精品解析：河北衡水市第十四中学2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷

2025~2026学年度第二学期高二年级期末考试 数学试卷 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡"条形码粘贴处". 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，， 所以. 2. 设向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】， 故. 3. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求得，进而可得，代入目标式求正切值即可. 【详解】本题考查等差数列的性质和简单的三角运算． 由，故，则， 所以． 故选：B 4. 已知集合，，则M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 6. 若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. 7. 已知集合A={1,2,3,4}，B={1,2,3}，若函数f：A→B 满足：对任意∈A，都有,则符合条件的函数共有（ ）个. A. 5 B. 31 C. 35 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合组合知识求解． 【详解】若是常函数，即值域只有一个元素，这样的函数有3个， 若值域有两个元素，值域为或，此时只要把分成两组，即可得，方法数为， 所以符合条件的函数共有个． 8. 已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义可得，由题意得，根据函数单调性计算可解. 【详解】由，设切点， 则切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得 显然，在单调递增， 所以，时，. 二、选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点各不相同”，事件B=“甲独自去一个景点”，则 C. 在回归分析中，为0.98的模型比为0.99的模型拟合的效果更好 D. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正态分布的性质计算概率判断A，根据条件概率公式计算概率判断B，由回归分析中，的意义判断C，根据残差图的概念判断D． 【详解】对于A，由正态分布性质知，所以，A正确； 对于B，甲、乙、丙、丁4个人到4个景点的总方法数为，甲独自去一个景点，则乙、丙、丁三人任意到其它三个景点，方法数为，如果4个每人只去一个景点，方法数为，，，所以，B正确； 对于C，在回归分析中，的值越接近1（或越大）的模型拟合的效果更好，C错误； 对于D，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，说明数据越接近一条直线，因此回归方程的预报精确度越高，D正确． 10. 已知函数，则( ) A. 为奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】分别根据奇偶函数定义、特殊值代入、导数符号、辅助角公式结合正弦函数有界性逐项判断选项正误. 【详解】的定义域为，恒成立. 选项A：，满足奇函数定义，A正确. 选项B：，取，，，，B错误. 选项C：， 时，，在该区间单调递增，C错误. 选项D：设，变形为， 由辅助角公式得，， 两边平方，，，，D正确. 11. 在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 若 ，则三棱锥的体积为 D. 若多面体存在内切球，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可验证A和B，选择合适的点作为顶点，代入锥体的体积公式即可验证C，由对称性可知内切求球心为正方体中心，内切球半径，得到球心到平面的距离为，解得，即可验证D. 【详解】对于A项，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体棱长为2，， 所以 ，各点坐标为, 所以与，则， 所以直线与平行，故A正确； 对于B项，，则 ，, 设平面的法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 对于C项，当时，， 因为两两垂直， 所以三棱锥的体积，故C正确； 对于D项，多面体为正方体挖去三棱锥所得， 若存在内切球，由对称性可知球心为正方体中心，且与正方体各面相切，故内切球半径， 因为三棱锥为正三棱锥，平面与正方体体对角线垂直，球心在上， 到球心的距离为，到平面的距离为， 则球心到平面的距离为， 因为，所以，解得，符合，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：，，则命题的否定为______. 【答案】 【解析】 【分析】改变量词，否定结论即得. 【详解】因特称命题的否定是全称命题，故命题：，的否定为. 故答案为： 13. 已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可得右焦点为，又因为MF垂直于轴，把代入抛物线， 可得，又因为公共点M在第一象限，所以，即，把代入 双曲线可得，，又因为，解得， 所以，即. 14. 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】化简条件式得到，利用等差数列的通项公式化简得，把原不等式转化为恒成立，结合基本不等式和对勾型函数性质，即可求解. 【详解】由，，可得， 整理得，， 所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列. ，则， 又由恒成立，即，对恒成立， 令， 当时，，当时，， 由对勾函数的单调性，得，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 【答案】15. 16. 【解析】 【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. 【小问1详解】 ，可得 又 【小问2详解】 由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 16. LABUBU的爆火，是一场关于设计、营销、文化融合与消费心理的多重胜利，但这也只是中国IP全球化浪潮的一个缩影．某大学生社团为了解该校学生对LABUBU的喜爱情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 女生 40 60 100 男生 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对LABUBU喜爱情况是否与性别有关联； （2）现从女生样本中按对LABUBU是否喜欢，用按比例分配的分层随机抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调研．记抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为X，求的值． 参考公式及数据，其中． 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 【答案】（1）根据小概率值的独立性检验，认为该校学生对LABUBU喜爱情况与性别有关联. （2） 【解析】 【分析】（1）计算，再结合独立性检验的思想判断即可； （2）根据题意，5人中，喜欢LABUBU的有2人，不喜欢有3人，进而根据超几何分布求的可能取值的对应概率，计算期望即可. 【小问1详解】 零假设学生对LABUBU喜爱情况与性别无关联， 根据列联表，有， 所以根据小概率值的独立性检验，认为该校学生对LABUBU喜爱情况与性别有关联. 【小问2详解】 女生样本中，喜欢LABUBU的有40人，不喜欢的有60人， 所以，根据按比例分配的分层随机抽样法，喜欢的人抽取2人，不喜欢的抽取3人， 从这5人中随机抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为的可能取值为， ，， ， 所以． 17. 如图，在直三棱柱中，，是棱上一点（不包含端点），是的中点． （1）若是的中点，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，则需要通过证明线线平行，即证明． （2）先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出参数值，进而求得结果. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，则． 又在直三棱柱中，，所以． 因为为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由题知两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， ． 设平面的一个法向量为，则 取，则，所以． 设，直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去），所以， 即直线与平面所成角的正弦值为时，的长为． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上． （1）求的方程； （2）设直线：与交于、两点． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标得到，再将点代入椭圆方程，结合即可得到的方程； （2）（ⅰ）先联立椭圆和直线方程得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理及已知条件得到点坐标，进而得到的值；（ⅱ）先根据中点的坐标及中点也在直线上求出，再根据弦长公式求出，再根据，得到点在以为直径的圆上，从而得到当、、三点共线时，有最大值，进而得到，再利用三角换元法或导数法求最值即可． 【小问1详解】 由椭圆的左、右焦点分别为，，则， 又椭圆过点，所以， 又，故，所以的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为直线：与椭圆交于、两点，设、两点坐标分别为，， 联立，消去，整理得， 则，解得， 则，， 又，， 则，即， 又因为点在椭圆上，即， 联立方程组，解得，，，， 由于点在直线方程上， 解得，，，， 又因为，所以． （ⅱ）设线段的中点坐标为，则， 所以，所以， 所以， 又，则点在以为直径的圆上， 而，当且仅当、、三点共线时等号成立， ，其中. 法1：（三角换元法） 设，，则， 所以，， 当时，，所以的最大值为． 法2：（导数法求最值） 令，则，， 所以， 因为在上单调递减，由，得 当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减， 所以，所以的最大值为． 19. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，） 【答案】（1）最小值为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，找到唯一极小值点，从而确定函数的最小值； （2）通过参变分离，将恒成立问题转化为求函数的最大值问题，再利用导数研究的单调性，得到其最大值，进而求出的取值范围。 （3）利用第 (2) 问得到的不等式结论，构造可放缩的不等式，再通过累加法对个不等式求和，最终得到数列不等式的证明. 【小问1详解】 当时，函数 ，定义域为，， 所以当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且最小值为. 【小问2详解】 当时，恒成立等价于恒成立， 令，求导得， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则，即恒成立， 所以当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以a的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，（），即（），所以， 则，当且仅当时取等号， 所以，，…，， 将以上个不等式左右两边分别相加得 ， 即（，）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期高二年级期末考试 数学试卷 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡"条形码粘贴处". 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 设向量，则与夹角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 3. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则M与N的关系是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合A={1,2,3,4}，B={1,2,3}，若函数f：A→B 满足：对任意∈A，都有,则符合条件的函数共有（ ）个. A. 5 B. 31 C. 35 D. 64 8. 已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点各不相同”，事件B=“甲独自去一个景点”，则 C. 在回归分析中，为0.98的模型比为0.99的模型拟合的效果更好 D. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高 10. 已知函数，则( ) A. 为奇函数 B. C. 在上单调递减 D. 最大值为 11. 在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平行 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 若 ，则三棱锥的体积为 D. 若多面体存在内切球，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题：，，则命题的否定为______. 13. 已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 14. 已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 16. LABUBU的爆火，是一场关于设计、营销、文化融合与消费心理的多重胜利，但这也只是中国IP全球化浪潮的一个缩影．某大学生社团为了解该校学生对LABUBU的喜爱情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 女生 40 60 100 男生 25 75 100 合计 65 135 200 （1）试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生对LABUBU喜爱情况是否与性别有关联； （2）现从女生样本中按对LABUBU是否喜欢，用按比例分配的分层随机抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调研．记抽取3人中不喜欢LABUBU的人数为X，求的值． 参考公式及数据，其中． 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 17. 如图，在直三棱柱中，，是棱上一点（不包含端点），是的中点． （1）若是的中点，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上． （1）求的方程； （2）设直线：与交于、两点． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值． 19. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $