第11章三角形的证明及其应用 期末复习综合练习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 以三角形证明为核心，整合全等判定、性质应用及尺规作图，通过分层题型构建“概念-推理-应用”逻辑链，突出推理意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础证明|单选1-3|勾股定理逆定理、HL全等、等腰三角形判定|从直角三角形概念到全等推理，构建证明基础| |性质应用|填空8-11|反证法步骤、角平分线性质、动态等腰三角形分类|结合性质拓展，强化几何直观与分类讨论| |作图与计算|解答15-16|垂直平分线/角平分线尺规作图、线段等量代换|通过作图操作深化性质理解，衔接计算应用| |综合拓展|解答17-20|台风路径模型、动态等边三角形旋转全等|从实际问题到动态几何，培养应用意识与推理能力|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第11章三角形的证明及其应用》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知（），用尺规作图的方法在边上确定一点P，连接AP，能判断一定是等腰三角形的图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 5．手工社团正在筹备校园文化节，要设计一面独特的三角形活动旗帜，为了让旗帜更有设计感，社员们在底边上选了一点，让，已知旗帜的，现在需要精算出的度数，才能保证成品美观规整．则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 7．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．下列结论中：①；②；③；④，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步先假设____________． 9．已知中，，，则_______，_______． 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 11．如图，平分，，，于点，，则___________． 12．如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交 于点； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点； ③作射线，交于点， 若，则___． 13．在平面直角坐标系中，按如图方式摆放，，．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为_______． 14．如图，已知是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作，交于点，交于点，连接，且，则的周长为________． 三、解答题 15．如图，在中，，，请完成下面的作图和问题． (1)用尺规完成基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点D、E； (2)用尺规完成基本作图：作的角平分线，与边的垂直平分线交于点Q； (3)求的度数． 16．如图，在中，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 18．如图，的外角，的平分线，相交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 19．已知，如图，点是上的点，连接，点关于直线的对称点为点，连接，将射线绕点逆时针旋转得到，在射线上取一点，使，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若，用等式表示，，三者之间的数量关系，并证明． 20．已知是等边三角形，点是直线上一动点（不与点，重合），连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接． (1)如图1，当点在线段上时，的度数为______； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)若，当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 参考答案 1．B 【分析】本题利用勾股定理的逆定理，通过验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，找出不符合的选项即可． 【详解】解：A、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求； B、最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合要求； C、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求； D、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求． 2．D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 【详解】解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 3．B 【详解】解：图①，作的直线是线段的垂直平分线，不能保证是等腰三角形； 图②，以点B为圆心，为半径画圆，交于点P，有，所以是等腰三角形； 图③，作线段的垂直平分线，交于点，有，所以是等腰三角形； 图④，作的直线是角平分线，不能保证是等腰三角形； 综上所述，图②与图③，作图是等腰三角形，答案选B． 4．B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，则可求，然后结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵区域的围栏总长度为10米， ∴， ∴， 即的长度为4米． 5．A 【分析】根据等边对等角得出，，再结合三角形的外角性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 6．C 【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定，从而四边形的面积即为两个直角三角形的面积的和求解． 【详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为 ． 7．D 【分析】根据等腰直角三角形的性质得，，，，根据可证明，可判断①；根据全等三角形的性质可判断②；根据勾股定理可判断④；根据直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可判断③． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，， ∴，， ， ， ∴，即， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， ， 即，故结论④正确； 如图，设与交于点， 在和中，，即， ∴， ∴，即， ∴，故结论③正确； ∴正确的有个． 8．一个三角形中有两个角是直角 【分析】用反证法证明命题时，第一步为假设原命题的结论不成立，据此得到所需假设内容． 【详解】解：原命题的结论为一个三角形中不能有两个角是直角，因此反证法第一步假设结论不成立，即假设一个三角形中有两个角是直角． 9． 【分析】根据已知条件，用表示出，再利用三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵，且，，即 ∴， ∴， ∴． 10． 或 【分析】需要对等腰三角形分类讨论，分为锐角等腰三角形与钝角等腰三角形两种情况，结合图形即可求解． 【详解】解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 11． 【分析】过点作，利用角平分线性质得到，再结合平行线、三角形外角性质可证为含角的直角三角形，结合求出，进而得到． 【详解】解：如图，过点作， 平分，，， ，， ， ， ， ， ， ． 12．65 【分析】本题考查了角平分线的定义、尺规作图、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由三角内角和定理可得，由尺规作图可得平分，即，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，在中，，， ∴ 由作图可得：平分，即， ∴． 故答案为：65． 13． 【分析】过B作轴交于点E，过A作轴，证明，从而找到边的等量关系求解． 【详解】解：过B作轴交于点E，过A作轴，交于D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 14． 【分析】延长至，使，连接，通过证明、，从而得出，的周长等于的长． 【详解】解：延长至，使，连接，如图所示： 是等腰三角形，且， ， 是边长为的等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】根据题意构造另一个三角形是解题的关键． 15．(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交上下两端，连接两个交点，与交于点E，与交于点D，垂直平分线即为所求； （2）以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于一点，再分别以该两点为圆心，相同的任意长为半径画弧，两弧交于一点，连接点A至该点作射线交于垂直平分线于点Q，即为所求； （3）由角平分线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余得到，通过垂直平分线的性质结合三角形外角的性质得到的度数，最后利用三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】（1）解：如图所示，边的垂直平分线即为所求： （2）解：如图所示，的角平分线即为所求： （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，． 16．(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，再利用等边对等角可得，，从而得出，从而得解； （2）根据线段垂直平分线的性质，可得，，可得的周长等于线段． 【详解】（1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴． 17．(1)见解析 (2)海港C受到台风影响，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解； （3）在线段上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵km，km，km， ∴． ∴是直角三角形， ∴； （2）解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． （3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口． ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作于G，根据角平分线的性质定理，结合等量代换证明即可； （2）先证明平分，再由三角形内角和定理以及角平分线进行计算即可． 【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：如图， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴． 19．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据题意可得，则，由轴对称的性质可得，则可证明； （2）在线段上取一点，连接，使得，证明，．则可证明，得到，进而可证明．再证明，推出，则，设，，据此可推出，证明，得到，则． 【详解】（1）证明：由题意得，， ． 点关于直线的对称点为点， ， ， 设， ． ∵， ； （2）解：，证明如下： 如图所示，在线段上取一点，连接，使得， ． ∴， ． 点关于直线的对称点为点， ． ． 又， ， ， 由（1）知， ． ， ， ， ， ， 在中，设， ∴， ， 即， 在中，． ． ， ∴． ． 20．(1) (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，，证明，再根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）根据等边三角形的性质得，，，证明，即可得证； （3）分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即的度数为， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（1）中的结论仍然成立； （3）解：①当点在线段上时，如图， 由（1）知：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是钝角三角形，不符合题意； ②当点在线段的延长线上时，如图， 由（2）知：， ∵和都是等边三角形，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在线段的延长线上时，如图， ∵和都是等边三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $