2027年高考数学一轮复习优质课件第六节　一元二次不等式恒（能）成立问题（全国通用）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式恒（能）成立问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了在R上恒成立、给定区间恒成立、给定参数范围恒成立及能成立四大考查类型，通过例题解析与表格总结明确常考题型及解题条件，体现高考备考的针对性和系统性。 课件亮点在于“考点分类突破+方法技巧总结+针对训练”的实战策略，如例2通过分离参数转化为求二次函数最值解决给定区间恒成立问题，培养学生的数学思维与推理能力。特设“方法技巧”模块归纳端点分析、一次函数模型等突破方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第六节　一元二次不等式恒（能）成立问题 目 录 CONTENTS 01 关键能力 精准突破 考点1　在R上恒成立问题 【例1】 （1）∀ x ∈R，不等式 ax2＋4 x －1＜0恒成立，则 a 的取值范围为（　　） A. （－∞，－4） B. （－∞，－4）∪{0} C. （－∞，－4] D. （－4，0） A　解析：∀ x ∈R，不等式 ax2＋4 x －1＜0恒成立，当 a ＝0时，显然不恒成立，所 以解得 a ＜－4. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 （2）不等式（ a －2） x2＋4（ a －2） x －12＜0的解集为R，则实数 a 的取值范围 是（　　） A. { a ｜－1≤ a ＜2} B. { a ｜－1＜ a ≤2} C. { a ｜－1＜ a ＜2} D. { a ｜－1≤ a ≤2} B　解析：当 a ＝2时，原不等式为－12＜0满足解集为R；当 a ≠2时，根据题意得 a －2＜0，且Δ＝16（ a －2）2－4（ a －2）×（－12）＜0，解得－1＜ a ＜2. 综上， a 的取值范围为{ a ｜－1＜ a ≤2}.故选B. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋ bx ＋ c ＞0 a ＞0，Δ＜0 ax2＋ bx ＋ c ≥0 a ＞0，Δ≤0 ax2＋ bx ＋ c ＜0 a ＜0，Δ＜0 ax2＋ bx ＋ c ≤0 a ＜0，Δ≤0 提醒：当所给不等式二次项含有参数时注意对参数是否为0的讨论. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 1. 若关于 x 的一元二次不等式2 x2－ kx ＋ ＞0对于一切实数 x 都成立，则实数 k 满 足（　　） A. { k ｜ k ＝± } B. { k ｜ k ＜－ } C. { k ｜－ ＜ k ＜ } D. { k ｜ k ＞－ } C　解析：由题意Δ＝（－ k ）2－4×2× ＜0，整理可得， k2－3＜0，解得－ ＜ k ＜ .故选C. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 2. 已知关于 x 的不等式 mx2＋ mx ＋1＞0恒成立，则 m 的取值范围为 　　. 解析：当 m ＝0时，不等式1＞0恒成立，所以 m ＝0符合题意； 当 m ≠0时，若关于 x 的不等式 mx2＋ mx ＋1＞0恒成立，则解 得0＜ m ＜4. 综上所述， m 的取值范围为[0，4）. 答案：[0，4）　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 考点2　在给定区间上的恒成立问题 【例2】 若对任意的 x ∈[－1，2]，都有 x2－2 x ＋ a ≤0（ a 为常数），则 a 的取值 范围是（　　） A. （－∞，－3] B. （－∞，0] C. [1，＋∞） D. （－∞，1] A　解析：方法一　令 f （ x ）＝ x2－2 x ＋ a ，则由题意，得 解得 a ≤－3，故选A. 方法二　当 x ∈[－1，2]时，不等式 x2－2 x ＋ a ≤0恒成立等价于 a ≤－ x2＋2 x 恒成 立，则由题意，得 a ≤（－ x2＋2 x ）min（ x ∈[－1，2]）.而－ x2＋2 x ＝－（ x － 1）2＋1，则当 x ＝－1时，（－ x2＋2 x ）min＝－3，所以 a ≤－3，故选A. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，解决的方法有两种： （1）讨论参数的范围或分离参数转化为最值问题； （2）结合图象进行分类讨论，转为根的分布问题. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 　若对任意的 x ∈（0，＋∞）， x2－ mx ＋1＞0恒成立，则 m 的取值范围是 （　　） A. （－2，2） B. （2，＋∞） C. （－∞，2） D. （－∞，2] C　解析：∀ x ∈（0，＋∞）， x2－ mx ＋1＞0⇔ m ＜ x ＋ ，而当 x ＞0时， x ＋ ≥2 ＝2，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝1时取等号，则 m ＜2，所以 m 的取值范围 是（－∞，2）.故选C. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 考点3　给定参数范围的恒成立问题 【例3】 若 mx2－ mx －1＜0对于 m ∈[1，2]恒成立，则实数 x 的取值范围为 　　. 解析：设 g （ m ）＝ mx2－ mx －1＝（ x2－ x ） m －1，其图象是直线，当 m ∈[1， 2]时，图象为一条线段， 则即 解得 ＜ x ＜ ， 故 x 的取值范围为（ ， ）. 答案：（ ， ）　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，对于给定参数范围的恒成立问 题，一般是把参数看作变量，把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解 决问题. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 　已知 a ∈[－1，2]，不等式 x2＋（ a －4） x ＋4－2 a ＞0恒成立，则 x 的取值范围 为 　　. 解析：设 f （ a ）＝（ x －2）· a ＋ x2－4 x ＋4，则 即 解得 x ＜0或 x ＞3. 答案：（－∞，0）∪（3，＋∞）　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 考点4　不等式能成立或有解问题 【例4】 设 a ∈R，若关于 x 的不等式 x2－ ax ＋1≥0在区间[1，2]上有解，则 （　　） A. a ≤2 B. a ≥2 C. a ≥ D. a ≤ D　解析：∵关于 x 的不等式 x2－ ax ＋1≥0在区间[1，2]上有解，∴ a ≤ x ＋ 在 x ∈[1，2]上有解⇔ a ≤（ x ＋ ）max， x ∈[1，2]，∵函数 f （ x ）＝ x ＋ 在[1，2] 上单调递增，∴ f （ x ）max＝ ，∴ a ≤ . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数的最值，即 a ＞ f （ x ）能成立⇒ a ＞ f （ x ）min； a ≤ f （ x ）能成立⇒ a ≤ f （ x ）max. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 　（2023·湖北武汉模拟）若∃ x ∈［ ，2］，使2 x2－λ x ＋1＜0成立，则实数λ的取 值范围是 　　　　　　　. 解析：由2 x2－λ x ＋1＜0可得，λ x ＞2 x2＋1，因为 x ∈［ ，2］，所以λ＞2 x ＋ ，根据题意，λ＞（2 x ＋ ）min即可，设 f （ x ）＝2 x ＋ ，易知 f （ x ）在（ ， ）上单调递减，在（ ，2）上单调递增，所以 f （ x ）min＝ f （ ）＝2 ， 所以λ＞2 . 答案：（2 ，＋∞）　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 谢谢观看！ $