精品解析：2026年河北省唐山市玉田县亮甲店镇中学二模数学试题

2026年河北省唐山市玉田县亮甲店中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 如图是由相同的小正方体组成的立体图形，从1，2，3，4号小正方体中取走一个，该立体图形的主视图没有改变的是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 【答案】B 【解析】 【分析】主视图是从正面看得到的平面图形，反映物体的长和高．观察立体图形可知，其主视图从左到右共有列，每列小正方形的个数分别为，，．若取走一个小正方体后主视图不变，说明该小正方体不是决定主视图轮廓的关键部分，或者取走后该位置有其他小正方体填补． 【详解】解：观察图形可知，该立体图形的主视图从左往右分列，高度分别为层，层，层． 号小正方体位于左列最上方，取走后左列高度变为层， 主视图发生改变，故A不符合题意； 号小正方体位于右列最上方，取走后右列高度变为层， 主视图发生改变，故C不符合题意； 号小正方体位于右列下方，取走后号小正方体失去支撑，右列高度改变， 主视图发生改变，故D不符合题意； 号小正方体位于左列中间，其后方有小正方体（支撑号），取走号后，后方小正方体显露，左列高度仍为层， 主视图没有改变，故B符合题意． 3. 据河南省文旅部门统计，年全省共接待国内外游客亿人次，数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：亿． 4. 如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据邻补角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 5. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解 ，再根据不等式组无解即可得出的取值范围． 【详解】解： ， ∵关于的不等式组无解， ∴． 6. 一元二次方程x2﹣2x+2＝0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】计算判别式的值，然后利用判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵a=1，b=-2，c=2， ∴Δ=(-2)2-4×2=-4＜0， 所以方程没有实数解． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7. 如图，在⊙中，为直径，点是的中点，点为圆周上一点，若，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理求出的度数，根据点是的中点及为直径得出，进而求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为⊙的直径，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. “大别山精神”“红旗渠精神”“焦裕禄精神”“愚公移山精神”合称“河南四大精神名片”．某校七、八年级分别从这四种精神中随机选择一种精神组织本年级学生学习，则这两个年级选择的精神相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设“大别山精神”，“红旗渠精神”，“焦裕禄精神”，“愚公移山精神”依次为，，，，根据题意画树状图，然后通过概率公式即可求解． 【详解】解：设“大别山精神”，“红旗渠精神”，“焦裕禄精神”，“愚公移山精神”依次为，，，，根据题意画树状图如下： 一共有种等可能的结果，两个年级选择的精神相同的结果数为种， ∴这两个年级选择的精神相同的概率． 9. 如图，在平面直角坐标系中有，，边在轴上，，，将绕点顺时针旋转，得到，将绕点顺时针旋转得到，，如此继续下去，连续旋转次得到，则点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形性质求出度数及长度，确定点的初始位置；根据旋转性质得出每次旋转为一个循环周期，计算的余数确定点的位置，最后利用勾股定理求出坐标． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵边在轴上，且点在第一象限， ∴与轴正半轴的夹角为， ∵每次顺时针旋转，， ∴旋转次后回到初始位置，即周期为， ∵， ∴点的位置与点相同， ∴点绕点O顺时针旋转得到点， 此时与轴正半轴的夹角为， 则， 如图，过点作轴于点， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 10. 正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点P，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正多边形的内角和求出，，进而求出 ，再根据四边形的内角和求出答案. 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴. ∵五边形为正五边形， ∴，， ∴. ∵四边形的内角和为， ∴. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和公式是解题的关键． 11. 七巧板是一种开发智力的玩具，为提高学生的感知能力，老师投影演示如下：在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．通过观察演示过程， 甲同学得出：图中的三角形都是等腰直角三角形； 乙同学得出：四边形是菱形； 丙同学得出：四边形的面积占正方形面积的． 则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、丙答案合在一起才完整 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确识别图形是解题的关键． 先根据正方形的性质和三角形中位线的定义与性质证明图中所有三角形是等腰直角三角形，再证明四边形是平行四边形但不是菱形，最后再证明 即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴、是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线，，， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴、、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴点是正方形的对称中心， ∴点、、、在同一直线上， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， 如图，延长到点， ∴是的中位线， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴、是等腰直角三角形， ∴图中的三角形都是等腰直角三角形，故甲同学正确， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， 在中，， ∴， ∴四边形不是菱形，故乙同学错误， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 故丙同学正确， 综上所述，正确的是甲同学和丙同学， 故选：B． 12. 已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，先根据二次函数，该二次函数的对称轴为，求出，根据函数图象与轴其中一个交点为，求出，令新的二次函数解析式为：，求出当时，，当时，，根据一元二次方程在范围内只有一个解，得出当时和当时，y的值异号，求出，然后验证当时， 当时，是否符合题意，最后验证当一元二次方程，即只有一个解时，k的值是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，该二次函数的对称轴为， ∴， 解得：， ∵函数图象与轴其中一个交点为， ∴， 解得：， 令新的二次函数解析式为：， 把，代入得：， 当时，， 当时，， ∵一元二次方程在范围内只有一个解， ∴当时和当时，y的值异号， ∴， 解得：， 当，方程的解为或，不符合题意； 当，方程的解为或，在范围内只有一个解，符合题意； 当一元二次方程，即只有一个解时， ， 解得：， 且当时，方程的解为，在范围内； 综上分析可知：一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是或． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 14. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】延长交x轴于点F，设，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值． 【详解】解：延长交x轴于点F，如图， 由点D在反比例函数的图象上，则设， ∵矩形的边平行于轴，，， ∴轴，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键． 15. 如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，扇形的面积，含角的直角三角形等知识，设，，围成的图形的面积为，，围成的图形的面积为，则，得到，求得，得到，再根据扇形面积和三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设，，围成的图形的面积为，，围成的图形的面积为，则， ， 如图，连接， 由平移可知，，，， ， ， 又∵， ， 过点作于点，则， ． 16. 如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 【答案】5（或填6或7） 【解析】 【分析】由图可知，当时，取得最小值，当与重合时，取得最大值，先利用菱形的性质：对角线互相平分且垂直，通过勾股定理求出菱形的边长，再利用面积关系求出对应的高，即可求出的长的取值范围，在范围中选择一个整数即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， 在菱形中，，，， ∴， ∵， ∴， 当时，即时，取得最小值， ∴， 当与重合时，取得最大值，， ∴，故长的整数值为5或6或7． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 整式． （1）当时，求M的值； （2）若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）把代入代数式中进行计算即可； （2）根据数轴列出的不等式进行解答即可． 【小问1详解】 解：把代入得： ； 【小问2详解】 解：由数轴知，， 即， 解得， ∵为负整数， ，． 18. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数计算和分式混合运算，解题关键是熟练掌握相关法则，准确进行计算； （1）先求立方根、绝对值和零次幂，再计算加减即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 19. 2025年初，河南全省共发生电动自行车火灾96起，从已调查完毕起火原因看，绝大部分的火灾源于电动车夜间充电导致的电路故障；广大初中生作为电动车的使用群体之一，教会他们安全充电成为校园消防的重要任务．驻马店某中学制作了时长100分钟的电动车安全充电以及普及消防知识的教育视频并组织学生周末观看，政教处随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表． 部分学生观看教育视频时长频数分布表 组别 时长x/分钟 频数 A 20 B 40 C ▲ D 60 E 10 部分学生观看教育视频时长扇形统计图 结合以上信息，回答下列问题： （1）本次调查属于________调查，本次调查的样本容量为________； （2）样本数据的中位数落在________组； （3）根据调查结果，请你对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议． 【答案】（1）抽样；200 （2）C （3） 从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间低于40分钟，说明学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，中位线等知识，解题的关键是： （1）根据抽样调查和普查的区别即可得出答案，根据B组频数除以B组所占百分比即可求解； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）提出一个合理建议即可． 【小问1详解】 解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为， 故答案为：抽样；200； 【小问2详解】 解：C组的频数为， ∵样本数据的中位数为第100和101个数的平均数，，， ∴样本数据的中位数落在C组， 故答案为：C； 【小问3详解】 略 20. 在一次数学实践活动中，王林同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点B处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．求古塔的高度． （结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】古塔的高度为． 【解析】 【分析】本题考查解三角形的实际应用．利用坡度比，在中，设，，由勾股定理列方程求解即可得到和，在中，由三角函数定义求出，数形结合，由代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：作于点，作交的延长线于点， 则四边形是矩形， 在中，斜坡的斜面坡度，， 设，， 由勾股定理可得， 即， 解得（负值已舍）， ，， ， ， 在中，，， 则，即， 解得， ， 答：古塔的高度为． 21. 在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B，作直线． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在反比例函数图象上取点P（点P位于点B左侧），过点P作轴，交于点Q，连接，，请问是否存在最大值，若存在请求出最大值及点P坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，的最大值为，此时点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质求出点B的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）设，则，则，根据三角形的公式可求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 设一次函数的解析式为， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值为， 此时点P的坐标为 22. 盆栽是一种美学文化，展现了人与自然的和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计元． （1）求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？ （2）若该店计划用元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？ （3）若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲盆栽每盆进价为元，乙盆栽每盆进价为元． （2）共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆； （3）购买甲盆栽盆，乙盆栽盆时，获利最大，为元. 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为元，由题意得：，据此即可求解； （2）设甲、乙两种盆栽分别购进盆，由题意得：，即：；根据均为正整数，即可求解； （3）设利润为，则，可推出随着的增大而增大，据此即可求解； 【小问1详解】 解：设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为元，由题意得： ，解得：， ∴甲盆栽每盆进价为元，乙盆栽每盆进价为元． 【小问2详解】 解：设甲、乙两种盆栽分别购进盆，由题意得： ， 即： ∵均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆； 【小问3详解】 解：设利润为， 则， ∴随着的增大而增大， 故当时，元； 即：购买甲盆栽盆，乙盆栽盆时，获利最大，为元. 23. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 【答案】（1）垂直，见解析． （2）成立，理由见解析． （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质，解题的关键是通过构造全等或相似三角形，结合正方形和角度条件推导线段与角的关系． （1）由，，得；，由正方形，可得，，；；可得．可证，得，．即． （2）过点作交于点，可得，易证：，所以，．即． （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．考虑点的位置，分两种情况去解答．①点在线段上运动，已知，可求出．即，易证，可得，，问题可求．②点在线段延长线上运动时，由，可求出，．过作交延长线于点，则，得，由，得，，问题解决． 【小问1详解】 解：与位置关系是垂直． 证明如下： ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 时，的结论成立． 理由是： 如图过，点A作交于点， ， ， ， 同理可证， ， ， ， 即． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： 如图②，点D在线段上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， ∵，， ，． ，， （当时，）． 四边形是正方形， ，则． ， ． ， ． 如图，点D在线段延长线上运动时， 过点A作交的延长线于点Q， 同理可证， 此时， 同理可证， 24. 已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． （1）求出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 【答案】（1）对称轴为直线， （2） （3）；或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；设点，即可得到点，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； 【小问3详解】 解：， 则， 设点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省唐山市玉田县亮甲店中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图是由相同的小正方体组成的立体图形，从1，2，3，4号小正方体中取走一个，该立体图形的主视图没有改变的是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 3. 据河南省文旅部门统计，年全省共接待国内外游客亿人次，数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程x2﹣2x+2＝0的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 7. 如图，在⊙中，为直径，点是的中点，点为圆周上一点，若，则的度数为（） A. B. C. D. 8. “大别山精神”“红旗渠精神”“焦裕禄精神”“愚公移山精神”合称“河南四大精神名片”．某校七、八年级分别从这四种精神中随机选择一种精神组织本年级学生学习，则这两个年级选择的精神相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中有，，边在轴上，，，将绕点顺时针旋转，得到，将绕点顺时针旋转得到，，如此继续下去，连续旋转次得到，则点的坐标为（） A. B. C. D. 10. 正六边形和正五边形的边重合，的延长线与交于点P，则的度数是（　　） A. B. C. D. 11. 七巧板是一种开发智力的玩具，为提高学生的感知能力，老师投影演示如下：在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．通过观察演示过程， 甲同学得出：图中的三角形都是等腰直角三角形； 乙同学得出：四边形是菱形； 丙同学得出：四边形的面积占正方形面积的． 则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、丙答案合在一起才完整 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 12. 已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代数式表示） 14. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为___________． 15. 如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为____． 16. 如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 整式． （1）当时，求M的值； （2）若M的取值范围如图所示，求x的负整数解． 18. （1）计算：； （2）化简：． 19. 2025年初，河南全省共发生电动自行车火灾96起，从已调查完毕起火原因看，绝大部分的火灾源于电动车夜间充电导致的电路故障；广大初中生作为电动车的使用群体之一，教会他们安全充电成为校园消防的重要任务．驻马店某中学制作了时长100分钟的电动车安全充电以及普及消防知识的教育视频并组织学生周末观看，政教处随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表． 部分学生观看教育视频时长频数分布表 组别 时长x/分钟 频数 A 20 B 40 C ▲ D 60 E 10 部分学生观看教育视频时长扇形统计图 结合以上信息，回答下列问题： （1）本次调查属于________调查，本次调查的样本容量为________； （2）样本数据的中位数落在________组； （3）根据调查结果，请你对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议． 20. 在一次数学实践活动中，王林同学要测量古塔的高度，他从古塔底部点B处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．求古塔的高度． （结果精确到0.1米，参考数据：，，） 21. 在平面直角坐标系中，平行四边形如图所示，点A的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点B，作直线． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）在反比例函数图象上取点P（点P位于点B左侧），过点P作轴，交于点Q，连接，，请问是否存在最大值，若存在请求出最大值及点P坐标，若不存在请说明理由． 22. 盆栽是一种美学文化，展现了人与自然的和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计元． （1）求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？ （2）若该店计划用元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？ （3）若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 23. 在中，，点D（与点B、C不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． （1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示） 24. 已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． （1）求出的对称轴及的值； （2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； （3）如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $