河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

高二下学期期末 数学 叁考管亲及解析 选择/填空题答案速查 题号 1 2 3 9 10 11 12 13 14 答案 B BD ABD BCD 0.3 28)2分)g2, 1211 256 一、1.C【解析】因为A={xly=√4x-x},所以4x-x2≥ )4Cg· ,r=0,1,2,…,6 0,解得0≤x≤4，即A={x10≤x≤4}. 因为B={xl-1<x<3},所以A∩B={x10≤x<3}.故 令20，得-2，所以履开式的市数项为()广 2 选C 46-2·C6=960.故选C 2A【解析】令t=2x-1eR,则x=+ 6.A【解析】设x1<x2因为对任意x1,x2eR(x1≠x2), 因为2-1=2-1所以e0=2告）°-12+ 都有)儿-2成立，所以对任意西R(,≠ x1-X2 t所以=1-1-1,所 x2),都有f(x1)-f(x2)>-2x,+2x2成立，即对任意x1, x2∈R(x1≠x2),都有f代x1)+2x1>fx2)+2x2成立. 以f八x)的值域为[-1，+o).故选A (2a-5)x+1,x≥1， 因为f(x)= 所以函数y=f(x)+ 3.D【解析1①当xQ时，D(x)=0.因为a+2b=2D(x),所 2x2+(a-1)x-3,x<1, 以a+2b=0.因为a,beR*,所以a+2b=0不符合题意. 2x={ ②当xeQ时，D(x)=1.因为a+2b=2D(x),所以a+ (2a-3)x+1,≥1，在R上单调递减， 2x2+(a+1)x-3,x<1 28-2因为a6eR,所以+号-（日2引e 2+a+1-3≥2a-3+1, 所以{ 解得a≤-5，即实数a的取 2a-3<0, 且仅当台名即a6:子时，等号成立所以。号 值范围是(-，-5].故选A (a,beR)的最小值是 2故选D. 2C【解析】由)=x+3可知其定义域为(-四 4.B【解析】将2个体育类作品捆绑，共A号种排法，其 0U0,+w)(e=1+号，所以r1)=31=3. 他作品任意排列，共有AA?种不同的展示方法， 所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-3=3(x 将2个体育类作品捆绑，有A?种排法，将绘画类与演 1),即y=3x 讲类作品捆绑，有A?种排法，其他作品任意排列，此 时共有AAA:种不同展示方法，所以体育类必须相 设曲线孔)三x+3在x=1处的切线与曲线y妇 邻，绘画类与演讲类不相邻的展示方法有A?A; eat+1相切的切点为(x0,yo). AAA4=3AA4=144(种).故选B. 因为y=aeb1,所以ae"or1=3且。=e“or1=3xo, 5C【解析】因为(4)的展开式中，二项式系 所以a>0,a·3x=3,即a=1,得=（o>0)。 数之和为64，所以2”=64，解得n=6,所以 再将=(a>0)代入ae1=3,得ae 42)-(2)°， 3,即。“2=两边取对数并整理得6三 所以展开式的通项为工1=CG·(4)”(): na-2. 数学 参考答案及解析 所以ab=a(ln3-lna-2)=(ln3-2)a-alna(a>0).令 1 14+2,2k2-13k2+3 g(a)=(In 3-2)a-aln a(a>0),g'(a)=In 3-2- ONOM1+k2 1+k2 1+k2 =3,所以d= (lna+1)=ln3-lna-3.令g'(a)=0,得lna=ln3-3, 综上，点0到直线M的距离是3 3 则a品 故选B 二、9BD【解析】由题意，得元=6+8+m+12 9,解得 因为g'(a)=ln3-lna-3在(0，+∞)上单调递减，所 以当0a时go>0,当>时，ga m=10;y= 6+n+3+2 4 =4,解得n=5.所以m=2n,故A 错误 因此数ga)在0，)上单调增，在(+）上 当x=14时，y的预测值为0.6， 单调递减，所以a= 是函数g@)的极大值点也是最大 (4=9b+a, 解得 6=-0.68, 所以 0.6=146+a, a=10.12. 值点，因此g(o）=8()=(h3-2)×23n子 33 3 所以经验回归方程为分=-0.68x+10.12,所以变量 x,y之间成负相关关系，故B正确， （仙3-2)X号h3-3)=是所以的最大值为 立医-)，-)=6-9舅×(6-4+(8-9》× 。三故运C (5-4)+(10-9)×(3-4)+(12-9)×(2-4)= 8.B【解析】因为OM.O成=0，所以0M1ON当直线 14, 含-)= 0NL轴时，N=1,oN=经，则wN= √(6-9)2+(8-9)2+(10-9)2+(12-9)= 25, +:故点0到直线的距商是 4 2 x-P √2 √(6-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(2-4)2= IoN·oM_2-3 MN 6 3 √10， 2 -14 72 如图，当直线ON不垂直于x 所以125x0-10·则1=09%8，接近于 轴时，设直线OW的方程为y= 1,数据的残差平方和很小，故C错误，D正确.故选 kx(k≠0)，则直线OM的方程 BD. 为y名（长0）.联立 10.ABD【解析】对于A,若摸出后放回，每次只摸一个 球，则每次摸出球的概率不变，故第5次摸出印有九 y=kx(k≠0)， 4x2+y2=1, 案沟图案的小球的概率是，高，故A正确： 解得 4+2 对于B,若摸出后不放回，则P(Y1x)）=n(X四_4x3 所以10wP=1 4g同理可得OMP。 n(X)4x9 分故B正确， 4+h2 2设点0到直线MN的距离是d(d>0.因为 1+k2 对于C,若摸出后不放回，则P(XY)=P(X)P(YIX)= 音兮-后故c编误 wP=onP+ovP,|ww·d=oM1 对于D,若摸出后不放回，设事件Z为“第一次摸到印 ON 有张家界图案的小球"，则P(2)=高，P(1Z)-子， 所以PZ=1-P=1-8P代2Z-故 2 高二下学期期末 数学 由全概率公式得P(Y)=P(Z)P(YIZ)+P(Z)P(YI ,其中0，则g(x)='()).因为f) Z-号记号0故D正晚放选Am f'(x)<0,所以g(x)>0,则函数g(x)在(0，+∞)上 11.BCD【解析】由题意，得f(x)=3x2+2(a-1)x, 单调递增因为日<子<2，所以e(日)<（分）： 所以f'(1)=2a+1,所以fx)=x3+(a-1)x2-3a. 对于A,若a=1,则f(x)=x3-3,所以f(x)在R上单 g2.因为8)4（日），2)-4s(2) 调递增，但它是非奇非偶函数，故A错误 对于B,由f(x)=x3+(a-1)x2-3a得f'(x)=3x2+ 82)=42,所以2日)22g2. 2(a-1)x.因为函数f(x)在定义域R上无极值点，所 以f'(x)=3x2+2(a-1)x无变号零点.令f'(x)=0, 141211 256 【解析】因为P(X=k)=P(X≤k)-P(X≤k 得1=0，=2(0.当=，时，a=1,此时无变 3 10--(-1)°，k=1,23,4, 4m 号零点；当x1≠x2时，有变号零点，不符合题意，舍 去.所以a=1,故B正确. 所以E(X)=[1+2(2-1)+3(3-2)+4(4 对于C,当a=4时，f(x)=x3+3x2-12.因为g(x)= f代x)+2-24x,所以g(x)=x3+3x2-24-10,所以g'(x)= 3)]=[4x4-(1+2+3)月=4-[(4)+ 3x2+6x-24.令m(x)=3x2+6x-24,则m'(x)=6x+6. 令m'(x)=0,得x=-1,所以g(-1)=16,所以函数 ()+()] g(x)的图象的对称中心是(-1,16)，故C正确. 令m)=()+()+()°，则m)在me 对于D,由C项分析知，g'(x)=3x2+6x-24=3(x+4)· (x-2).当xe(-o,-4)和x∈(2，+o)时，g'(x)> N*时单调递减。 0,此时函数g(x)单调递增；当x∈(-4,2)时，g'(x)< 因为(0>忍所以）+()+(） 0,此时函数g(x)单调递减. 又->0r2=g3=640- 3、3 9、3 因为g(-4)=(-4)3+3×(-4)2-24×(-4)-10=70, g(2)=23+3×22-24×2-10=-38, 128105)= 493 69,3 所以要使得g(x)=m有三个解，则m∈(-38,70)， 561 ,所以m的最小值是5. x1<-4<x2<2<x3,且x1,x2,x3是方程x3+3x2-24x-10 m=0的根. 所以当m取最小值5时，E(0=4[(任)'+() 为了简化研究，由对称性，只研究m∈[16,70)的情况 69955 因为x3+3x2-24x-10-m=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0, 所以x1x2x3=10+m,x1+x2+x3=-3,且x2+3x号-24x2- 所以当m取最小值时，E(X+1)=E(X)+1=2S6+1= 10-m=x2+3x2-24x2-x1x2x3=0, 1211 故x号+3x2-24-x1x3=0,即x1x3=x+3x2-24. 256 所以x1x=√(x1+x)2-4xx 四、15.解：(1)因为社区花鼓队有50名队员，男队员与女 √（-3-x2)2-4(x3+3x2-24)=√-3(x2+1)2+108. 队员的人数相同，所以男队员与女队员各有25名. 所以，当2=-1时，x,-x3取得最大值63，此时 结合题表可知，该社区花鼓队中，选择乘飞机的男队 x1x3=(-1)2+3×(-1)-24=-26,所以10+m=x1x2x3 员有20人，选择坐高铁的女队员有15人.(2分) 26,则m=16,故D正确.故选BCD. 所以补充完整的列联表如下： 三、12.0.3【解析】因为5~N(6,o2),P(5<4)=0.2, 乘飞机 坐高铁 合计 所以P(6≤≤8)=1-2P(]=子1-04- 男队员 20 5 25 女队员 10 15 25 0.3. 合计 30 20 50 13.2日)分)<名2)【解折1构造函数g() (6分) 3 数学 参考答案及解析 (2)零假设为H。:喜爱乘飞机和坐高铁与性别无关， P(X=2)= Cc2_3 (9分) c10 X2_50(20x15-10x5)225 所以X的分布列为 ≈8.333 25×25×30×203 X 0 1 2 因为8.333>7.879=xm0s, 1 3 所以根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推 10 5 1 断H。不成立， (12分) (8分) 故认为喜爱乘飞机和坐高铁与性别有关. (13分) 16.解：(1)因为数列{an}中，Sn1=n2+2n-a+2 所以E(X)=0x, +236 *1x3 10-5 (9分) 10 所以Snt2=n2+2n, (1分) (3)因为成绩在[80,100]的频率为(0.02+0.005)× 所以Sn+1=(n-1)2+2(n-1)=n2-1, (2分) 10=025=子，用频率估计概率， 所以St2-Sn+1=n2+2n-(n2-1)=2n+1, 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在[80,100]的 即a+2=2n+1,所以an=2n-3, (4分) 所以a2=1,a6=9. (5分) 概率为好 因为a6是a2,an的等比中项，所以81=am, 又全公司中成绩在[80,100]范围的人有0.25×100= 所以81=2m-3,解得m=42. (6分) 25(人)， (2)由(1)知an=2n-3,所以an+1=2n-1. 所以y的可能取值为0,12,3，且~83,4） 因为bn=2·an+1,所以bn=(2n-1)·2°，(8分) (10分) 所以Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2-1+(2n- 1)·2", ① 所以(-o=cg(4)°·(4)'-忍 所以2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)·2"+(2n- r-c心(-} 1)·21. ② ①-②得-Tn=2+2×22+2×23+…+2·2-(2n-1)· P(Y=2)=Cg (4)(4)0 2+1=2+23+24+.+21-(2n-1）·2+1=2*2-6-(2n- ry=)=G(日·(4)°4 1)·21 (14分) 所以Y的分布列为 所以Tn=-2+2+6+(2n-1）·2+1=(2n-3)·2+1+6. (15分) 0 2 17.解：(1)依题意，得(0.005+2a+0.030+a+0.005)× 27 27 9 1 64 64 64 64 10=1, 解得a=0.020. (3分) (14分) 13 (2)依题意，成绩在[70,80)的人有0.03×10×100= 所以E()=0x27 2+2x9 1 64 64 3×644 4 30(人)， 成绩在[80,90)的人有0.02×10×100=20（人）， 所0=o)-0(-× 用分层随机抽样的方法抽取5人，则从成绩在[70， (15分) 80)的人中抽取3人，从成绩在[80,90)的人中抽取 2人. (4分) 或n=3x好-4)品 (15分) 所以X的所有可能取值为0,1,2， 18.(1)解：因为抛物线上的任意一点到焦点F的距离 则P(X=0)= 3C_1 Cg10P(X=1)= CC2 3 比到直线x=-2的距离少3 高二下学期期末 数学 所以地物线的准线为直线：=子 (2分) 为=2所】 由抛物线的定义知-令子，所以=1， (14分) 所以抛物线C的方程是y2=2x. (4分) (2)证明：设A(x1y1),B(x2y2), 所以MNP= 则△PAB的重心c气+，+22+2 (5分) =2 6(y3-)]2 3—，3 L4-2(y3+y4)+y3y4] 由于直线AB的斜率kAB= y2=12= 2 =2× T6V(y+y4)2-4y4 1-x2y斤y2y1+y2 [4-2(y3+y4)+y3y4 22 288(t2+1) 则=-8， (3-4t)2 所以4+26 =18×(4-3)2+6(4-3)+25 -2, (7分) (4t-3)2 33 所以△PAB的重心在直线y=-2上运动. (8分) =18[0。引291≥6，当且仅当 (3)解：由(1)知焦点F分 即=子时，等号成立 3 不妨设点C在x轴上方， (16分) @当直线4，的斜率不存在时，c(分，小，D(2,小 所以Mw≥12点 5 Loc:y=2x,loD:y=-2x. 因为42，放w的地小值是（分列） 联立方程组{ =2,解得任=-3， 19.解：(1)因为f(x)=2lnx-mx2(m∈R), y=x-3, (y=-6, 所以M(-3,-6) 质r国-2-2a,英中p0 y=-2x得N(1,-2). 因为函数f代x)在x=2处取得极值， 同理， y=x-3, 所以f'(2)=1-4m=0,解得m= 41 (3分) 所以|MW=√(-3-1)2+(-6+2)7=42.(10分) ②当直线l1的斜率存在时，设直线11的方程为x=y+ 经粒验，符合题意，所以宁 (4分) ≠0).C(,D) (2)由(1)知f(x)=2-2mx=2(1-m2 ,x>0 y2=2x, 联立方程组 1 当m=0时，f()=2>0, x=ty+2’ 所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，无最值 消去x并整理，得y2-2y-1=0, (5分) 则4=(-2t)2+4=4t2+4>0, 所以y3+y4=2t,y3y4=-1. (12分) 当m<0时，f()=21-m）>0. 直线0C的方程是y-x, 所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，无最值. (6分) -3x3 x=- 当0时，令f国>0得0令re<0, 联立方程组 解得 Y3-x3 3 =x-3, -3y3 y= y3-x3 得√m 所以M 3x -3y3 所以)在(0√日上单调递增，在（√+） 数学 参考答案及解析 上单调递减， 所以由零点存在定理可知，存在唯一的：e(日，， 所以1)的数大位，也处最大值为/（√风） 使得2e+lnt=0, 2-1,无小位 1 2小m (7分) m 综上，当m≤0时，函数f(x)无最值；当m>0时，函数 (12分) 令p(x)=xlnx,其中x>1,则p'(x)=1+lnx>0, 九)的最大值为2如-1，无最小位 (8分) 所以函数p(x)在(1，+∞)上单调递增， (3)因为f(x)=2lnx-mx2(m∈R),g(x)=e 因为1（日，所以>1，}>1 n+1,V1,e(0,+)x)≤g()恒成立， 由ehd=h可得p(e)=(侣》 所以f(x)max≤g(x)min (9分) -1 由(2)知，只有当m>0时，代x)s=2n√m 则e=,所以=h=-ht (14分) 又当0<x<t时，h(x)<0,即g'(x)<0; (10分) 当x>t时，h(x)>0,即g'(x)>0. 因为g(x)=e血*+1，其中>0， 所以函数g(x)在(0，t)上单调递减，在(t,+∞)上单 调递增， 1 -·x-(lnx+1) 所以g(x)=e- =e*+ In x = 所以g()=g()=e血+1-11=1.(16分) x2 ttt x2e+In x 因为f(x)mx≤g(x)in, (11分) /m>0, 令h(x)=x2e*+lnx,其中x>0, 所以 -11 得二合 则h(x)=(x2+2x)e+1>0 x 所以实数m的取值范围是 (17分) 所以函数h(x)在区间(0，+∞)上单调递增. 6· 高二下学期期末 数学 多维细目表 学科素养 预估难度 题号 题型 分值 必备知识 数学 逻辑 数学直观数学 数据 中难 抽象 推理 建模 想象 运算 分析 书 集合、函数的定义域、二次不等式的 选择题 解法 选择题 5 函数的值域 V 3 选择题 分段函数、基本不等式 选择题 5 排列、组合 5 选择题 5 二项式系数之和、二项式的通项 V 6 选择题 5 分段函数、函数的单调性 V V V 7 选择题 5 导数的几何意义 V 双曲线和椭圆的方程及其简单几何 8 选择题 V 性质 经验回归方程、相关关系、残差平方 9 选择题 6 和、相关系数 10 选择题 6 条件概率、全概率公式 函数的性质、函数的极值点与导数的 11 选择题 6 V V V 关系 12 填空题 5 正态分布 13 填空题 5 导数的应用 V 14 填空题 数学期望的性质与应用、函数的单调性 15 解答题 13 独立性检验 数列的递推公式、利用错位相减法求 16 解答题 15 V 数列的前n项和 17 解答题 15 分布列、数学期望、方差 V 抛物线的方程及其简单几何性质、直 18 解答题 17 V 线与抛物线的位置关系 利用导数解决函数的极值、最值，以 19 解答题 17 及不等式恒成立问题 .7. 绝密★启用前 2025-2026学年高二下学期期末考试 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若函数，则的值域是（ ） A． B． C． D． 3．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（，），则的最小值是（ ） A． B． C． D． 4．某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（ ） A．432种 B．144种 C．96种 D．48种 5．在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A．-64 B．256 C．960 D．3840 6．函数若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：，椭圆：，若，分别是，上的动点，为坐标原点，若，则点到直线的距离是（ ） A． B． C．或 D．或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知变量，之间的经验回归方程是，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，经验回归直线过点，当时，的预测值为0.6，则下列说法正确的是（ ） 6 8 12 6 3 2 A． B．变量，之间成负相关关系 C．数据的残差平方和较大 D． 提示：相关系数，． 10．一袋中装有10个小球，小球表面印有长城、九寨沟、张家界三种图案，其数量分别为4，3，3，小球除表面的图案不同外，其余均相同．每次从中随机摸出1个小球，连续摸球两次．设事件为“第一次摸到印有长城图案的小球”，事件为“第二次摸到印有张家界图案的小球”，则下列结论正确的有（ ） A．若摸出后放回，则第5次摸出印有九寨沟图案的小球的概率是 B．若摸出后不放回，则 C．若摸出后不放回，则 D．若摸出后不放回，则 11．已知函数（），其中是在处的导数值，，则下列结论正确的有（ ） A．若，则是奇函数且在上单调递增 B．若函数在定义域上无极值点，则 C．若，则函数的图象的对称中心是 D．若，有三个不相等的实数根，则当取得最大值时，等于16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量服从正态分布，，则________． 13．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________． 14．盒子中装有编号依次为1，2，3，4的4个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸次，每次摸出1个小球，记这次摸出的小球中最大编号为，若要求成立，则当最小时________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某社区花鼓队有50名队员，男队员与女队员的人数相同，计划到北京旅游，对选择乘飞机和坐高铁进行了问卷调查，得到了如下的列联表． 乘飞机 坐高铁 男队员 5 女队员 10 （1）补全列联表； （2）根据小概率值的独立性检验，分析喜爱乘飞机和坐高铁是否与性别有关． 附：临界值表供参考． 0.15 0.010 0.005 2.072 6.635 7.879 16．（15分）已知数列的前项和为，且． （1）若是，的等比中项，求正整数的值； （2）若，求数列的前项和． 17．（15分）2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列及方差． 18．（17分）已知抛物线（）的焦点为，抛物线上的任意一点到焦点的距离比到直线的距离少． （1）求抛物线的方程． （2）若，为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． （3）过焦点的直线与抛物线交于，，为坐标原点，直线，与直线：分别相交于，两点，求的最小值． 19．（17分）已知函数（）． （1）若在处取得极值，求的值； （2）求函数的最值； （3）设，若，，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $