2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第7章二元一次方程组》期末综合复习训练题

**基本信息** 以二元一次方程组解法为核心，整合换元法、整体思想等解题策略，构建从概念理解到实际应用的完整知识链，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选题1-2|解的意义应用|从解的定义到方程性质推导| |基本解法|解答题15|代入/加减消元|从基础步骤到技巧优化| |思想方法|解答题17/22|换元法/整体求值|从具体运算到抽象转化| |实际应用|解答题19/21|建模分析|从数学模型到现实问题解决|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第7章二元一次方程组》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C．1 D．3 2．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（    ） A．由①得 B．由②得 C．由②得 D．由①得 3．定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（   ） A．-3 B．5 C．25 D．29 4．如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 5．某果园为推广葡萄新品种，计划将100千克的葡萄分装成3千克和5千克“葡萄礼盒”赠给水果采购商（每种礼盒不少于6盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 6．某班需采购本和尺子作为奖品，尺子3套、本2个，共需34元；尺子2套、本3个，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（    ） A．每套尺子比每个本贵2元 B．每套尺子比每个本便宜2元 C．尺子比本多买了2个 D．尺子比本少买了2个 7．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知用含x的代数式表示y为________． 9．，则________． 10．小明在解方程组时由于看错，解得，而正确解为，则________． 11．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 12．等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为______． 13．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为___． 14．将6个形状、大小相同的小长方形放置在大长方形中，其他信息如图所示，则阴影部分的面积为________． 三、解答题 15．解方程组： (1) (2) 16．已知方程组和有相同的解，求的值． 17．解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 18．已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 19．用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需要用时分钟；技术改进后，充满电需要用时分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k和b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在上，且满足，求点D的坐标． 21．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 22．在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：由②－①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)已知，求的值． (2)某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 参考答案 1．解：∵ 是关于、的二元一次方程的一个解， ∴ ， 整理得 ：， 解得． 2．解：对① 移项， ， 移项得 ， ，故A错误，D正确； 对② 移项， ， 移项得 ，故B，C错误． 3．C 【分析】根据新定义列出方程组，解方程组求得，代入规定的式子，将代入进而即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴， ． 4．C 【分析】由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 5．B 【分析】设两种礼盒的盒数为未知数，根据总重量列二元一次方程，结合两种礼盒盒数均为不小于6的正整数的条件，求出所有符合条件的正整数解，即可得到方案数. 【详解】解：设千克装礼盒有盒，千克装礼盒有盒，均为正整数， 根据题意可得，且，， ∴， ∵为正整数， ∴为的倍数， ∴，，， ∴符合条件的方案共有种． 6．B 【分析】根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价，据此结合方程和选项可得答案． 【详解】解：根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价， ∴的实际意义为每套尺子比每个本便宜2元． 7．A 【分析】根据题意，设每块墙砖的长为，宽为，利用“3块横放比1块竖放高”和“2块横放比2块竖放低”这两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为 ∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为 ∴ 可得方程：，即 ∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为 ∴可得方程：，即 ∴ 联立可得方程组：． 8． 【详解】解：， 由得， 将代入得． 9．1 【分析】根据绝对值的非负性和完全平方的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组求解的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得， ∴， ∴． 10．24 【分析】看错系数得到的解满足第一个方程，正确解满足方程组的两个方程，将对应解分别代入得到关于，，的方程，求解得到三个未知数的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，满足方程， 代入得，； 将正确解代入，得； 联立得方程组， 解得 将正确解代入，得， 解得， ∴． 11． 【分析】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，用换元法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解为， ∴， ∴． 12．8或10 【分析】设腰长为，底边长为，根据题意分两种情况列方程组求解，再检验结果是否符合三角形三边关系即可. 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据题意得或， 解得或， 经检验，两组解均满足三角形三边关系； 因此等腰三角形的腰长为或. 13． 【分析】设水速为、船速为，由题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水速为、船速为，则 ， 由①②得 解得． 14． 【分析】首先设小长方形的长为宽为由图形得等量关系：①1个长+3个宽；②2个宽+6=1个长+1个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设长方形的长为宽为 根据题意，得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 15．(1) (2) 【分析】先通过变形消去其中一个未知数，求出另一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程，得到另一个未知数的值． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， ①得：③， ②得：④， ③④得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 16．0 【分析】先解方程组得到，再把代入方程组中得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组和有相同的解， ∴， 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为， ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 18．(1)， (2) (3) 【分析】（1）将变形为，分别令求得的值，即可求解； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：， ∴， 当时，， 当时，， ∴的所有正整数解为， ； （2）解：由和得， ， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 19．分钟 【分析】本题为二元一次方程组实际应用题，设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟 ，根据改进前后总充电时长和各阶段用时减少比例列方程，求解得到改进前快速充电用时，进而计算得到快速阶段减少的用时． 【详解】解：设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟． 根据题意可得 解得： 因此快速充电阶段减少的用时为 （分钟） 答：快速充电阶段用时减少了分钟． 20．(1)， (2) (3)点D的坐标或． 【分析】（1）由正比例函数表达式求出交点C坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）设，分别求出和，分两种情况讨论利用三角形面积公式分别列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在上，且点C的横坐标为1， 将代入，得， ， 将，代入， 得， 解得 ； （2）解：变形为， 由图象和方程组知，的解为函数与的交点坐标，即， ∴方程组的解为； （3）解：∵点D在上，直线的解析式为， 设，过点作轴于点M，过点作轴于点N， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴． 当点在延长线上时， 同理得， 解得， ∴， ∴， 综上，点D的坐标或． 21．(1)1头牛需要3两银子，1只羊需要2两银子 (2)购买了7只羊 (3)商人有3种购买方案，最多买5头牛 【分析】（1）设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买了m头牛，n只羊，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）设购买a头牛，b只羊，可得二元一次方程，则，再列举a的值，确定b的值即可解答． 【详解】（1）解：设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子， 由题意可得，解得：， 答：买1头牛需要3两银子，买1只羊需要2两银子． （2）解：设购买了m头牛，n只羊， 由题意可得，解得； 答：购买了7只羊． （3）解：设购买a头牛，b只羊， 依题意有，则， ∵a、b都是正整数， ∴共有三种购买方案： ①当时，，即购买1头牛，9只羊； ②当时，，购买3头牛，6只羊； ③当时，，购买5头牛，3只羊． 当均不符合题意． 答：共有三种购买方案，最多买5头牛． 22．(1)3 (2) 购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【分析】（1），即可得出结果； （2）设1本笔记本的费用为元，1支签字笔的费用为元，1支记号笔的费用为元，根据题意，列出方程组，利用整体求值法求解即可. 【详解】（1）解：， ，得， ∴； （2）解：设1本笔记本的费用为元，1支签字笔的费用为元，1支记号笔的费用为元， 由题意， ，得， ∴（元）； 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元. 学科网（北京）股份有限公司 $