8.4.1 平面（五大题型）训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.1 平面 题型一 平面的概念及其表示 1．已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于点、线和面的关系表示不正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 3．根据图，填入相应的符号： A______平面ABC； A______平面BCD； BD______平面ABD． 4．正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 题型二 空间位置关系的画法 5．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 6．下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，平面与平面BDC1的交线是________． 8．如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面____与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 题型三 平面分空间的区域数量 9．四面体各面所在平面将空间分成几部分?（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 10．下列说法正确的是（ ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为3个部分 C．圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 11．将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________． 12．如果3个平面把空间分成4部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？如果3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？画图说明． 题型四 平面的基本性质及辨析 13．已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 14．下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 15．已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 16．如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 题型五 点（线）确定的平面数量问题 17．空间不共线的四点可以确定平面的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．下列命题正确的是（    ） A．不共线的三点确定一个平面 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过两条平行直线，有且只有一个平面 D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等 19．正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 20．如图，正方体中的12条棱，可以确定多少个平面？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4.1 平面 题型一 平面的概念及其表示 1．已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【详解】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 2．下列关于点、线和面的关系表示不正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【答案】A 【分析】根据点，线，面的位置关系的符号表示即可判断. 【详解】对于A：点与面的位置关系为：点平面，或点平面，故A错误； 对于BC：直线与平面的位置关系：直线平面，直线平面或直线平面，故BC正确； 对于D：平面与平面的位置关系：平面平面或平面平面，故D正确. 故选：A 3．根据图，填入相应的符号： A______平面ABC； A______平面BCD； BD______平面ABD． 【答案】 【分析】略 【详解】略 4．正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 题型二 空间位置关系的画法 5．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可. 【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范. 故选：D 6．下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平面的基本性质及空间位置关系的画法判断即可． 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 7．如图，在正方体中，平面与平面BDC1的交线是________． 【答案】C1M 【分析】找到同时在两平面上的点，从而可求出交线. 【详解】因为C1∈平面，且C1∈平面BDC1，同时M∈平面，且M∈平面BDC1， 所以平面与平面BDC1的交线是C1M. 故答案为:. 8．如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面____与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 【答案】(1)O必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） (2)答案见解析 【分析】（1）直接利用平面的性质和平面的图形求出两平面的交点． （2）直接利用平面所在的位置求出结果． 【详解】（1）在长方体中， 如图所示： 设与的交点为，因为平面，平面， 所以平面，平面， 故必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） （2）因为平面，平面， 所以平面与平面的交线为. 如图：作出平面与平面的交线为． 题型三 平面分空间的区域数量 9．四面体各面所在平面将空间分成几部分?（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】四面体的三个侧棱交于同一点，这就是三个平面两两相交有三条交线，且三条直线交于同一点的情形． 【详解】将四面体的各面延展成平面后，则四面体的内部是一个空间； 将平面，平面，平面延展后，在平面的下方会分割出一个空间， 也就是说平面对应一个空间， 同理，平面，平面，平面也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将上述三个平面延展后，在顶点A的上方，也分割出一个空间，也就是顶点A对应一个空间， 同理，顶点也各对应一个空间，这样的空间共有4个； 将四面体的各面延展后，棱对应几何体外部的一个空间， 同理，其余的5条棱也各对应一个空间，这样的空间共有6个. 因此四面体的各面延展成平面后，可将空间分成部分. 故选：C    10．下列说法正确的是（ ） A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为3个部分 C．圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【分析】利用斜棱柱的侧面判断A；取三个相互平行的平面判断B；利用旋转体的定义判断C；利用五棱锥的结构特征判断D作答. 【详解】对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误； 对于B，若三个平面互相平行，则这三个平面将空间分为4个部分，B错误； 对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确； 对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形，所以任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D正确. 故选：CD 11．将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________． 【答案】12 【分析】分类讨论得到三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分，从而得到，，所以． 【详解】当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分； 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个部分； 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分； 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分． 将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 故，，所以． 故答案为：12 12．如果3个平面把空间分成4部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？如果3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？画图说明． 【答案】见解析 【分析】根据题意分析3个平面之间的平行、相交关系分析即可. 【详解】3个平面把空间分成4部分，则这3个平面需要平行；    3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面相交于一条直线或其中2个平面平行与第3个平面相交.      题型四 平面的基本性质及辨析 13．已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】先分析出当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多，再分步计算有多少条交线即可. 【详解】当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多， 记这6个不同的平面分别为， 此时与其余5个平面相交，有5条交线，与除去外的4个平面相交有4条交线，，与相交有1条交线， 所以共有条交线. 故选：A. 14．下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【分析】根据平面的基本性质及推论，对四个选项逐一判断，得出正确选项. 【详解】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四过形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 15．已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实确定点的位置，再作图确定的位置作答. 【详解】在正方体中，，而平面，即有平面，    又与线段相交，则交点必在直线上，而平面，于是平面，平面， 而，平面，即平面，而平面平面， 因此，即点为的交点，又线段与互相平分， 取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点， 所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分，这样的直线只有1条. 故答案为：1 16．如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 题型五 点（线）确定的平面数量问题 17．空间不共线的四点可以确定平面的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据平面的性质求解. 【详解】若四点共面，则可确定1个平面；若四点不共面，则可确定4个平面． 故选：C 18．下列命题正确的是（    ） A．不共线的三点确定一个平面 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．经过两条平行直线，有且只有一个平面 D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等 【答案】ABC 【分析】根据平面的确定情况及点线面的位置关系直接判断即可得到答案. 【详解】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A正确； 由平行公理可得平行于同一条直线的两条直线平行，可知B正确； 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知C选项正确; 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，可知D错误； 故选:ABC． 19．正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 【答案】/ 【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解. 【详解】如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 20．如图，正方体中的12条棱，可以确定多少个平面？ 【答案】共12个，其中6个表面，6个对角面． 【分析】作出辅助线，确定对角面6个，从而确定平面的个数. 【详解】连接面对角线HF，DB，则可以确定平面BDHF，同理可以确定平面ACGE，平面ABGH，平面CDEF，平面ADGF，平面BCHE，另外有6个表面，共12个平面. 故可以确定12个平面，其中6个表面，6个对角面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $