专项突破2 二元一次方程组实际应用题型举例-【全程复习大考卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

专项突破二二元一次方程组实际应用题型举例 类型一行程问题 1.兄弟二人骑车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行4千米，后一半路程每小时行6千米。 哥哥按时间分段行驶，前？时间每小时行4千米，中间时间每小时行5千米，后？时间每小时行6 千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟。求甲、乙两地距离和哥哥总共所用时间。 r 2.小明和小伟分别从A,B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发 24min后两人相遇。相遇时小明比小伟多行进4.8km,相遇后6min小明到达B地。两人每小时分 别行进多少千米？相遇后经过多长时间小伟到达A地？ 3.为了测得隧道长度和火车通过隧道时的速度，小明和小亮在隧道两端进行观察：火车从开始入隧道 9 到完全出隧道共用时24s,整列火车完全在隧道内的时间为16s,整列火车长240m。请你根据小明 和小亮获得的数据，求隧道的长度和火车过隧道的速度。 类型二销售与利润问题 4.新情境〔实际情境〕甲、乙两种商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定 价。后来两种商品都按定价的90%出售，结果仍获利27.7元。甲、乙两种商品的成本各是多少元？ 5.萍乡市湘东区有“中国工业陶瓷之都”的美称，湘东区的陶瓷热销全国各地。在某次商品交易会上， 某陶瓷企业出售了A,B两种产品：已知出售1件A产品和3件B产品共收人1100元，出售2件A 产品和5件B产品共收人1900元。 (1)求A产品和B产品每件的售价； (2)若出售A,B两种产品（均有销售）共收入2200元，则出售A,B两种产品各几件？ 养 6.新素材〔科学技术〕列方程（组）解决下列问题： 2025年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对 经销商采取销售奖励活动。某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的A型和B型 共650台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共900台，其中A型汽车和B型汽 车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长25%和60%。 (1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的A型汽车和B型汽车分别为多少台？ (2)若A型汽车每台售价为12万元，B型汽车每台售价为15万元。新奖励办法是：每销售一台A型 汽车按每台汽车售价的3%给予奖励，每销售一台B型汽车按每台汽车售价的2%给予奖励。新 奖励办法出台后的第二个月，A型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了5m%;而B型汽车 受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了4m%,新奖励办法出台后的第 二个月，该经销商共获得的奖励金额321万元，求m的值。 类型三配套问题 主题情境生产与数学请完成第7~8题 7.新素材〔传统文化〕“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红。”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承 载着深厚的历史与文化底蕴。在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体 验有显著影响。某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶 杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？ 8.某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间 应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可 列出方程 。（只需列出方程，不用解答) (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程。 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·31· 类型四和差倍分问题 9.某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色 的意义如表1所示。 咖啡因含量标示 咖啡因含量 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 红色 超过100毫克 A型 中杯 400毫升 黄色 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 B型 中杯 400毫升 红色 绿色 不超过50毫克 表1 表2 该茶饮店售卖的产品中有A,B两种类型含咖啡因饮料，表2为A,B两种饮料的容量及咖啡因含量 标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共 含咖啡因0.5毫克，2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克。 (1)A,B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ (2)我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁 生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再 喝第二杯，但是妈妈不同意。请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量 是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 10.随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售 公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计60万元； 2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元。 (1)求A,B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请 你帮助该公司设计购买方案。若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆 B型汽车可获利7000元，在所有的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利 最大？最大利润是多少元？ ·32· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 类型五数字问题 11.佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 12:00 13:00 14:00 十位数字与个位数字相比 比12：00看到的两位数中间多了 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 12:00时看到的刚好颠倒 个0 求佳佳12：00时看到的两位数。 12.算盘是我国优秀文化遗产。它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部 分，每个上珠代表5，每个下珠代表1。如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说： 我将要拨的三位数，个位数字与十位数字之和是百位数字的2倍，个位数字减2等于十位数字加2， 请求出这个三位数。 百十个 位位位 >8388 类型六几何图形问题 13.如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一个正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积 为多少？ 14.如图，在大正方形ABCD中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形AEFG纸片，4块相同的小长 方形纸片和1块小正方形纸片，若大正方形ABCD的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9， 求大长方形AEFG的面积。 G A B为/4， 答：甲乙两地相距40千米，哥哥总共所用时间为8 y=-3, 小时。 2x =4, 2.解：设小明每小时行进x千米，小伟每小时行进y千米， m=4, 「x=10, 、即有 解得 242 n=-3 3y =-3, y=-5。 6 60=4.8, x=16, 5 由题意，得 解得 6.24 y=4。 x=10, 60x=60, 故方程组的解为 y=-5。 24 2022x+2023y=2024,① 60×16÷4=1.6(小时)。 12.解：(1) 2025x+2026y=2027,② 答：小明每小时行进16千米，小伟每小时行进4千米， ②-①，得3x+3y=3,所以x+y=1,③ 相遇后经过1.6小时小伟到达A地。 ③×2022，得2022x+2022y=2022,④ 3.解：设隧道的长度为xm,火车过隧道的速度为ym/s, ①-④，得y=2, r24y=x+240, 由题意可得 把y=2代入③，得x+2=1,解得x=-1, l16y=x-240, 所以原方程组的解是 x=-1, 解得x=1200, y=2。 Ly=60。 2)/-1 r2077x-2078y=2079,① 【解析】 答：隧道长1200m,火车过隧道的速度为60m/s。 ly=-2 2078x-2079y=2080,② 4.解：设甲种商品的成本是x元，乙种商品的成本是y元， ②-①，得x-y=1,③ 根据题意，得 ③×2077，得2077x-2077y=2077,④ x+y=200, ①-④，得-y=2,解得y=-2, 1(1+30%)x·90%+(1+20%)y·90%-200=27.7, 把y=-2代入③，得x+2=1, 解得x=-1。 解得130， y=70。 所以原方程组的解是厂代=-1， 答：甲种商品的成本是130元，乙种商品的成本价是 ly=-2。 70元。 (3)猪测：=-1， 验证如下： y=2。 5.解：(1)设A产品的售价为x元，B产品的售价为y元， 当x=-1,y=2时，第一个方程：左边=-m+（m+ 由题意，行+3=10解得=20， 1)×2=-m+2m+2=m+2=右边， 2x+5y=1900,y=300。 第二个方程：左边=-n+(n+1)×2=-n+2n+2= 答：A产品的售价为200元，B产品的售价为300元。 n+2=右边： (2)设出售A产品a件，出售B产品b件， 「x=-1 由题意，得200a+3006=2200, 是原方程组的解。 ly=2 化简，得2a+3b=22。 专项突破二二元一次方程组实际应用题型举例 :a,b为正整数， 1.解：设甲、乙两地相距x千米，哥哥从甲地到乙地总共所 「a=2, 或 或8， a=5 用时间为y小时， lb=6lb=4lb=2。 答：出售A产品2件，B产品6件或出售A产品5件， 20 =y+60' B产品4件或出售A产品8件，B产品2件。 由题意，得 6 6.解：(1)设在新办法出台前一个月，该经销商销售x台A 1 1 4x3+5×3+6 3=x, 型汽车，y台B型汽车，则在新办法出台后的第一个月， 解得40， 该经销商销售(1+25%)x台A型汽车，（1+60%)y台 y=8。 B型汽车， 58· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 根据题意，得+y=650, 1(1+25%)x+(1+60%)y=900, 由题意，得+2y60, 2x+3y=95, 解得10， y=25。 x=400, 答：A型汽车每辆的进价为10万元，B型汽车每辆的进 解得 y=250。 价为25万元。 ∴.(1+25%)x=(1+25%)×400=500(台)， (2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， (1+60%)y=(1+60%)×250=400(台)。 由题意，得10m+25n=200,解得m=20- 答：在新办法出台后的第一个月，该经销商销售500台 2n。 A型汽车，400台B型汽车。 m,n均为正整数， (2)根据题意，得12×3%×500(1+5m%)+15×2%× 「m1=15,rm2=10,fm3=5, 400(1-4m%)=321, n1=2,ln2=4,ln3=6。 解得m=5。 ∴.共3种购买方案，方案一：购进A型汽车15辆，B型 答：m的值为5。 汽车2辆；方案二：购进A型汽车10辆，B型汽车4辆； 7.解：设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人， 方案三：购进A型汽车5辆，B型汽车6辆。 则可列方程组+y=120, 方案一获得利润4000×15+7000×2=74000（元）； 200x=8×50y, 解得/80， y=40e 方案二获得利润4000×10+7000×4=68000（元）； 答：安排生产茶杯的工人有80人，生产茶壶的工人有40 方案三获得利润4000×5+7000×6=62000（元）。 人，可使每天生产的产品配套。 62000<68000<74000, 8.解：(1)(28-x)2×12x=18(28-x)【解析】设分配 ∴.购进A型汽车15辆，B型汽车2辆获利最大，最大 x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为(28-x)名， 利润是74000元。 :每个螺栓要配2个螺母，每人每天能生产螺栓12个 11.解：设12：00时看到的两位数的十位数字为x,个位数 或螺母18个， 字为y, .2×12x=18(28-x)。 依题意，得代+y=7, (2)设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母。 10y+x-(10x+y）=100x+y-(10y+x), 根据题意，得+y28,。解得=12， 解得1， l2×12x=18y,1 ly=16。 y=6。 答：该车间应分配12名工人生产螺栓，16名工人生产螺 ∴.10x+y=16,即12：00时看到的两位数是16。 母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套。 12.解：设个位数字为x,十位数字为y, 9.解：(1)设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型 由题意，得x+y=2×6,。 「x=8, 解得 饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克， x-2=y+2,y=4。 x+y=0.5, 则这个三位数为648。 根据题意，得 2×400x+400y=280, 13.解：设小长方形的长为x,宽为y, 「x=0.2, 解得 ly=0.3。 由题意，得心+2=15 x=3y, 解得9， y=3。 答：A型饮料每毫升的咖啡因含量为0.2毫克，B型饮料 ∴.阴影部分的正方形边长为2y=6。 每毫升的咖啡因含量为0.3毫克。 .阴影部分的面积为62=36。 (2)根据题意，得0.2×400×2=160（毫克）， 14.解：设大长方形AEFG纸片的长为a,宽为b(a>b), 160>100,160-100=60(毫克)。 .(a-b)2=9,即a-b=3。 答：小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因 ,大正方形ABCD的面积是49， 摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克。 .3+46=7。 10.解：(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每 -6=3,解得a=4, 辆的进价为y万元， 3+4b=7,b=1。 .大长方形AEFG的面积是1×4=4。 ∴.∠AME=∠MEF,∠CNE=∠NEF。 专项突破三平行线的常见模型 .∴.∠MEN=∠MEF+∠NEF=∠AME+∠CNE。 1.C【解析】如图，过点C作CM∥AB。 (2)165°【解析】如图2，延长BC,FE相交于点P E 点P作PQ∥AB交CD于点Q。 AB -C,P M D ED∥AB,∴.CM∥ED。 M .∠D+∠MCD=180°，∠MCB+∠B=180°。 图2 BC LAB,∴∠B=90°。∴.∠MCB=90°。 AB∥GH,∴.AB∥GH∥PQ。 .∠MCD=∠DCB-∠MCB=140°-90°=50°。 .∴.∠QPF=∠EFH=75°，∠ABC+∠BPQ=180°。 .∠EDC=130°。 BC⊥EF,.∠BPF=90°。 2.解：(1)两直线平行，同旁内角互补 ∴.∠BPQ=90°-∠QPF=90°-75°=15°。 平行关系的传递性C360° ∴.∠ABC=180°-∠BPQ=180°-15°=165°。 A A B J---- (3)如图3，根据题意，得∠AME=10°t,∠DNF=25°t .∠EPN=15°t。 H-- H----------- 4 由题意可得∠EPN=45°。 F E ∴.15t=45°，解得t=3; 图1 图2 (2)540°【解析】如图1，分别过，点C,D作CG∥AB,DH M ∥AB,则CG∥DH∥EF, .∠1+∠B=∠2+∠3=∠4+∠E=180°。 N ∴.∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠1+∠B+∠2+∠3+ 图3 ∠4+∠E=540°。 如图4，根据题意，得∠AME=10°t,∠CNF=25° (3)720°【解析】如图2，分别过点C,D,E作AB的平 180°，由题意，得∠EPN=45°， 行线CJ,DH,EI,则CJ∥DH∥EI∥FG, .25°t-180°+45°=10°t,解得t=9。 ∴.∠B+∠BCJ=180°，∠JCD+∠CDH=180°， M ∠HDE+∠IED=180°，∠IEF+∠GFE=180°， A B .∠B+∠BCD+LCDE+∠DEF+∠F=720°。 C EN D (4)(n+1)·180°【解析】由(1)(2)(3)知，拐，点的个 图4 数n与角的和之间的关系是(n+1)·180°， 综上所述，运动时间t为3或9。 .∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D=(n+1)·180°。 4.解：AB∥DE。 3.解：(1)∠MEN=∠AME+∠CNE。理由如下： 理由：如图所示，过点C作FG∥AB, 如图1，过点E作EF∥AB。 ∴.∠BCG=∠ABC=80°。 A E<2------F 又：∠BCD=40°， ∴.∠DCG=∠BCG-∠BCD=80°-40°=40°。 C -D ∠CDE=140°， N 图1 .∠CDE+∠DCG=180°。 AB∥CD,∴.AB∥CD∥EF。 .∴.DE∥FG。 .AB∥DE。 则∠BAG=∠MBA=25°， A .∠GAC=LBAC-∠BAG=60°-25°=35°。 过 ∠PCA=35°， G .∠PCA=∠GAC。.AG∥PQ。 5.解：(1)如图1，过点C作CP∥AB,且点P在BC的 又.AG∥MN,.MN∥PQ。 下方。 (3)如图2，过点A作直线EF∥PQ, A M B N D G E H 图1 DE⊥GH,AB∥DE,∴.AB⊥GH。 A BC∥GH,∴.AB⊥BC。.∠BCP=∠B=90°。 图2 .∠DCP=∠BCP-∠BCD=90°-25°=65°。 MN∥PQ,∴.MN∥PQ∥EF。 :AB∥DE,CP∥AB, ∴.∠MBC+30°=∠BAF,∠BAF+60°=∠PCA。 .CP∥DE。 .∠MBC+30°+60°=∠PCA。 .∠CDE=180°-∠DCP=180°-65°=115°。 ∴.∠PCA-∠MBC=90°。 (2)如图2，过点C作CP∥AB,且点P在BC的下方。 7.解：(1)10°【解析】小.∠ACB=90°，∠ECD=45°， B .∠ACB+∠ECD=135°。 ∴.∠BCD=135°-∠ACE=135°-125°=10°。 D (2)①当AB在CE的上方时， G E AB∥CE,.∠BCE=∠B=30°。 图2 .∠DCE=45°， CP∥AB, .∠BCD=45°-30°=15°，即a=15°； .∠ABC=∠BCP=∠BCD+∠DCP 当AB在CE的下方时， 由(1)，得CP∥DE, AB∥CE,∴.∠ACE=∠A=60°。 .∠CDE+∠DCP=180°。 ,∠DCP=∠ABC-∠BCD, ∠DCE=45°， .∠CDE+∠ABC-∠BCD=180°。 .∠BCD=360°-90°-45°-60°=165°。 .∠CDE+∠ABC=180°+∠BCD=225°。 综上所述，若AB∥CE,a的度数为15°或165°。 6.解：(1)AB∥CD, ②除了AB∥CE外，还存在互相平行的边， .∠ACD+∠A=180°。 当AC∥DE时，a=45°； ∠A=60°， 当AB∥DE时，a=105°； .∠ACD=180°-∠A=180°-60°=120°。 当BC∥DE时，a=135°； .·∠ECD=45°， 当AB∥CD时，a=150°。 .∠ACE=∠ACD-∠ECD=120°-45°=75°。 综上所述，还存在互相平行的边，α为45°或105°或135° (2)MW∥PQ。理由如下： 或150°。 如图1，过点A作AG∥MN, BN 专项突破四求不等式（组）中的字母的 值或取值范围 1.02.a<13.B4.-12 5.解：(1)不是 图1 (2)解不等式x-3a≥0，得x≥3a; ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·59…