2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第8章证明》期末综合复习训练题

**基本信息** 以命题证明为核心，整合平行线性质与判定，通过基础概念辨析、性质应用及综合探究，系统培养推理意识与几何直观，形成“概念-原理-应用”的逻辑闭环。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-4、填空8-10|命题真假判断、反例构造|从命题结构分析到真假命题辨析，构建证明基础| |性质应用|单选5-7、填空11-14|平行线性质与判定、辅助线添加|结合折叠、三角尺摆放等情境，强化性质与判定的灵活转换| |综合探究|解答15-20|多知识点整合、模型迁移|通过“平行线间折拐”等探究，培养从具体到抽象的推理能力，实现方法迁移|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第8章证明》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列命题中为真命题的是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．邻补角相等 2．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 3．若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（     ）． A．， B．， C．， D．， 4．下列条件中，能判定的是（     ） A． B． C． D． 5．直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．已知与的两边分别平行，且比的2倍多，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 7．如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 9．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 10．如图，借助直尺和三角尺画平行线，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线a，b，则，其中用到的理论依据是__________． 11．如图，将一个长方形的纸条按如图所示方法折叠．若，则的度数为_________． 12．一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点在直线上，，若，则的度数为______． 13．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小雅把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 14．如图，在一次无人机航拍任务中，无人机沿一条直线飞行至湖泊区域时，为避开湖面障碍，需在B，C，D三个观测点依次调整航向．经过三次航向调整后，无人机的最终飞行方向与第一次调整前的方向平行（）．若，则的度数是______． 三、解答题 15．如图，直线与相交于点为直线上一点（不与点重合）． (1)用直尺和圆规过点作直线，使与成为内错角（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图的基础上，当时，求的度数． 16．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 17．如图，，，是的角平分线．试说明：． 解： 是的角平分线， _______（_______）， 又（已知）， （_______）， _______（_______）， （_______）， 又（_______）， （ ）， ∴（_______）． 18．如图，已知， (1)求证：； (2)若于点，求的度数． 19．如图，已知，且，点在的延长线上，且平分． (1)求证：； (2)写出之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 20．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 参考答案 1．B 【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质、邻补角的定义，逐个判断各命题的真假即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵两直线平行，同位角相等，一般情况下，同位角不一定相等， ∴该命题是假命题，不符合题意； B选项：∵对顶角相等是对顶角的性质， ∴该命题是真命题，符合题意； C选项：∵两直线平行，同旁内角互补，一般情况下，同旁内角不一定互补， ∴该命题是假命题，不符合题意； D选项：∵邻补角的和为，不一定相等， ∴该命题是假命题，不符合题意． 2．C 【分析】本题主要考查平行公理及垂线的性质，根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”以及“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可得出和的值，进而求解． 【详解】解：由图可知，点在直线外， ∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴， ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴， ∴． 3．A 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可，即反例需同时满足和． 【详解】解：对各选项逐一验证： 选项A：， ，得，满足命题条件，又，即，不满足命题结论，该选项可以作为反例； 选项B：，满足，也满足，不能作为反例； 选项C：，满足，也满足，不能作为反例； 选项D：，，不满足命题条件，不能作为反例． 4．B 【分析】本题考查了平行线的判定方法．首先判断每一组角的结构类型，然后结合平行线的判定方法对每个选项逐一分析即可． 【详解】解：A选项，和既不是同位角，也不是内错角，因此不能判断出，所以选项A不符合题意； B选项，和是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，能判断出，所以选项B符合题意； C选项，和是内错角，构成这两个角的被截直线分别是，根据“内错角相等，两直线平行”，能判断出，所以选项C不符合题意； D选项，和是同旁内角，构成这两个角的被截直线分别是，根据“同旁内角互补，两直线平行”，能判断出，所以选项D不符合题意； 5．D 【分析】先由，可得，易求，而是的角平分线，从而可求，又，可知，即可求． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6．B 【详解】解：∵与的两边分别平行， ∴或， ∵比的2倍多， ∴， ∴且， ∴， 解得． 7．C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8． 两个角的和为 这两个角互为补角 【详解】解：命题“和为的两个角互为补角”的条件是：两个角的和为，结论是：这两个角互为补角． 9．对顶角相等（答案不唯一） 【分析】要说明小红的观点错误，只需举出一个原命题为真，交换题设与结论后得到的新命题为假的例子即可． 【详解】解：“对顶角相等”是真命题，该命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”， 交换题设与结论后得到新命题“相等的角是对顶角”，该命题是假命题， 例如不同三角板的直角都为，二者相等但不是对顶角， 因此该例子可以说明小红同学的观点是错误的. 故答案为对顶角相等（答案不唯一）. 10．同位角相等，两直线平行 【分析】根据两角的位置，结合平行线的判定方法，即可得出答案． 【详解】解：如图，直尺的边缘所在的直线视为截线，在推动三角尺的过程中，三角尺的一边与直尺边缘所成的角的大小保持不变， 这两个角分别在直线，的同一方，并且都在截线的同侧，属于同位角， 因为同位角相等，根据平行线的判定定理，可得． 所以该作图方法用到的理论依据是：同位角相等，两直线平行． 11． 【分析】根据折叠的性质可得，利用平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质两直线平行同旁内角互补即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ， ， 长方形纸条的对边平行， . （两直线平行，同旁内角互补）， ， 故答案为：． 12． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 13．/度 【分析】过点作，根据平行线的性质，求得的度数，再根据平行线的传递性，证明，可求得的度数，即可进一步求得答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14． 【分析】过点作，根据平行线的判定和性质求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 15．(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）作即可得到，此时与成为内错角； （2）由平行得到，再由即可求解的度数，最后根据邻补角互补求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；（作法不唯一） （2）解：， ， ， ， ． 16．见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 17．见解析 【详解】解： 是的角平分线， ∴（角平分线的定义）， 又（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由可得，进而可得，再由，得到，再等量代换即可证得； （2）由题可得，再，可得，根据即可求解． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ； （2）解：， ， 解得，则， ， ， ， 19．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意得到，得出，即可得到结论； （2）过点作，得到，根据平行线的性质即可得到结论； （3）先求出，过点作，得到，，进而求出，再根据平分，得到，再求出，根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，过点作， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：∵，， ∴， 如图，过点作， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 学科网（北京）股份有限公司 $