”．如图，中，，，点D为的中点，连接，若是“奋进三角形”，则的面积为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得，然后分两种情况：当时；当时；分别求出的长，进而求出答案． 【详解】∵中，，，点D为的中点，是“奋进三角形”， ∴， 分以下两种情况： 当时， 解得：， 则， 故， 则的面积为：； 当时， 解得：， 则， 故， 则的面积为：． 综上所述，的面积为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 跑和跑是河南中招考试体育加试的必考项目，寒假前夕，体育刘老师安排九年级学生在寒假期间坚持每天至少个小时的长跑，为了解学生完成长跑每天平均时长情况（单位：），分别从九年级一班和二班中各随机抽取了名学生进行调查，并将调查结果进行收集整理与分析，信息如下： 收集数据： 一班：，，，，，，，，，； 二班：，，，，，，，，，． 整理、分析数据： 平均数 中位数 众数 一班 二班 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）已知小明每天平均时长为 ，通过调查了解到，他每天平均时长比他所在班级半数以上学生用时都少，请判断他所在的班级，并说明理由； （3）若该校九年级共有名学生，请估计该校九年级学生每天平均时长不超过的人数． 【答案】（1），， （2）小明所在的班级为一班，理由如下： 小明每天平均时长为 ，他每天平均时长比他所在班级半数以上学生用时都少， 小明的时长一定低于其所在班级的中位数， ， 小明所在的班级为一班； （3）人 【解析】 【分析】（1）根据平均数的公式求出的值；根据中位数的定义求出的值；根据众数的定义求出的值； （2）小明每天平均时长为 ，他每天平均时长比他所在班级半数以上学生用时都少，所以小明的时长一定低于其所在班级的中位数，所以小明所在的班级为一班； （3）抽查的名学生中每天锻炼时长不超过的学生所占比例为，用样本百分比代替总体百分比求出该校九年级名学生，每天平均时长不超过的人数． 【小问1详解】 解： ； 把一班学生的锻炼时间按照从小到大排列可得：，，，，，，，，，， 其中第和第个同学的锻炼时间为和， 一班学生锻炼时间的中位数为 ； 二班学生的锻炼时长出现次数最多的是，共出现了次， 二班学生锻炼时间的众数是 ； 【小问2详解】 解：小明所在的班级为一班， 理由如下： 小明每天平均时长为 ，他每天平均时长比他所在班级半数以上学生用时都少， 小明的时长一定低于其所在班级的中位数， ， 小明所在的班级为一班； 【小问3详解】 解：抽查的名学生中每天锻炼时间不超过的学生有人，占抽查总人数的， 该校九年级共有名学生，每天锻炼时间不超过的学生大约有 人． 18. 如图，中，，，，是的中线． （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①过点C在的右侧作； ②在射线上截取，连接； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）①：如图，即为所求， ②：如图，线段即为所求； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）①：在上作一个角等于即可； ②：量取的长，在上截取即可； （2）利用勾股定理的逆定理推出为直角三角形，得到，，证明四边形是平行四边形，再由，证明四边形是菱形． 【小问1详解】 ①：以为圆心作一段弧，分别交，于点，；保持弧度的开口大小不变，以点为圆心作一段弧，交于点；用圆规量取的长度，以为圆心作弧交以点为圆心的弧于点，则此时，，即，可得到； ②用圆规量取的长，以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接． 【小问2详解】 略 19. 打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． （1）求第一次煅烧和锻造的函数解析式； （2）求第一次锻造操作的时长； （3）求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【答案】（1）（）；（） （2）10 （3）25.1 【解析】 【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为与，再结合图象找出其经过的点，最后利用待定系数法求解即可； （2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出与时的自变量取值，再作差求解即可； （3）设第二次煅烧时的函数解析式为，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到，再结合图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当时，自变量的值，即可解题． 【小问1详解】 解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系， 设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点， 即，解得， 即（）， 第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系， 设此时函数解析式为， 由图象可知，该函数经过点，即，解得， 即（）； 【小问2详解】 解：当时，，解得：， 当时，， （）， 所以第一次锻造操作的时长是10； 【小问3详解】 解：每次煅烧温度上升的速度相同， 设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为， 由题意得，即函数解析式为，此函数经过点， 代入可得，， ，即， 当时，， 所以第二次开始锻造的时间约为第25.1． 20. 中国象棋，在中国拥有广泛的群众基础，北宋晁补之《广象戏格·序》说：“象戏兵戏也，黄帝之战，驱猛兽以为阵，象，兽之雄也．故戏兵以象戏名之．”这一下子将发明象棋的时间推到了5000多年前的黄帝时期．某商场花费4800元从厂家购买了A，B两种材质的中国象棋220件，每件中国象棋的批发价及零售价如表： 批发价（元） 零售价（元） A材质中国象棋 25 45 B材质中国象棋 20 35 （1）商场购进两种材质的中国象棋各几件？ （2）若商场再次购进两种材质的中国象棋300件，其中A材质中国象棋的数量不多于B材质中国象棋数量的2倍，请设计一个方案：商场购进A材质中国象棋多少件时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件 （2）商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元 【解析】 【分析】（1）设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件，根据花费钱数和总件数列二元一次方程组，求出x、y的值； （2）设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元，列出一次函数，确定自变量a的取值范围，根据一次函数增减性确定a的值和最大利润． 【小问1详解】 解：设商场购进A材质中国象棋x件，B材质中国象棋y件， 依题意，得：， 解得：． 答：商场购进A材质中国象棋80件，B材质中国象棋140件； 【小问2详解】 设商场再次购进A材质中国象棋a件，则B材质中国象棋件，获得的利润为w元， 则， 由题意得， 解得， ，， w随a的增大而增大． 当时，利润最大，最大值为（元）． 故商场购进A材质中国象棋200件时获得最大利润，最大利润是5500元． 21. 如图1是大型摩天轮的图片，小明、小亮和小红去乘坐摩天轮，如图2，摩天轮中，钢架和支架支撑整个摩天轮，为水平地面，点在点的正下方水平地面上，点在上，当小明乘坐的座舱在点时，小亮乘坐的座舱恰好在点，且，小红在点处等待乘车，已知的直径为． （1）如图2，当，，恰好在一条直线上时，从点看点的仰角为，判断与的数量关系并证明； （2）由于人多，小红一直未登上摩天轮，如图3，当小红的视线恰好为的切线时，从点看点的仰角为，求此时小亮距地面的高度． 【答案】（1）； 证明：过作，交于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）过作，交于点，利用角的转化求出，得到，证明是等腰直角三角形，即，通过，即可求解； （2）延长交于点，证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，证明四边形是平行四边形，得到，用勾股定理求出的长，用三角函数的比值关系求出的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵，，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵摩天轮直径为， ∴， ∴， ∴， ∴即此时小亮所在处到地面的距离为 22. 抛物线经过和两点． （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向左平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出n的值． 【答案】（1） （2） ；抛物线图象如图所示： （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标，进而画出图象即可； （3）根据函数平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式 ，进而得到函数的对称轴为直线，函数图象开口向下，然后结合函数最大值与最小值情况分情况讨论计算，进而可以得解． 【小问1详解】 解：（1）把和两点代入可得， ，解得， ； 【小问2详解】 解：， 二次函数图象的顶点坐标为； 图见答案； 【小问3详解】 解：将二次函数的图象向左平移n个单位长度， ， 函数的对称轴为直线， 当时，， 当时， ， 当时，即， 函数的最大值为，最小值为， ， 解得（舍）； 当 时，即， 函数的最大值为，最小值为， ， 解得（舍）； 当时，即， 函数的最大值为4，最小值为， 解得或（舍）； 当 时，即， 函数的最大值为4，最小值为， ， 解得（舍）或； 综上所述：n的值为或． 23. 等边三角形中，点P为边上不与A，B重合的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若点P为的中点，请判断线段与线段的数量关系为_____； （2）如图2，若点P为上任意一点时，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）不变，理由见解析 （3）2或4 【解析】 【分析】（1）连接，由旋转得到是等边三角形，再根据等边三角形，即可证明，得到； （2）连接，由旋转得到是等边三角形，再根据等边三角形，即可证明，得到； （3）过作于点，在（2）的条件下，，由等边三角形中，，得到，，则， ，再根据当在左边或右边分情况讨论． 【小问1详解】 解：连接 ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：不变，理由如下：连接， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过作于点， 在（2）的条件下，， ∵等边三角形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴当在左边时，； 当在右边时，； ∴的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $