2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第11章三角形的证明及其应用》期末综合复习训练题

**基本信息** 以三角形证明为核心，整合反证法、全等判定、特殊三角形性质等，形成“概念-判定-性质-综合应用”的逻辑链条，突出推理意识与几何直观的培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|5题（如反证法、直角三角形判定）|反证法假设结论反面、勾股定理逆定理|三角形内角和→特殊三角形概念生成| |几何证明与计算|12题（如全等证明、角平分线性质）|全等判定条件选择、辅助线构造（作垂线）|全等判定→线段/角平分线性质→几何计算| |综合探究|2题（等边三角形动态综合、动点探究）|动态问题分类讨论、全等迁移应用|特殊三角形性质→动态几何不变关系|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第11章三角形的证明及其应用》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．用反证法证明“在中，至少有一个内角不小于”，应假设（    ） A．三个内角都小于 B．三个内角都大于 C．三个内角至多有一个不小于 D．三个内角至多有两个不小于 2．在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 3．已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形顶角的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，连接该两点，所得直线交于点，连接．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 6．如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（     ） A． B．2 C．1 D． 7．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤ 二、填空题 8．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点． 9．如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 10．如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G．若，，则的长为 _____ ． 11．如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 12．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 13．如图，已知线段、相交于点，连接、，、分别是和的三等分线，、．若，，则________． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 三、解答题 15．尺规作图 已知：如图，． 求作：点P，使P在的中线上，且到，两边的距离相等． 16．如图，，相交于点，连接，． (1)求证：． (2)若 ，，，求的度数． 17．如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 18．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 19．如图，已知在中，，平分交于点，过点作于点，交于点，且． (1)证明：垂直平分； (2)在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 20．综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 参考答案 1．A 【分析】本题考查反证法与命题的否定，熟练掌握反证法和命题的否定是解题的关键，反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不小于60°”的反面是“所有内角都小于”，即可得到答案． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不小于”， ∴其反面为“所有内角都小于”， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查直角三角形的判定，利用三角形内角和定理与勾股定理逆定理，计算各选项的角度或边长关系，即可求解． 【详解】解：∵三角形内角和为， 对选项A，设，由， 得，， 则， 解得 ，则，，，三个内角均不为，故△ABC不是直角三角形； 对选项B，，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 对选项C，设三个角分别为，，，则， 解得，得最大角， 是直角三角形； 对选项D，由移项得，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 综上，不能判断为直角三角形的是A选项． 3．A 【分析】本题根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，已知一底角为， ∴顶角度数为． 4．C 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可. 【详解】解：根据已知， 只有两个条件没法证明全等，故D选项不符合题意， 当，，根据可以得到； 当或时，不能得到. 5．B 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，由含30度直角三角形的性质得出． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．B 【分析】过点作，得到，由平行线的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵D是平分线上的一点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．D 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，，①正确； ②， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，②正确； ③与②的过程同理得：， ∴， ③正确； ④∵，且， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴⑤正确． ∴①②③⑤是正确的． 8． 三边垂直平分 【详解】解：∵ 到距离相等的点在的垂直平分线上，到距离相等的点在的垂直平分线上， ∴两条垂直平分线的交点，就是到三个顶点距离都相等的点， ∴应该蹲守在三边垂直平分线的交点． 9．45 【分析】本题考查正方形网格中的角度计算，解题核心是通过构造辅助线，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出相关角的度数，再计算差值． 【详解】解：如图所示，连接各格点， ，，， ， ，， ，， ， 10．5 【分析】首先根据尺规作图的步骤，判断是的角平分线，得到角相等的条件，过点G作的垂线，利用角平分线的性质，得到该垂线段的长度等于的长度，用勾股定理计算AB的长度，再通过三角形面积的不同表示方法，或者利用角平分线分对边成比例的性质，建立关于或的方程，结合的长度求解． 【详解】解：过G作于H， 由作图得：平分， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，平分， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 设． 则，即：， 解得：， ∴ ． 11． 【分析】先证明，得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 12． 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 13． 【分析】设、交于点，根据题意可得，，再根据，，得到，即可求解． 【详解】解：如图，设、交于点， 、，，，，， ，， ，， ， 故答案为：． 14． 【分析】先由直线求出与坐标轴的交点、，从而得，为等腰直角三角形，．由可推出．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，．通过同角的余角相等证明，进而证明 ，得到，，从而确定点的坐标为．再利用待定系数法求出直线$EB$的解析式，求其与轴的交点即可得点的坐标． 【详解】解：对于直线， 令，得， ， ； 令，得， ， ． ， ． ，， 为等腰直角三角形， ． ， ． 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则． 在中，， ， 为等腰直角三角形， ． ， 又， ． 在和中： ， ， ，． ，， ， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 令，得， ， 点的坐标为． 15．见解析 【分析】本题主要考查尺规作图作垂直平分线和角平分线，先作的中线，再作的角平分线，最后找交点即可． 【详解】解：先作的中线，作的垂直平分线找到中点，连接得到中线，再作的角平分线：因为到、两边距离相等的点在的角平分线上，所以两条线的交点即为所求点． 所以点即为所求作的点． 16．(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由对顶角相等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∵ ，，， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 18．(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，则，结合对顶角相等可得，得到．结合平分可证明，则，得证； （2）连接，由等腰三角形的性质可得垂直平分，则，由勾股定理可得，因此． 【详解】（1）证明：， . ， ， ， . 在和中， ， ， . ， 又， ， ，即， . 平分， （角平分线的性质）. 在和中， ， ， （全等三角形对应边相等）， 垂直平分. （2）如图，连接， ∵，是边的中点， ∴，即垂直平分， ∴， 由（1）可知，， 在中，， ∴． 20．(1)①；② (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）通过证明，可推出，再根据和推出； （2）当点在延长线上时，通过证明，传递边与角的等量关系，可验证（1）的结论依然成立； （3）分点在线段上和延长线上两种情况，结合前两题的全等三角形结论，分别计算出． 【详解】（1）解： ，即，，即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （2）解：成立，理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （3）解：当点在上时， 由（1）可知， ，， ， ； 当点在延长线上时， 由（2）可知， ，， ， ， 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $