精品解析：2025年河北省唐山市玉田县二模数学试题

玉田县2024-2025学年度九年级模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，经过点的直线中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用三角板的两条直角边中的一条与直线重合，再另一条边直角边能与a、b、c、d中的那条边重合即可得解． 【详解】解：用三角板的两条直角边中的一条与直线l重合，再另一条边直角边能与b重合， ． 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了两条直线垂直的性质，两条直线垂直其所夹的角为直角． 2. 下列图形中，能确定的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角相等，平行线的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、∠1＝∠2，故本选项错误； B、∠1＝∠2，故本选项错误； C、∠1＞∠2，故本选项正确； D、∠1＝∠2，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 3. 若为整数，则表示的是（ ） A. 3个相乘 B. 2个相加 C. 3个相加 D. 5个相乘 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 4. 下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，据此分别画出对应几何体的主视图与左视图即可得到答案． 【详解】解：A、左视图与主视图如下所示，二者不相同，不符合题意； B、左视图与主视图如下所示，二者相同，符合题意； C、左视图与主视图如下所示，二者不相同，不符合题意； D、左视图与主视图如下所示，二者不相同，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，数轴的单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴和绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键． 根据数轴和可知，解出的值，相乘即可． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为，且， 根据图可知， 解得， ∴， 故选：C． 6. 我国的传统节日“春节”已被列入联合国教科文组织《人类非物质文化遗产代表作名录》，今年春节期间，某景区游客12万人次，景区门票价格168元/人．以此计算，今年该景区春节期间门票总收入用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数，掌握科学记数法表示数的形式是解题的关键．即用科学记数法表示绝对值大于1的数时，形式为，其中，n为正整数． 先列算式计算求出门票总收入，再确定a，n，即可得出答案． 【详解】解：． 故选：B. 7. 从0，，，这四个数中任取两数，这两个数都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，用树状图和列表法求概率，先根据无理数的定义得出，为无理数，然后列出表格，根据表格信息求概率即． 【详解】解：无理数有：，， 列表如下： 0 0 一共有12种情况，四个数中任取两数，这两个数都是无理数的有，2种情况， 则从0，，，这四个数中任取两数，这两个数都是无理数的概率是， 故选：D 8. 某校开展读书月活动，学校想给表现突出的同学分发书签作为纪念品，下面是阅览室两位同学的部分对话： 求表现突出的同学的人数和需要书签的个数，则下列说法正确的是（ ） A. 设表现突出的同学有人，则可列方程为： B. 设需要书签个，则可列方程为 C. 表现突出的同学有人 D. 需要书签个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，方程是含有未知数的等式，列方程的关键步骤是找相等关系．如果设表现突出的同学有人，则书签的数量可以表示为：或，所以可列方程为；如果设需要书签个，则表现突出的人数可表示为：或，所以可列方程为． 【详解】解：A选项：如果设表现突出的同学有人，则书签的数量可以表示为：或，所以可列方程为，故A选项错误； B选项：如果设需要书签个，则表现突出的人数可表示为：或，所以可列方程为，故B选项错误； C选项：如果设表现突出的同学有人，则书签的数量可以表示为：或，所以可列方程为，解方程可得：，所以表现突出的同学有人，故C选项正确； D选项：如果设需要书签个，则表现突出的人数可表示为：或，所以可列方程为，解方程可得：，所以需要书签个，故D选项错误． 故选：C． 9. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置（点、、在同一直线上）．若，，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. 28 C. 25 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的面积公式计算，勾股定理，由旋转的性质可得出，进而可得出，再利用勾股定理得出，最后根据正方形的面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵把绕点顺时针旋转到的位置（点、、在同一直线上）， ∴， ∴的面积， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 10. 关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个同号的实数根 C. 两根之和为2 D. 两根之积为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号不能确定，故选项B错误， 故选：C． 11. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质， 用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； 【详解】解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 故选：C 12. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质、折叠的性质等知识点，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解题的关键． 如图：连接，设直线与边交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形的面积正方形的面积，从而用a分别表示出线段和线段的长即可求解． 【详解】解：如图：连接，设直线与边的交点为P， 由折叠可知点P、E、G、N四点共线，且， 设正方形的边长为，则，正方形的面积为， ∵若正方形与五边形的面积相等 ∴由折叠可知正方形的面积正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴． 故选A． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算的结果等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：原式= =7-1=6 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 14. 已知，则代数式的值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据转化成，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：3． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E，设与y轴交于G，则，由矩形的性质得到，根据点的坐标得到，则，；证明，得到，则，证明，得到；再证明，得到，则，则可得到，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图所示，分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E， 设与y轴交于G，则， ∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为：． 16. 如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为4，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长、交于点，作于点，于点，如图所示，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在中，由三角函数求出和长度，连接，如图所示，易证是矩形，得到，，过点作，如图所示，由等腰三角形性质，解直角三角形得到，最后利用的性质列式求参数即可得到答案． 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ，， ， ，则， 解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何综合，涉及正六边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等内容，熟练掌握相关几何知识是解题的关键． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，如第1个台阶上的数是，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2． （1）求第3个台阶上的数； （2）求第个台阶上的数（用含的式子表示）： （3）淇淇发现第7个台阶以上的数都是正数，请验证这个结论． 【答案】（1）第3个台阶上的数为 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，有理数加法的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）根据每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2列式求解即可； （3）当时，可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：， 答：第3个台阶上的数为； 【小问2详解】 解：由题意得，第个台阶上的数为： ； 【小问3详解】 证明：当时， ∵第个台阶上的数为 ∴第7个台阶以上的数都是正数． 18. 根据如图所示的程序，解决下列问题： （1）求（结果需化简）； （2）若输出的的结果为3，求输入的的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的四则混合计算，正确理解题意求出C的结果是解题的关键． （1）根据题意可得，据此先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）根据（1）所求可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得， ． 【小问2详解】 解：依题意得：， 两边同乘得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴输入的的值为． 19. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．为激发学生的航空航天热情，某校九年级举行了一场航空航天知识竞赛，并随机抽取了8名学生的成绩（成绩均为整数，满分10分），利用表格和条形统计图进行整理汇总数据，但由于马虎表格中漏写了一人成绩． 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩/分 7 9 8 10 9 7 8 （1）根据条件，直接写出漏掉同学的成绩_____，并求这些学生成绩的平均数和中位数； （2）若随机又抽取了2名同学的成绩与之前8名同学的成绩整合到一起，重新计算后，发现成绩的平均数和中位数均变大，直接写出这2名同学分数之和的最小值，并指出此时的众数． 【答案】（1）8分，平均数是分，中位数是8分 （2）这2名同学分数之和的最小值为18；众数为9 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图，求平均数，中位数和众数，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）根据统计图可知，得分为8分的人数有3人，而统计表中除了漏掉的那人的得分外只有2人的得分是8分，故漏掉的那人的得分是8分，据此根据平均数的定义和中位数的定义求解即可； （2）平均成绩增大，那么得分之和一定要大于16分，而中位数变大，那么抽取的这2名同学分数都要大于8分，而得分为整数，则抽取的这2名同学分数都要大于等于9分，据此可得答案． 【小问1详解】 解：根据统计图可知，得分为8分的人数有3人，而统计表中除了漏掉的那人的得分外只有2人的得分是8分，故漏掉的那人的得分是8分， ∴平均数为， 把这8名学生的成绩按照从低到高排列为7，7，8，8，8，9，9，10，处在第4名和第5名的成绩为8分，8分，故中位数为分； 【小问2详解】 解：∵成绩的平均数变大， ∴再抽取的这2名同学分数之和一定大于分， 又∵中位数也要变大，那么抽取的这2名同学分数都要大于8分（若一个小于8分，一个大于8分，中位数还是8分）， ∴再抽取的这2名同学分数都要大于等于9分， ∴再抽取的这2名同学分数之和的最小值为分， ∴此时得分为9分的学生有4人，人数最多，即此时的众数为9分． 20. 唐代李皋发明了“桨轮船”，为后续车船发展奠定了基础．如图，表示该轮船轮子的截面，已知轮子被水面截得的线段为，过点作于点，交于点，轮子的吃水深度为． （1）求的半径； （2）求的长，并比较与半径的大小． 【答案】（1） （2），更长 【解析】 【分析】（1）连接，由垂径定理得出， 设的半径为，则，利用勾股定理即可求出的半径． （2）由正弦的定义得出，再利用弧长公式求出，然后再计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，， ， 设的半径为，则， 在中，， 解得， 的半径为． 【小问2详解】 解：在中，， ， ， ， 更长． 【点睛】本题主要考查了根据垂径定理，勾股定理，求弧长，解直角三角形的计算，掌握垂径定弧理，弧长公式是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于、两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，得到一个矩形． （1）求、两点的坐标； （2）当时，求点的坐标，并直接写出此时矩形的周长； （3）矩形的周长是否随点位置的变化而变化？说明理由． 【答案】（1）， （2），矩形的周长为8 （3）矩形的周长不随点位置的变化而变化，周长总等于8，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出自变量为0时的函数值，求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案； （2）根据题意得到，证明得到，则可求出，据此求出点P坐标得到，再根据三角形周长计算公式可得答案； （3）设点坐标为，则，，将点坐标为代入中得整理得，，则，据此可得结论． 【小问1详解】 解：将代入，得，解得， ； 将代入，得， ； 【小问2详解】 解：当时，， 由矩形的性质可得， ， ， ， ， ， ， 将代入，解得， ， ∴， ∴此时矩形的周长； 【小问3详解】 解：矩形的周长不随点位置的变化而变化，周长总等于8，理由如下： 设点坐标为 点在第一象限， ，， 将点坐标为代入中得 整理得，， ， 矩形的周长不随点位置的变化而变化，周长总等于8． 22. 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在的延长线上，点B在上，，，，，． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，根据题意构造直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答是解题的关键． （1）根据题意，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长度； （2）过点作于点，由平行线的性质求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，在中可求出，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ． ； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵， ， ，， 在中，，， ， ， ． 23. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系，把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为，为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． （1）求锅口直径的长及抛物线的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）， （2）此时水面的直径为 （3）锅盖能正常盖上，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， （1）根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； （3）将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【小问1详解】 解：将代入中，得 解得，， 点坐标为，点坐标为 锅口直径 设抛物线的解析式为 将点和点分别代入中， 得 解得 抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：将代入中，解得， 点的坐标为 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， ， 此时水面的直径为； 【小问3详解】 解：锅盖能正常盖上 当时，抛物线， ， 而 锅盖能正常盖上． 24. 如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形． （1）_____；（用含的代数式表示） （2）尺规作图：作的角平分线，交于点； 当、、在同一条直线上时，求的值； （3）发现：在点和点运动过程中，的长是一个定值，请你求出这个定值； （4）如图，取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，直接写出的最小值及此时的值． 【答案】（1）； （2）见解析，； （3）； （4）为，的最小值为． 【解析】 【分析】（）由等边三角形的性质可得，则有，然后应该直角三角形的性质可得； （）根据作一个角的平分线方法即可； 由为等边三角形，平分，则，，，根据平行四边形的性质可得，，故，得出，最后求出的值即可； （）作交于，证明等边三角形，由，，，证明，所以，从而有； （）如图中，连接，则，而，故当，，在一条直线上时，最小，由，，故，所以，，从而求出的最小值为，由折叠知，，，得到，最后求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：尺规作图：如图 如图，当、、在同一直线上时， ∵为等边三角形，平分， ∴，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：如图中，作交于， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：如图中，连接， 则，而， ∴当，，在一条直线上时，最小， 即：点在上，（如图） ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴的最小值为， 由折叠知，，， ∴， ∴， ∴， ∴为为时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查了尺规作图——角平分线，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 玉田县2024-2025学年度九年级模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，经过点的直线中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的直线是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 3. 若为整数，则表示的是（ ） A. 3个相乘 B. 2个相加 C. 3个相加 D. 5个相乘 4. 下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴单位长度为1，点表示的数为，点表示的数为，且，则与的积为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 6. 我国的传统节日“春节”已被列入联合国教科文组织《人类非物质文化遗产代表作名录》，今年春节期间，某景区游客12万人次，景区门票价格168元/人．以此计算，今年该景区春节期间门票总收入用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7. 从0，，，这四个数中任取两数，这两个数都是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某校开展读书月活动，学校想给表现突出的同学分发书签作为纪念品，下面是阅览室两位同学的部分对话： 求表现突出的同学的人数和需要书签的个数，则下列说法正确的是（ ） A. 设表现突出的同学有人，则可列方程为： B. 设需要书签个，则可列方程为 C. 表现突出的同学有人 D. 需要书签个 9. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置（点、、在同一直线上）．若，，则四边形的面积为（ ） A. 20 B. 28 C. 25 D. 30 10. 关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个同号的实数根 C. 两根之和为2 D. 两根之积为1 11. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中，是折痕，若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算的结果等于_______． 14. 已知，则代数式值是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则_____． 16. 如图，点是正六边形边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为4，则________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，如第1个台阶上的数是，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大2． （1）求第3个台阶上的数； （2）求第个台阶上的数（用含的式子表示）： （3）淇淇发现第7个台阶以上的数都是正数，请验证这个结论． 18. 根据如图所示的程序，解决下列问题： （1）求（结果需化简）； （2）若输出的的结果为3，求输入的的值． 19. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．为激发学生的航空航天热情，某校九年级举行了一场航空航天知识竞赛，并随机抽取了8名学生的成绩（成绩均为整数，满分10分），利用表格和条形统计图进行整理汇总数据，但由于马虎表格中漏写了一人成绩． 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩/分 7 9 8 10 9 7 8 （1）根据条件，直接写出漏掉同学的成绩_____，并求这些学生成绩的平均数和中位数； （2）若随机又抽取了2名同学的成绩与之前8名同学的成绩整合到一起，重新计算后，发现成绩的平均数和中位数均变大，直接写出这2名同学分数之和的最小值，并指出此时的众数． 20. 唐代李皋发明了“桨轮船”，为后续车船的发展奠定了基础．如图，表示该轮船轮子的截面，已知轮子被水面截得的线段为，过点作于点，交于点，轮子的吃水深度为． （1）求的半径； （2）求的长，并比较与半径的大小． 21. 如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于、两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，得到一个矩形． （1）求、两点的坐标； （2）当时，求点坐标，并直接写出此时矩形的周长； （3）矩形的周长是否随点位置的变化而变化？说明理由． 22. 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在的延长线上，点B在上，，，，，． （1）求的长； （2）求的长． 23. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系，把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为，为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． （1）求锅口直径的长及抛物线的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 24. 如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形． （1）_____；（用含的代数式表示） （2）尺规作图：作的角平分线，交于点； 当、、在同一条直线上时，求的值； （3）发现：在点和点运动过程中，的长是一个定值，请你求出这个定值； （4）如图，取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，直接写出的最小值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$