数学归纳法 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数学归纳法专题，依据高考评价体系梳理定义、两步递推及应用三大核心考点，通过近五年真题分析明确不等式证明、整除问题、几何计数、归纳猜想四大常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“诊断-精讲-演练”三阶备考模式，如例2整除证明中“分离归纳假设”技巧，例4通过前n项和观察猜想培养逻辑推理与数学运算素养。配套高考真题变式训练及易错点警示，助力学生掌握得分关键，教师可据此实现精准复习指导。

高三一轮复习：数学归纳法 知识点 数学归纳法 数学归纳法的定义：一个与自然数有关的命题,如果 （1）当 时，命题成立; （2）在假设（其中 ）时命题成立的前提下,能够推出 ______时命题也成立. 那么，这个命题对大于等于 的所有自然数都成立. 在上述定义中，（1）是（2）的基础，即只有确定了 时命题成立， 后续的推导才会有意义. 课 前 预 习 2 【诊断分析】 1.数学归纳法证明的第一步中的初始值 只能是1吗？ 解：数学归纳法证明的第一步中的初始值 应根据命题的具体情况 来确定,不一定是1.如用数学归纳法证明凸 边形的内角和为 时,其初始值 . 课 前 预 习 3 2.运用数学归纳法证明有关命题要注意哪些方面? 解：（1）两个步骤、一个结论缺一不可. （2）第二步中,证明“当 时命题成立”的过程中,必须利用“归 纳假设”,即必须用上“当 时命题成立”这一条件,没有运用“归纳假 设”的证明不是数学归纳法. （3）在第二步的证明中,“当 时命题成立”这一归纳假设起着已 知条件的作用,“当 时命题成立”则是求证的目标,在这一步中, 一般要先凑出归纳假设里给出的形式,以便利用归纳假设. 课 前 预 习 4 探究点一 用数学归纳法证明（不）等式问题 例1 用数学归纳法证明： . 证明：先证明 . ①当时，左边,右边 ， 左边 右边，故当 时，不等式成立． ②假设当 时，不等式成立，即 ， 课 中 探 究 5 则 下面证明 ， 只需证 ， 只需证 ， 只需证 ， 此不等式显然成立，所以当 时不等式也成立． 由①②可知， . 再证明 . 课 中 探 究 ③当时，左边，右边，左边 右边，故当 时，不 等式成立. ④假设当 时，不等式成立，即 ， 则 ， 因为，所以 ， 所以 , 所以当 时，不等式也成立. 由③④可知， . 综上可得， . 课 中 探 究 ［素养小结］ 用数学归纳法证明等式的考题，意在考查逻辑推理、数学运算的核心 素养，求解时需过双关：一是“看项关”，即看清等式两边的构成的规 律，等式的两边各有多少项，项的多少与<m></m>的取值是否有关；二是“归 纳递推关”，利用归纳假设，证明从<m></m>到<m></m>，等式都成立. 课 中 探 究 8 探究点二 用数学归纳法证明平面几何和整除问题 例2 求证：对任意的， 能被64整除. 证明：（1）当时， 能被64整除，命题成立. （2）假设当时， 能被64整除, 则当 时， ， 因为， 均能被64整除， 所以 能被64整除， 即当 时，命题也成立. 由可知，对任意， 能被64整除. 课 中 探 究 9 例3 证明：凸边形的对角线的条数为 ， . 证明：①当 时，凸四边形有2条对角线， ，命题成立. ②假设当时，命题成立，即 ， 则当 时，增加了1个顶点，凸多边形的对角线增加了 条， 则 ， 即当 时，命题也成立. 由①②可知，命题对任意， 都成立. 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 解决整除性问题的关键是从要证的式子中拼凑出假设成立的式子， 再证明剩余的式子也能被某式（数）整除.在几何问题中，常用到与 正整数<m></m>有关的几何证明，包括交点个数、内角和、将平面分成若干 部分等问题，利用数学归纳法证明时，关键是“找增量”，即几何元 素从<m></m>个变成<m></m>个时，所证的几何量将增加多少.证题时可以先 用<m></m>得出结果，再结合几何图形给予严谨的证明. 课 中 探 究 11 探究点三 归纳、猜想及用数学归纳法证明 例4 已知数列，， ，，为该数列的前 项和. （1）计算，，， ； 解：， ， ，， . 课 中 探 究 12 例4 已知数列，， ，，为该数列的前 项和. （2）根据计算结果，猜想 的表达式，并用数学归纳法证明. 解：猜想 . 用数学归纳法证明如下： ①当时， ，猜想成立； ②假设当时，猜想成立，即 ， 课 中 探 究 13 ， 所以当 时，猜想也成立. 由①②可知，对于任意的， 都成立． 课 中 探 究 变式 已知数列满足关系式 ， . （1）用表示，， ； 解： ， ， . 课 中 探 究 15 变式 已知数列满足关系式 ， . （2）猜想的表达式（用和 表示），并用数学归纳法证明. 解：猜想 ，下面用数学归纳法证明： ①当时， ，猜想成立. ②假设当 时猜想成立，即 ， 则当 时， 课 中 探 究 16 ， 所以当 时，猜想也成立. 由①②可知，对一切 猜想都成立. 课 中 探 究 ［素养小结］ 归纳、猜想及用数学归纳法证明的考题，意在考查逻辑推理、数学 运算的核心素养.破解关键：一是先根据已知不等式或数列的前几项， 观察其规律，归纳出结论，即猜想出结论；二是利用数学归纳法， 对所猜想的结论进行证明，从而得出猜想是正确的. 课 中 探 究 18 1.用数学归纳法证明 这一不等式时,应注意( ) A. B., C., D., [解析] 当,,时,显然不等式不成立,当 时,不等式 成立,故用数学归纳法证明 这一不等式时,应注意 , .故选D. √ 课 堂 评 价 19 2.用数学归纳法证明等式 时，从 到 等式左边需增添的项是( ) A. B. C. D. [解析] 当时，左边，共 个 连续自然数相加，当 时， 左边，所以从 到，等式左边需增添的项是 .故选C. √ 课 堂 评 价 20 3.现有命题： ， 用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是( ) A.不能用数学归纳法判断此命题的真假 B.此命题一定为真命题 C.此命题加上条件 后才是真命题，否则为假命题 D.存在一个无限大的常数，当 时，此命题为假命题 [解析] ①当时，左边，右边，左边 右边，等式成立. ②假设当 时，等式成立， √ 课 堂 评 价 21 ， 时， ， 即当时，等式也成立. 由①②可知，对任意 ，等式 恒成立. 故选B. 课 堂 评 价 4.用数学归纳法证明，假设当 时， 不等式成立，则当 时，应推证的目标不等式是 _ ___________________________________. [解析] 观察不等式中分母的变化便知. 课 堂 评 价 23 1.如何正确使用数学归纳法 用数学归纳法证明的关键在于“两个步骤要做到,递推基础不可少,归 纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.因此必须注意以下三点： （1）验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数,这个 就是我 们要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此 “找准起点,奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题. 新 知 拓 延 24 （2）递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“”到“ ”的过程,必 须把归纳假设“”时的命题成立作为条件来导出“ ”时的 命题成立,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次. 新 知 拓 延 25 （3）正确寻求递推关系 ①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递 推关系是有帮助的. ②探求数列通项问题要善于观察式子或命题的变化规律,观察 处在 哪个位置. ③在书写时,一定要把包含的式子写出来,尤其是 中 的最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚. 新 知 拓 延 26 2.使用数学归纳法证明问题的题型与技巧 （1）数学归纳法的题型：①证恒等式;②整除性的证明;③探求平面 几何中的问题;④探求数列的通项;⑤不等式的证明. （2）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题的关键在于 “看项”,弄清两边的构成规律,等式两边各有多少项,项的多少与 的取 值的关系,从到 时,等式的两边会增加多少项、增加怎 样的项. 新 知 拓 延 27 （3）用数学归纳法证明不等式常用放缩法,即在假设的基础上,通过 放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式. （4）用数学归纳法证明整除时,常从中分离出 或利用 的差能被整除,使问题简化. （5）探索性问题中,通过观察 分析 归纳 猜想,探索一般规律, 再用数学归纳法证明. 新 知 拓 延 28 1.没有给出猜想信息,先创造条件得出结论,再证明. 例1 给出下列等式： ； ； ； . 根据给出的等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论，并证明你的 猜想. 备 课 素 材 29 解：由题意猜想： , . 下面利用数学归纳法进行证明： （1）当 时，猜想显然成立. （2）假设当 时等式成立，即 ， 备 课 素 材 30 ， 所以当 时猜想成立. 根据 可知对任意正整数猜想均成立. 备 课 素 材 2.赋值、猜想、证明. 例2 已知是定义在上的不恒为零的函数,且对任意的, 都 满足,若, ,求证： . 分析：用归纳的思想方法,通过赋值、计算、猜想、证明四步完成. 证明：令, , 当时, ; 当时, ; 当时, ; …… 猜想 备 课 素 材 32 用数学归纳法证明如下： （1）当时,, 式成立. （2）假设当时式成立,即 ,则当 时, , 当时, 式成立. 由知,对, 成立， . 要证明结论成立,只需证明 , , . 备 课 素 材 3.求值、猜想、证明. 例3 已知，， . （1）当，2，3时，试比较与 的大小关系； 解：当时，，，所以 ； 当时，，，所以 ； 当时，，，所以 . 备 课 素 材 34 例3 已知，， . （2）猜想与 的大小关系，并给出证明. 解：由（1）猜想： ，用数学归纳法证明. ①当 时，不等式显然成立. ②假设当 时不等式成立，即 ，则当 时， ， 备 课 素 材 35 因为 ， 所以 . 由①②可知，对一切，都有 成立. 备 课 素 材 练习册 37 一、选择题 1.某个与正整数有关的命题,如果当 时该命题成立,那 么当时该命题也成立,现已知当 时命题不成立,那么可 推得( ) A.当时该命题不成立 B.当 时该命题不成立 C.当时该命题成立 D.当 时该命题成立 [解析] 由题意，如果当 时该命题成立，那么当 时该命题也成立，所以若时命题不成立，则 时 命题不成立（否则当 时命题成立）.故选A. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 2.用数学归纳法证明 时，第 一步应验证不等式( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得，当时，不等式为 .故选B. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 3.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被 整除”，第 二步归纳假设应该写成( ) A.假设当时，能被 整除 B.假设当时，能被 整除 C.假设当时，能被 整除 D.假设当时，能被 整除 [解析] 为正奇数，， .故选D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 4.用数学归纳法证明“ ”时，假设当 时不等式成立，则当 时，不等式左边增加的 项为( ) A. B. C. D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 [解析] 当 时，不等式左边为 ,当 时，不等式左边为 ,故不等式左边增加的项为 .故选D. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 5.在数列中，，且，通过求，， ， 猜想 的表达式为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，，所以. 当 时，，所以. 故猜想 .故选C. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 6.设是定义在正整数集上的函数，且满足“当 成立 时，总可推出 成立”，那么下列说法正确的是 ( ) A.若成立，则当时，均有 成立 B.若成立，则当时，均有 成立 C.若成立，则当时，均有 成立 D.若成立，则当时，均有 成立 √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 [解析] 若成立，则当时，均有 成立，但不 能确定当,2时，是否成立，故A错误； 若 成立，则当时，均有成立， 但不能确定当 时是否成立，故B错误； 由题意知，若 成立，则当时，均有成立， 故C错误； ，则当时，均有 成立，故D正确.故选D. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 7.［2024·山东青岛高二期中］已知数列的前项和 ，数 列满足，是数列的前 项和，若 ，则与 的大小关系是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以, ， 又也满足上式,所以，所以 ， 所以 ， . √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 下面利用数学归纳法证明不等式 当 时，左边，右边，左边 右边，不等式成立. （2）假设当 时，不等式成立，即， 则当 时， ，即当时，不等式成立. 由可知不等式对任意正整数 都成立，所以 ，因为 ，所以， 所以 .故选C. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.（多选题）用数学归纳法证明对任意 的 自然数都成立，则以下满足条件的 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 取，则,，不成立； 取 ，则,，不成立； 取，则 ,，成立； 取，则, ，成立.故选 . √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 9.（多选题）以下四个命题，其中满足“假设当 时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当 （是题中给定的 的初始值）时命题成立”的是( ) A. B. C.凸边形的内角和 D.凸边形的对角线条数 [解析] 对于A，，当时，有 ， 故当 为给定的初始值时命题成立，故A不满足题意； √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 对于B，假设当时命题成立，即 ，当 时，有 ， 故当时命题也成立，当 时，等号左边为2，右边为 ，，所以当 时，命题不成立，故B满足题意； 对于C，假设当 时命题成立，即 ，当时，有 ， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故当时，命题也成立，当时，内角和为 ，命题不 成立，故C满足题意； 对于D，假设当 时命题成立，即， 当 时，有 ，故D不满足题意.故选 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、填空题 10.已知 为正偶数，用数学归纳法证明： 时，若已假设 （且为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设证 ______时等式成立. [解析] 因为是所有正偶数，所以还需要用归纳假设证 时等 式成立． 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 11.用数学归纳法证明“ ”时，第一步应验证的等式是_________；从到 时，左边需增加的代数式是_ _______________. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 [解析] 用数学归纳法证明“ ”时，第一步应验证的等式为. 从到 时，左边需增加的代数式是 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 12.用数学归纳法证明 的过 程如下： ①当时,左边,右边 ,等式成立; ②假设当 时,等式成立,即 ,则当 时, ,所以当 时 等式也成立. 由①②可知对任意正整数 ,等式都成立. 以上证明过程的错误之处为_______________________________. 从到的推理不正确 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 [解析] 由数学归纳法证明的步骤，易知该证明过程的错误之处为从 到时没有用到归纳假设，即从到 的推 理不正确. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 三、解答题 13.（13分）用数学归纳法证明： 能被133整除. 证明：①当时， ，能被133 整除，所以当 时结论成立. ②假设当，时， 能被133整除， 则 ， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 所以 能被133整除，即 能被133整除， 所以当 时，结论也成立. 由①②可知， 能被133整除. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.（15分）某少数民族的刺绣有着悠久的 历史，如图为四个简单的刺绣图案，这些图 案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣 （1）求出 ； 解：，，， ， . 越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第 个图形包含 个小正方形. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 14.（15分）某少数民族的刺绣有着悠久的历 史，如图为四个简单的刺绣图案，这些图案 都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越 （2）归纳出与 的关系式，并根据你得到的关系式求 的表达式； 漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第 个 图形包含 个小正方形. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 解： ， ， ， ， 由以上规律得出 ， 当时， ， ，， ， ，， 累加得， ， 又当时， ，满足上式， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 14.（15分）某少数民族的刺绣有着悠久的历 史，如图为四个简单的刺绣图案，这些图案 都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越 （3）用数学归纳法证明： . 漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第 个 图形包含 个小正方形. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 证明：①当 时， 成立. ②假设当 时，等式成立，即 ， 则当时， ， 即当 时，等式也成立. 由①②可知， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $