专项突破1 巧解二元一次方程组-【全程复习大考卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

专项突破一巧解二元一次方程组 类型一 代入消元法 3x+4y=2,① 1.用代入法解方程组 下列变形中最简单的是 2x-y=5,② A由①，得x=号3 B由①得y分 C.由②，得x=点 2 D.由②，得y=2x-5 训 3x-2y=5,① 2.对于二元一次方程组 y=x-1,② 用代入消元法解，将②代入①，正确的是 A.3x-2x+2=5 B.3x-2x-2=5 C.3x-x-1=5 D.3x-x+1=5 3.新考法〔阅读理解〕下面是小林同学解方程组 2x+y=5,的过程，请认真阅读并完成相应任务。 x-3y=6 2x+y=5,① 解： lx-3y=6。② 由①得y=5-2x,③…第一步 把③代入②，得x-3(5-2x)=6,…第二步 救 整理得x-15-6x=6,…第三步 解得-5x=21,即x=-号。…第四步 21 把x= 2代入③，得-， 67 [x= 21 5 则方程组的解为 …第五步 67 y= 任务一： ①以上求解过程中，小林用了 消元法；（填“代入”或“加减”） ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：该方程组的正确解为 任务三：请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点 建议。 养 4.解下列方程组： 3x+2y=14, +y+xY=1, (1) (2) 23 l2x-y=7; 4(x+y)-5(x-y）=-38。 5.已知二元一次方程3x+2y=18。 (1)请用关于x的式子表示y,并直接写出此方程的所有正整数解； [x+2y=a, (2)如果二元一次方程组 的解是二元一次方程3x+2y=18的解，求a的值。 [x=2-y 类型二加减消元法 2x+3y=6,① 6.用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中正确的是 13x+2y=4② A.②-①×2 B.①-②×2 C.①×3-②×2 D.①×2+②×3 7.解方程组： r3x-2(y-1)=11, x-2y=0, (1)X (2) 3x+2y=8; +=3. 8.定义一种新运算“⊕”，规定：x⊕y=ax+by,其中a,b为常数，已知3⊕2=10,1⊕(-2)=6，求a⊕b 的值。 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·29· 类型三整体法 9.某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，2本日记本，共21元；若购买9支铅笔， 5块橡皮，3本日记本，共35元。则购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱为 () A.32元 B.28元 C.24元 D.不能确定 「x+y+3=10, 10.阅读材料：小强同学在解方程组 时发现，可将第一个方程通过移项变形为x+y= 4(x+y）-y=25 7,然后把第二个方程中的x+y换成7，可以很轻松地解出这个方程组。小强同学发现的这种方法 叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法。 (1)请按照小强的解法解出这个方程组； 2x+3y=-4, (2)用整体代入法解方程组 6x-5y=16。 类型四换元法 11.新情境〔项目式学习〕数学方法： 3(2x+y)-2(x-2y）=26, 解方程组： l2(2x+y）+3(x-2y)=13, 若设2x+y=m,x-2y=n,则原方程组可化为 3m-2n=26, 解方程组，得-1， m=8, 以 2x+y=8, 「x=3, 解方程组，得 我们把某个式子看成一 2m+3n=13, x-2y=-1, ly=2 个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫作换元法。 [ax +by=6, (1)直接填空：已知关于x,y的二元一次方程组 Lbx +ay =3 的为2那么关于的二元 (a(m+n)+b(m-n)=6, 一次方程组 的解为 lb(m+n)ta(m-n)=3 x+y_x-Y=4, (2)知识迁移：请用这种方法解方程组23 2(x+y)+x-y=16; ·30· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 (3)拓展应用：已知关于x,y的二元一次方程组 4,x+b=6’的解为y=-3, Lazx +bay =c2 [=4，求关于x,y的方程 2ax+3by=51'的解。 12a,x +3b2y =5c2 类型五叠加叠减法 12.新情境〔阅读理解〕阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： T14x+15y=16,① 解方程组 时，由于x,y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、 17x+18y=19② 加减消元法来解，那将计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②-①，得3x+3y=3,所以x+y=1,③ ③×14，得14x+14y=14,④ ①-④，得y=2,从而得x=-1, 所以原方程组的解是=-1，① Ly=2。② 2022x+2023y=2024, (1)请你运用上述方法解方程组 2025x+2026y=2027; (2)请你直接写出方程组 207x-2078y=2079,的解是 2078x-2079y=2080 rmx+(m+1)y=m+2, (3)猜测关于x,y的方程组 m≠n)的解是什么？并用方程组的解加以 Inx+(n+1)y=n+2 验证。.A'C∥DK,CD∥A'K。 由平行线间距离处处相等可得DK=A'C=6千米， H A'K=CD=10千米。 .BK=BD+DK=24千米。 在直角三角形A'BK中， (3)解：.·△ACD≌△BCE, 由勾股定理得A'B=√102+242=26（千米）， ∴.∠CAD=∠CBE。 ∴.此时总费用为26×3=78（万元）。 ∴.∠AHB=∠ACB=。 21.解：相等。证明如下： .∠AHE=180°-ao 如图，连接EB,EC。 ∠CHE=2∠AE=90-2a。 1 专项突破一巧解二元一次方程组 1.D 2.A【解析】将②代入①，得3x-2(x-1)=5, 化简得3x-2x+2=5。 :AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB,EG⊥AC, 3.解：任务一：①代入 ∴.EF=EG。 ②三去括号错误 ED⊥BC,D是BC的中点， 任务二 x=3 .EB=EC。 ly=-1 在Rt△EFB和Rt△EGC中， 任务三：去括号时，如果括号前面是“-”号，去掉括 [EB=EC, 括号里面的各项都要变号。（答案不唯一） EF=EG, 3x+2y=14,① 4.解：(1) .∴.Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)。 2x-y=7,② ∴.BF=CG。 由②，得y=2x-7,③ 22.(1)证明：.∠ACB=∠DCE=ax, 把③代入①，得3x+4x-14=14, .∠ACD=∠BCE。 解得x=4。 在△ACD和△BCE中， 把x=4代人③，得y=2×4-7=1, CA=CB, ∠ACD=∠BCE, 0 CD =CE, +y+21=1,① (2) 2 3 ∴.△ACD≌△BCE(SAS)。 (2)证明：如图，过点C作CM⊥AD于点M,CW⊥BE于 4(x+y）-5(x-y）=-38,② 点N。 由①，得5x+y=6,③ :△ACD≌△BCE,∴.∠CAM=∠CBN。 由②，得-x+9y=-38,④ 在△ACM和△BCN中， 由④，得x=9y+38,⑤ ,∠AMC=∠BNC=90°， 将⑤代入③，得46y=-184,解得y=-4 ∠CAM=∠CBN, 把y=-4代入⑤，得x=2, LAC BC, .∴.△ACM≌△BCN(AAS)。 2 ∴.CM=CN。 5.解：(1).3x+2y=18, ∴.HC平分∠AHE。 .2y=18-3x。 方程两边同时除以2，得y=18,3x。 根据题意，得 5x+3y+2z=21,① 2。 9x+5y+3z=35,② x,y均为正整数， ①×2-②，得x+y+z=7, :当x=1时，y=18,3=7.5(不是整数，舍去)； 2 ∴.4x+4y+4z=4(x+y+z)=4×7=28。 当x=2时，y-18-,3×2=6,符合题意； .购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，共需28元。 2 「x+y+3=10,① 10.解：(1) 当x=3时，y=18-3x3=4.5(不是整数，舍去)： 4(x+y)-y=25,② 2 由①，得x+y=7,③ 当x=4时，y=18-3×4=3,符合题意； 2 把③代入②，得4×7-y=25,解得y=3, 当x=5时，y-18-,3×5-1.5(不是整数，舍去)。 把y=3代入③，得x=4, 2 所以方程组的解是 x=4, 「x=2,「x=4, y=3。 正整数解有 y=6,y=3。 [2x+3y=-4,① (2)+2y=a, (2)56s-5y=16,② lx=2-y,② 由②，得6x+9y-14y=16,即3(2x+3y)-14y=16,③ 把②代入①，得2-y+2y=a,解得y=a-2。 把①代入③，得3×(-4)-14y=16,解得y=-2, 把y=a-2代入②，得x=2-(a-2)=2-a+2=4-ao 把y=-2代入①，得x=1, 3x+2y=18, x=1, 所以方程组的解是 ∴.3(4-a)+2(a-2)=18。 y=-2。 去括号，得12-3a+2a-4=18,解得a=-10。 【解析】设m+n=x,m-n=y,则原 6.C 11.解：(1)m=1, n=-3 7解：(1)-2y=0,① 方程组可化为 ax+by=6, 3x+2y=8,② bx+ay=3。 ①+②，得4x=8, 「ax+by=6, 「x=-2, 的解为 解得x=2。 Ibx+ay=3 Ly=4, 将x=2代人①，得2-2y=0, 「m+n=-2 解得厂m1, 解得y=1。 m-n=4, n=-3。 故原方程组的解为 x=2, (2)设艺=m,号=，则原方程组可化为 Ly=1. 3x-2y=9,① x+Y=4 (2)原方程组整理，得 [m-n=4, 3x+4y=36,② 解得m4, 14m+3n=16,f1n=0, 即有 解得4， ②-①，得6y=27,解得y=4.5。 2=0,y=4。 13 将y=4.5代入①，得3x-9=9,解得x=6。 「x=6, 方程组的解为=4， ly=4。 故原方程组的解为 y=4.5。 (3)设号=m,彩=，则原方程组可化为 3a+2b=10,「a=4, 8.解：由题意可得 a-2b=6,1b=-1。 5ma+5b,=5c1'化简，得 am+bin=c1, .a⊕6=4⊕(-1)=4×4+(-1)×(-1)=17。 l5ma2+5nb2=5c2, Lazm+ban =c2o 9.B【解析】设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，日 :关于x,y的二元一次方程组 ax+by=G’的解 记本的单价为z元。 Lax+bzy=c2 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·57· 为/4， 答：甲乙两地相距40千米，哥哥总共所用时间为8 y=-3, 小时。 2x =4, 2.解：设小明每小时行进x千米，小伟每小时行进y千米， m=4, 「x=10, 、即有 解得 242 n=-3 3y =-3, y=-5。 6 60=4.8, x=16, 5 由题意，得 解得 6.24 y=4。 x=10, 60x=60, 故方程组的解为 y=-5。 24 2022x+2023y=2024,① 60×16÷4=1.6(小时)。 12.解：(1) 2025x+2026y=2027,② 答：小明每小时行进16千米，小伟每小时行进4千米， ②-①，得3x+3y=3,所以x+y=1,③ 相遇后经过1.6小时小伟到达A地。 ③×2022，得2022x+2022y=2022,④ 3.解：设隧道的长度为xm,火车过隧道的速度为ym/s, ①-④，得y=2, r24y=x+240, 由题意可得 把y=2代入③，得x+2=1,解得x=-1, l16y=x-240, 所以原方程组的解是 x=-1, 解得x=1200, y=2。 Ly=60。 2)/-1 r2077x-2078y=2079,① 【解析】 答：隧道长1200m,火车过隧道的速度为60m/s。 ly=-2 2078x-2079y=2080,② 4.解：设甲种商品的成本是x元，乙种商品的成本是y元， ②-①，得x-y=1,③ 根据题意，得 ③×2077，得2077x-2077y=2077,④ x+y=200, ①-④，得-y=2,解得y=-2, 1(1+30%)x·90%+(1+20%)y·90%-200=27.7, 把y=-2代入③，得x+2=1, 解得x=-1。 解得130， y=70。 所以原方程组的解是厂代=-1， 答：甲种商品的成本是130元，乙种商品的成本价是 ly=-2。 70元。 (3)猪测：=-1， 验证如下： y=2。 5.解：(1)设A产品的售价为x元，B产品的售价为y元， 当x=-1,y=2时，第一个方程：左边=-m+（m+ 由题意，行+3=10解得=20， 1)×2=-m+2m+2=m+2=右边， 2x+5y=1900,y=300。 第二个方程：左边=-n+(n+1)×2=-n+2n+2= 答：A产品的售价为200元，B产品的售价为300元。 n+2=右边： (2)设出售A产品a件，出售B产品b件， 「x=-1 由题意，得200a+3006=2200, 是原方程组的解。 ly=2 化简，得2a+3b=22。 专项突破二二元一次方程组实际应用题型举例 :a,b为正整数， 1.解：设甲、乙两地相距x千米，哥哥从甲地到乙地总共所 「a=2, 或 或8， a=5 用时间为y小时， lb=6lb=4lb=2。 答：出售A产品2件，B产品6件或出售A产品5件， 20 =y+60' B产品4件或出售A产品8件，B产品2件。 由题意，得 6 6.解：(1)设在新办法出台前一个月，该经销商销售x台A 1 1 4x3+5×3+6 3=x, 型汽车，y台B型汽车，则在新办法出台后的第一个月， 解得40， 该经销商销售(1+25%)x台A型汽车，（1+60%)y台 y=8。 B型汽车， 58· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 根据题意，得+y=650, 1(1+25%)x+(1+60%)y=900, 由题意，得+2y60, 2x+3y=95, 解得10， y=25。 x=400, 答：A型汽车每辆的进价为10万元，B型汽车每辆的进 解得 y=250。 价为25万元。 ∴.(1+25%)x=(1+25%)×400=500(台)， (2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， (1+60%)y=(1+60%)×250=400(台)。 由题意，得10m+25n=200,解得m=20- 答：在新办法出台后的第一个月，该经销商销售500台 2n。 A型汽车，400台B型汽车。 m,n均为正整数， (2)根据题意，得12×3%×500(1+5m%)+15×2%× 「m1=15,rm2=10,fm3=5, 400(1-4m%)=321, n1=2,ln2=4,ln3=6。 解得m=5。 ∴.共3种购买方案，方案一：购进A型汽车15辆，B型 答：m的值为5。 汽车2辆；方案二：购进A型汽车10辆，B型汽车4辆； 7.解：设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人， 方案三：购进A型汽车5辆，B型汽车6辆。 则可列方程组+y=120, 方案一获得利润4000×15+7000×2=74000（元）； 200x=8×50y, 解得/80， y=40e 方案二获得利润4000×10+7000×4=68000（元）； 答：安排生产茶杯的工人有80人，生产茶壶的工人有40 方案三获得利润4000×5+7000×6=62000（元）。 人，可使每天生产的产品配套。 62000<68000<74000, 8.解：(1)(28-x)2×12x=18(28-x)【解析】设分配 ∴.购进A型汽车15辆，B型汽车2辆获利最大，最大 x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为(28-x)名， 利润是74000元。 :每个螺栓要配2个螺母，每人每天能生产螺栓12个 11.解：设12：00时看到的两位数的十位数字为x,个位数 或螺母18个， 字为y, .2×12x=18(28-x)。 依题意，得代+y=7, (2)设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母。 10y+x-(10x+y）=100x+y-(10y+x), 根据题意，得+y28,。解得=12， 解得1， l2×12x=18y,1 ly=16。 y=6。 答：该车间应分配12名工人生产螺栓，16名工人生产螺 ∴.10x+y=16,即12：00时看到的两位数是16。 母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套。 12.解：设个位数字为x,十位数字为y, 9.解：(1)设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型 由题意，得x+y=2×6,。 「x=8, 解得 饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克， x-2=y+2,y=4。 x+y=0.5, 则这个三位数为648。 根据题意，得 2×400x+400y=280, 13.解：设小长方形的长为x,宽为y, 「x=0.2, 解得 ly=0.3。 由题意，得心+2=15 x=3y, 解得9， y=3。 答：A型饮料每毫升的咖啡因含量为0.2毫克，B型饮料 ∴.阴影部分的正方形边长为2y=6。 每毫升的咖啡因含量为0.3毫克。 .阴影部分的面积为62=36。 (2)根据题意，得0.2×400×2=160（毫克）， 14.解：设大长方形AEFG纸片的长为a,宽为b(a>b), 160>100,160-100=60(毫克)。 .(a-b)2=9,即a-b=3。 答：小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因 ,大正方形ABCD的面积是49， 摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克。 .3+46=7。 10.解：(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每 -6=3,解得a=4, 辆的进价为y万元， 3+4b=7,b=1。