精品解析：四川省达川区三里初级中学2025-2026学年八年级下学期5月自测数学试题

四川省达川区三里初级中学2025-2026学年八年级下学期5月自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. ，，， B. C. D. 3. 若，则下列选项中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 3 B. C. D. 0 5. 下列关于平行四边形的说法中错误的是（ ） A. 平行四边形的对角相等，邻角互补． B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 6. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，则N点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②；③的值不变；④四边形面积随着点M、N的位置的变化而变化．其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 12. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 13. 已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，则△ABC的形状是 _____． 14. 若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为，，，点P，Q是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 20. 如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． （1）求的度数． （2）若，，，求线段的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； （1）平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； （2）将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 22. 人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利．某快递公司计划购进A，B两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍． （1）A，B两种型号分拣机器人的单价各是多少? （2）若该快递公司购进A，B两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天能分拣0.8 万个包裹，每个B种型号快递分拣机器人每天能分拣1.2万个包裹，若该快递公司每天至少要分拣44万个包裹，求最多购进A 种型号分拣机器人多少个? 23. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 24. 定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因，故方程是不等式组的子方程． ． （1）在方程①，②，③中，不等式组的子方程是 （填序号）； （2）若不等式组的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是 ； （3）若方程，都是关于x的不等式组的子方程，求m的取值范围． 25. 已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； （3）如图3，过点A的直线，射线与直线l交于点F．若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达川区三里初级中学2025-2026学年八年级下学期5月自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 在中，，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. ，，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】，，， ． 是直角三角形． 故A选项不符合题意； ， 即， 是直角三角形． 故B选项不符合题意； ，， ，， 是直角三角形． 故C选项不符合题意； ，， ， 不是直角三角形， 故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 3. 若，则下列选项中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， A、，故原不等式成立，符合题意； B、，故原不等式不成立，不符合题意； C、，故原不等式不成立，不符合题意； D、，故原不等式不成立，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 3 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，须同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 5. 下列关于平行四边形的说法中错误的是（ ） A. 平行四边形的对角相等，邻角互补． B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考基础题．根据平行四边形的判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A. 平行四边形的对角相等，正确；根据四边形的内角和为360度结合对角相等，可得邻角互补，正确，故本选项不符合题意； B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题错误错误，故本选项符合题意； C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形正确，由题意可以证明两组对边分别平行，则四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，根据平行四边形的判定方法，可得结论，故本选项不符合题意． 故选：B 6. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有3个整数解，即可确定整数解，然后得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组 得：， ∵恰好有3个整数解， ∴整数解是3，2，1， 故选：D． 7. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，则去年的销售价格为万元/辆， 根据题意，得：， 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，则N点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和平移，根据题意先确定点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到，根据相同的平移方式即可得到N点坐标. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到， ∴点向左平移20个单位，向下平移7个单位得到，即N点坐标是， 故选：B 9. 已知关于x的方程的两根分别为m，，则关于x的方程的根是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了解分式方程和分式方程的解，理解分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法与技巧是解决问题的关键．先将将方程转化为，再根据已知得，，再由，解得，由，解得，据此即可得出答案． 【详解】解：将方程转化为：， 方程的两根分别为m，， ，， 由，解得：， 由，解得：， 方程的根是：，， 故选：． 10. 如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②；③的值不变；④四边形面积随着点M、N的位置的变化而变化．其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．如图作于E，于F．只要证明，再证明，即可一一判断． 【详解】解：作于E，于F，如图所示：     ， ， ， ， ， 平分，于E，于F， ，， ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 是等边三角形，故正确； ， 定值，故错误； ，故②正确； M，N的位置变化， 的长度是变化的，故③错误； 综上所述：正确的结论是①②． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 因为已知等腰三角形的两边长，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为 3 和6，分两种情况： 当 3 为底时，其它两边都为6，而、6、6可以构成三角形，周长为； 当 3 为腰时，其它两边为 3 和，所以不能构成三角形，故舍去， 所以等腰三角形的两边长分别为 3 和6，其周长为 15． 故答案为：15． 12. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 13. 已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，则△ABC的形状是 _____． 【答案】直角三角形或等腰三角形 【解析】 【分析】根据给出的关系式，解出三条边的相互关系，问题即可解决． 【详解】解：∵a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2， ∴（a2+b2）（a2﹣b2）＝c2（a2﹣b2）， ∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0， ∴a2+b2﹣c2＝0或a2﹣b2＝0， ∴a2+b2＝c2或a＝b， △ABC为直角三角形或等腰三角形． 故答案为：直角三角形或等腰三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用及勾股定理逆定理，解题关键是正确对给出的等式进行因式分解，找出三边关系． 14. 若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先求出方程的解，根据解的情况得出关于的不等式，并结合最简公分母不等于求出的取值范围即可，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得， 又∵， ∴， 综上，的取值范围是且． 15. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为，，，点P，Q是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定是定值，所以四边形的周长最小，则最小，把线段沿轴正方向平移2个单位长度得到线段，作点E关于x轴的对称点H，连接，交x轴于点K，连接，，所以，故当点Q与点K重合时，最小，再求得直线的解析式，及，即可求得答案． 【详解】解： ，，， 是定值， 四边形的周长最小，则最小， 如图，把线段沿轴正方向平移2个单位长度得到线段，则，， 作点E关于x轴的对称点H，连接，交x轴于点K，连接，， 则，， ， 当点Q与点K重合时，最小， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， 即， ， ， ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）；数轴见解析 （2）；数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可. 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．分式方程的解需进行检验． （1）方程两边同乘化成一元一次方程，解方程求出，再进行检验即可得； （2）方程两边同乘化成一元一次方程，解方程求出，再进行检验即可得． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 去括号，得，即， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，不是分式方程的解， 所以方程无解． 19. 先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再计算除法运算，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】 ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 20. 如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． （1）求的度数． （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； （1）平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； （2）将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 【答案】（1）作图见解析，点坐标为 （2）作图见解析，坐标为 （3）旋转中心P点的坐标 【解析】 【分析】本题主要考查了平移、旋转作图，求旋转中心，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （2）先作出点A、B、C旋转后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （3）根据图形得出旋转中心P点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形，点坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，坐标为； 【小问3详解】 解：如图，连接、、交于一点，该点为旋转中心P，其坐标为． 22. 人工智能的快速发展带动了物流行业的高速发展，给我们的生活带来了很多便利．某快递公司计划购进A，B两种型号的快递分拣机器人，已知A型号分拣机器人的单价比B型号分练机器人的单价少3万元，且用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍． （1）A，B两种型号分拣机器人的单价各是多少? （2）若该快递公司购进A，B两种型号的快递分拣机器人共50个，每个A种型号的快递分拣机器人每天能分拣0.8 万个包裹，每个B种型号快递分拣机器人每天能分拣1.2万个包裹，若该快递公司每天至少要分拣44万个包裹，求最多购进A 种型号分拣机器人多少个? 【答案】（1）型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元 （2）最多购进型号分拣机器人个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元，根据“用120万元购买A型号分拣机器人的数量是用180万元购买B型号分拣机器人的数量的2倍”列出方程并解答； （2）设购进型号分拣机器人个，则购进型号分拣机器人个，根据“快递公司每天至少要分拣万个包裹”列出不等式并解答． 【小问1详解】 设型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：型号分拣机器人的单价是万元，型号分拣机器人的单价是万元； 【小问2详解】 设购进型号分拣机器人个，则购进B型号分拣机器人个, 由题意，得，解得： 答：最多购进型号分拣机器人个． 23. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定分别进行判断即可； （2）由平行四边形的性质和勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ∴， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因，故方程是不等式组的子方程． ． （1）在方程①，②，③中，不等式组的子方程是 （填序号）； （2）若不等式组的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是 ； （3）若方程，都是关于x的不等式组的子方程，求m的取值范围． 【答案】（1）③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“子方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． （1）分别解不等式组和解一元一次方程，再根据“子方程”的定义即可判断； （2）解不等式组得出其整数解，即可求得此子方程的解； （3）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【小问1详解】 解：解不等式组，得：， 方程①的解为；方程②的解为；方程③的解为， 不等式组的子方程是是③， 故答案为：③； 【小问2详解】 解：解不等式组得：， 所以不等式组的整数解为，0， 则此子方程的解是或0， 故答案为：或0； 【小问3详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为． 方程的解为， 方程的解为， 所以的取值范围是． 25. 已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； （3）如图3，过点A的直线，射线与直线l交于点F．若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过D作于H，利用含的直角三角形的性质、勾股定理等求出，，利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出，利用等角对等边可求出，即可求解； （2）延长交于M，在上取点F，使，利用翻折的性质可求出，利用三角形内角和定理求出，利用等腰三角形三线合一性质得出，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用等边对等角和三角形外角的性质求出，设，利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，利用勾股定理求出，利用含的直角三角形的性质，即可求解； （3）分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证平分，然后利用可证，得出，在、中，利用勾股定理可得出，代入数据即可求解． 【小问1详解】 解：过D作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于M，在上取点F，使， ∵， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当F在A的右侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，延长线于M，连接， ∵翻折， ∴，，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 当F在A的左侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接， 同理可证平分， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $