26.1二次函数的概念 学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数概念，通过矩形面积、水珠路线等实际问题导入，类比一次函数回顾变量关系，引导学生从具体情境中抽象出二次函数定义及一般形式，搭建新旧知识衔接的学习支架。 以“问题情境—抽象概念—辨析应用”为主线，结合比赛场次、产量增长等实例培养数学建模意识，通过“辨一辨”和例题强化逻辑推理，助力学生用数学语言表达现实问题，提升数学抽象与运算素养。

人教版九年级数学上册第26章二次函数 第一课时26.1二次函数的概念学案 一、素养目标 1.理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法； 2.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； 3.通过学习二次函数，培养数学抽象、逻辑推理、数学建模能力 ，提升直观想象、数学运算与数据分析素养. 二、教学重点、难点 重点：理解并掌握二次函数的概念和一般形式. 难点：能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式. 三、教学过程 章前引言 函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们已经学习过利用一次函数表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系. (一次函数：y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0) 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y(单位：m2)会随矩形一边长x(单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？ 再看章前图，从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线.在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系? 显然，矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数.根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为y＝x(20－x)，即 y＝－x2＋20x ① 问题1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛.比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 每支球队都要与其他(n－1)支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数m＝n(n－1)，即 ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两 年后这种产品的产量y(单位：t)将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20(1＋x)t，再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x)t，即两年后的产量 y＝20(1＋x)2，即 y＝20x2＋40x＋20 ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 思考 y＝－x2＋20x ①， ②，y＝20x2＋40x＋20 ③，观察函数①②③，它们有什么共同点？ 上述问题中，函数都是用自变量的二次式表示的. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0) 的函数，叫作二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： (1)等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； (2)a，b，c为常数，且a≠0； (3)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项； (4)一般情况下，自变量x的取值范围是任意实数. 二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b＝0，c＝0时，y＝ax2 (a≠0) 当c＝0时，y＝ax2＋bx (a≠0) 当b＝0时，y＝ax2＋c (a≠0) 辨一辨 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x是自变量) ① y＝(x＋3)2－x2； ② y＝3－2x2； ③ y＝x2＋3x； ④ y＝； ⑤ y＝x3＋x2＋25； ⑥ y＝ax2＋bx＋c. 例 (1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. (2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式. 解：(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 S＝2πr2＋2πr·r，即 S＝4πr2. (2)一年后产品的年销售量为8(1－x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以 y＝8(1－x)2，即 y＝8x2－16x＋8. 练习 1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) y＝8x2－16x＋8； (2) y＝x2； (3) y＝x2＋5x； (4) y＝2(x－1)2－5. 2.如图，矩形绿地的两边长各增加xm，扩充后的绿地面积为ym2. 写出y关于x的函数解析式. 答案： 1、略 2、解：y=(30+x)(20+x) 整理得，y=x2+50x+600 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课从实际情境引入，引导学生类比一次函数归纳二次函数定义及一般形式，多数学生能掌握基本概念。但教学中存在不足：对a≠0的关键点强调不足，部分学生辨析时易出错；从实际问题抽象函数关系式的引导不够细致，学困生建模能力偏弱。后续教学应强化易错点辨析，增加生活化实例，多给学生自主归纳与练习机会，夯实概念理解。 6、 课堂检测 1、解方程（1）2x2-3x-2=0； （2）3x(3x-2)+1=0. （3）x2+16x=0 （4）5x2-10x=-5 （5）x（x-3）+x-3=0 （6）2(x-3)2=9-x2 2、已知矩形的周长为40，一边长为x,面积为y,求y与x之间的函数关系式。 参考答案： 1、 （1）2，-0.5（2）（3）0，-16 （4）1 （5）3，-1 （6）3 2、 Y=-x²+20x 学科网（北京）股份有限公司 $