精品解析：山西省大同市第七中学校2025-2026学年第一学期八年级数学期末试卷

大同市第七中学校2025-2026学年第一学期八年级期末质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 北京大学 B. 清华大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有A选项符合． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的基本运算法则与合并同类项规则逐一判断选项即可得出结果． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算错误； D、 ，故本选项计算正确． 3. 一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 将数字0.000000007用科学记数法表示，需使系数在1到10之间，通过移动小数点确定指数． 【详解】解：， 选故：B． 4. 下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，利用能判断，故本选项正确； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，不能判断，故本选项错误； 故选：B． 5. 如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：图①中，图②中， ∴． 6. 分式，，中，最简分式有（ ）个 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】逐个判断每个分式的分子分母是否存在公因式，统计最简分式的个数即可． 【详解】解：最简分式的定义为：分子与分母没有公因式的分式，逐个判断如下： 对于，分子与分母没有公因式，因此是最简分式． 对于，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 对于，对分母因式分解得，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 综上，最简分式共个． 7. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定两个分式的分母，第一个分式分母为，第二个分式分母为， 找最简公分母时，相同因式取最高次幂，所有不同因式都要保留，本题中相同因式的最高次幂是，单独出现的因式为，次数为，它们的积即为最简公分母． 【详解】解： 最简公分母是． 8. 某工程队改造一条长3500米的人行道，为尽量缩短施工时间，施工时每天比计划多改造15米，结果提前8天完成．设计划每天改造人行道x米，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设计划每天改造人行道x米，根据“施工时每天比计划多改造15米，结果提前8天完成”列分式方程即可． 【详解】解：设计划每天改造人行道x米，列方程得， 故选：D． 9. 请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据材料可知，三角形的高的垂足可能落在对边或对边的延长线上，分两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余的性质计算角度． 【详解】解：∵ 是边上的高， ∴， 如图， 当垂足在线段上时， ∴， 当垂足在的延长线上时：如图 ∴， ∴． 综上，的度数为或． 10. 如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】利用即可；②③证明得出对应线段相等即可. 【详解】解：于点，于， , ,故正确 在和中 故正确 （垂线段最短） 故错误 故选 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，也是典型的“一线三直角”的几何模型，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围为 __________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得 ． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 若式子x2＋16x＋k是一个完全平方式，则k＝______． 【答案】64 【解析】 【分析】根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵（x+8）2=x2+16x+64=x2＋16x＋k， ∴k=64． 故填64． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点成为解答本题的关键． 14. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________． 【答案】15 【解析】 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，由作图可得平分，则，从而根据含角的直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 小明同学计算的过程如下： 解：原式        第一步          第二步          第三步         第四步 ．             第五步 （1）小明同学化简第一步用到的知识是______．（填“整式乘法”或“因式分解”） （2）化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______． （3）请你写出正确的答案_______． 【答案】（1）因式分解 （2）三，去括号时，第二项没有变号 （3） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解的定义，判断即可； （2）第三步去括号时，出现错误； （3）通分后进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，小明同学化简第一步用到的知识是因式分解； 【小问2详解】 解：由题意得，化简过程中第三步出现错误，出现错误的原因是去括号时第二项没有变号； 【小问3详解】 解： ． 18. 如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． （1）求证：； （2）根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． （1）请在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． 【答案】（1） 如图所示.   点E，F，G的坐标分别为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，坐标与图形变化—轴对称，解二元一次方程组，熟知关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征先分别找出点A、B、C关于x轴对称的对应点E、F、G，然后顺次连接E、F、G即可得到答案； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于m、n的二元一次方程组，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，，即， 解得 ． 20. 小七同学对数学科目的学习兴趣浓厚．本学期在学习十七章因式分解的课堂中了解到因式分解的方法有很多种，如提公因式法、公式法、十字相乘法等．他回家主动查阅网络资料后了解到，还有一种分组分解法．即要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，两组分别进行因式分解后，两项具有相同的公因式，再运用提公因式法进行分解从而解决问题，步骤如下： 这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： （1）分解因式分组分解法体现的数学思想有（ ） A．方程思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．整体思想 （2）解决问题：因式分解：； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）D （2） （3）解：这个三角形是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）因式分解中把相同的公因式看成整体，再运用提公因式法进行分解，因此体现了整体思想； （2）运用材料的分组分解法求解即可； （3）运用分组分解法将化为，根据平方的非负性求得，即可判断的形状． 【小问1详解】 解：分组分解法体现的数学思想有整体思想． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 略 21. 【问题背景】学年秋季学期的小明正在读初中八年级，小明的哥哥正在读高二，元旦假期休息的时候小明翻看哥哥放在书桌上的练习册，发现一道数学题．哥哥对他说：你学完分式相关的知识也能解决这道题，高中数学知识是在初中数学知识的基础上进行系统性拓展、深化和延伸的，二者是层层递进的衔接关系．初中打好基础，高中才能学的好． 你和小明一起来分析一下这道题： 【问题解决】规定：对于正数x，规定，例如：， 则． 小明观察题目发现，题目具有一定的规律： 第1个式子可以化为：； 第2个式子可以化为：； 第3个式子可以化为：； 第4个式子可以化为：；…… （1）仿照小明的发现规律，猜想并写出第个式子____________（为正整数）； （2）请用（1）中发现的规律计算的值，并写出过程． （3）请你根据已经掌握的经验直接写出 【答案】（1） （2）解：，过程如下： 由（1）可得， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）观察可知两个相邻的正整数的乘积的倒数等于较小的正整数的倒数减去较大的正整数的倒数，据此可得答案； （2）根据（1）的规律把所求式子裂项求解即可； （3）根据（1）的规律把所求式子裂项求解即可． 【小问1详解】 解：第1个式子可以化为：； 第2个式子可以化为：； 第3个式子可以化为：； 第4个式子可以化为：； ……， 以此类推，可知，第个式子为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）可得， ∴ ． 22. 中国古都，天下大同，2026年元旦假期，大同古城游人如织，千年城墙下涌动着热闹的人潮，处处洋溢着新年的鲜活气息．鼓楼东街是古城里的人气高地，青石板路被脚步丈量，两侧的古建错落有致，还有的举起相机，记录下古街与新景交融的独特韵味．大家放慢脚步，在青砖灰瓦间感受着大同独有的历史底蕴，体验着与都市快节奏截然不同的闲适与惬意．不同于往日的逛吃模式，文创店成了游客踏足的第一选择．店内摆满了印有云冈石窟、鼓楼、华严寺元素的文创产品，每一件都藏着大同的历史韵味，游客们或细细挑选，或拍照留念，在指尖触摸中感受不一样的古城风情．其中两款纪念品：华严寺鸱吻造型冰箱贴和云冈石窟文创佛头帽销量火爆．佛头帽价格比鸱吻冰箱贴单价多30元，用880元购买佛头帽的数量是用290元购买鸱吻冰箱贴数量的2倍． （1）鸱吻冰箱贴和佛头帽的单价分别是多少元？ （2）某游客计划购买佛头帽和鸱吻冰箱贴的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最少能购买多少个鸱吻冰箱贴的纪念品？ 【答案】（1）鸱吻冰箱贴的单价是58元，则佛头帽的单价是88元 （2）最少能购买80个鸱吻冰箱贴的纪念品 【解析】 【分析】（1）设鸱吻冰箱贴的单价是x元，则佛头帽的单价是元．根据“用880元购买佛头帽的数量是用290元购买鸱吻冰箱贴数量的2倍”列出分式方程，求解并经验即可； （2）设购买n个鸱吻冰箱贴纪念品，则购买个佛头帽纪念品．根据“所花费用不超过6400元”列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设鸱吻冰箱贴的单价是x元，则佛头帽的单价是元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴， 答：鸱吻冰箱贴的单价是58元，则佛头帽的单价是88元． 【小问2详解】 解：设购买n个鸱吻冰箱贴纪念品，则购买个佛头帽纪念品．根据题意，得 ， 解得， 答：最少能购买80个鸱吻冰箱贴的纪念品． 23. 综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （1）【问题解决】如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）【类比应用】如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，求证：． （3）【问题拓展】如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，请直接写出__________． 【答案】（1）； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）4 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点，使，连接，证明，得，又，有，故，从而，即得； （3）延长至点，使，连接，证明，得，由，平分，得，而，有，可得，故，因，故，可得，又，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：延长至点，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∵在中，，即， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接， 点为边的中点， ， 又， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同市第七中学校2025-2026学年第一学期八年级期末质量检测 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 北京大学 B. 清华大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 6. 分式，，中，最简分式有（ ）个 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 7. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 8. 某工程队改造一条长3500米的人行道，为尽量缩短施工时间，施工时每天比计划多改造15米，结果提前8天完成．设计划每天改造人行道x米，则可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围为 __________． 12. 因式分解：__________． 13. 若式子x2＋16x＋k是一个完全平方式，则k＝______． 14. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交于点D．若，则__________． 15. 如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 小明同学计算的过程如下： 解：原式        第一步          第二步          第三步         第四步 ．             第五步 （1）小明同学化简第一步用到的知识是______．（填“整式乘法”或“因式分解”） （2）化简过程中第______步出现错误，出现错误的原因是______． （3）请你写出正确的答案_______． 18. 如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． （1）求证：； （2）根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． （1）请在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． 20. 小七同学对数学科目的学习兴趣浓厚．本学期在学习十七章因式分解的课堂中了解到因式分解的方法有很多种，如提公因式法、公式法、十字相乘法等．他回家主动查阅网络资料后了解到，还有一种分组分解法．即要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，两组分别进行因式分解后，两项具有相同的公因式，再运用提公因式法进行分解从而解决问题，步骤如下： 这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： （1）分解因式分组分解法体现的数学思想有（ ） A．方程思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．整体思想 （2）解决问题：因式分解：； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 21. 【问题背景】学年秋季学期的小明正在读初中八年级，小明的哥哥正在读高二，元旦假期休息的时候小明翻看哥哥放在书桌上的练习册，发现一道数学题．哥哥对他说：你学完分式相关的知识也能解决这道题，高中数学知识是在初中数学知识的基础上进行系统性拓展、深化和延伸的，二者是层层递进的衔接关系．初中打好基础，高中才能学的好． 你和小明一起来分析一下这道题： 【问题解决】规定：对于正数x，规定，例如：， 则． 小明观察题目发现，题目具有一定的规律： 第1个式子可以化为：； 第2个式子可以化为：； 第3个式子可以化为：； 第4个式子可以化为：；…… （1）仿照小明的发现规律，猜想并写出第个式子____________（为正整数）； （2）请用（1）中发现的规律计算的值，并写出过程． （3）请你根据已经掌握的经验直接写出 22. 中国古都，天下大同，2026年元旦假期，大同古城游人如织，千年城墙下涌动着热闹的人潮，处处洋溢着新年的鲜活气息．鼓楼东街是古城里的人气高地，青石板路被脚步丈量，两侧的古建错落有致，还有的举起相机，记录下古街与新景交融的独特韵味．大家放慢脚步，在青砖灰瓦间感受着大同独有的历史底蕴，体验着与都市快节奏截然不同的闲适与惬意．不同于往日的逛吃模式，文创店成了游客踏足的第一选择．店内摆满了印有云冈石窟、鼓楼、华严寺元素的文创产品，每一件都藏着大同的历史韵味，游客们或细细挑选，或拍照留念，在指尖触摸中感受不一样的古城风情．其中两款纪念品：华严寺鸱吻造型冰箱贴和云冈石窟文创佛头帽销量火爆．佛头帽价格比鸱吻冰箱贴单价多30元，用880元购买佛头帽的数量是用290元购买鸱吻冰箱贴数量的2倍． （1）鸱吻冰箱贴和佛头帽的单价分别是多少元？ （2）某游客计划购买佛头帽和鸱吻冰箱贴的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最少能购买多少个鸱吻冰箱贴的纪念品？ 23. 综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （1）【问题解决】如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）【类比应用】如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，求证：． （3）【问题拓展】如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，请直接写出__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $