25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数关系，以温故知新为学习支架，通过回顾求根公式、判别式等基础内容，引导学生自主阅读课本并梳理知识，搭建新旧知识的逻辑脉络。 资料注重培养学生数学思维与创新意识，设置分层练习与思维价值分析，通过无需求根整体求值、逆向构造方程等场景，训练整体代换与逆向推理能力，助力学生从解方程升级为研究方程规律，提升数学素养。

25.2.4 一元二次方程的根与系数关系 1.回顾求根公式、判别式等基础内容； 2.阅读课本P15—P16内容，自主探究根与系数关系小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.一元二次方程的求根公式：___________________ 2.对一元二次方程： __________________时，方程有两个不相等的实数根 __________________时，方程有两个相等的实数根 __________________时，方程无实数根 知新——课本研习梳理 一元二次方程的两个根，和系数a，b，c有如下的关系： _______，_______ 练习 1.已知，是方程的两个实数根，则的值为( ) A.8 B.-8 C.6 D.-6 2.关于x的一元二次方程的两根之和是( ) A.-1 B.0 C.4 D.5 3.设、是方程的两个根，且，则m的值是______. 4.已知一元二次方程有两个实数根，则_________． 5.已知关于x的方程有两个不等实数根. (1)求m的取值范围； (2)若方程的两根为，且，求m的值. 韦达定理的思维价值与应用场景 韦达定理是一元二次方程章节的素养拔高核心知识点，区别于基础解方程技巧，它侧重规律探究、整体代换、逆向推理，是初中数学思维升级的关键内容，应用场景极为广泛： 1. 无需求根，整体求值：在已知方程不解方程的前提下，快速求解两根倒数和、平方和、差的平方等代数式的值，训练整体代换的核心数学思想，避免繁琐的根式运算，简化解题过程。 2. 逆向构造方程：已知方程两根，反向构造一元二次方程，打通因式分解、方程结构、根的性质的内在联系，培养逆向逻辑推理能力。 3. 参数范围与根的性质判断：结合判别式、根与系数关系，判断两根正负、两根大小、根的符号分布，求解方程中参数的取值范围，是中考综合题型的核心考点。 4. 初高中衔接核心工具：韦达定理是高中二次函数、不等式、圆锥曲线、高次方程解题的基础工具，贯穿整个高中代数体系，是初高中数学衔接的重中之重。 从学科素养角度，学习根与系数的关系，让学生从“被动解方程”升级为“主动研究方程结构与根的规律”，培养结构认知、整体思维、逆向推理的高阶数学素养。 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1. 2.；； 知新——课本研习梳理 ； 基础过关·课前自测 1.答案：C 解析：∵，是方程的两个实数根， ∴. 故选：C. 2.答案：D 解析：设的两根为、， . 故选：D. 3.答案：-3 解析：∵、是方程的两个根， ∴. ∵， ∴. 故答案为：-3. 4.答案：1 解析：一元二次方程有两个实数根， ，， ． 故答案为：1． 5.答案：(1) (2) 解析：(1)由题意得，， 解得； (2)由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $