精品解析：广东佛山市南海区桂城街道平洲第二初级中学2025-2026学年九年级下学期6月阶段检测数学作业研究3

数学作业研究3 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 如图，该平面展开图可以折成一个正方体的盒子，折好后与“全”字相对的字是（ ） A. 祝 B. 会 C. 你 D. 的 2. 党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下面几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 6. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5，6 B. 5，7 C. 6，6 D. 6，7 8. 已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 10. 如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 12. 请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么______． 13. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 14. 如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④． 15. 如图，正方形的边长为3，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的面积是________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 开平碉楼是广东省五邑侨乡中独特的多层塔楼式建筑，融防卫、居住功能和中西建筑艺术于一体，被誉为“华侨文化的典范之作”与“世界建筑艺术博物馆”．如图，某班研学小组操作无人机进行了实地测量，从无人机（点C处）看碉楼顶部A的仰角是，看碉楼底部B的俯角是，无人机到碉楼的距离约为米，请估算此碉楼的高度（参考数据：，结果保留一位小数）． 18. 项目化学习 请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务． 关于“对称数”的研究报告 追梦小组 研究对象：对称数 研究思路：按“定义—例题—应用”由—般到特殊进行研究． 研究方法：观察分析—猜想—验证 研究内容： 1．定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 2．观察： ； ； ； … 任务： （1）①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被______整除； ②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的． 19. 为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： （1）请补全条形统计图． （2）扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． （3）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ （4）学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 20. 防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等． （1）求A 队、B队的每小时检查的户数； （2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车) M 型 2 50 N型 1.5 40 21. 如图，是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，点P是射线上的动点，连接，过点B作，交⊙O于点D，连接． （1）求证：是⊙O的切线 （2）当四边形是平行四边形时，求的度数． 22. 定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； （2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； （3）如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及点B，D的坐标； （2）点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； （3）探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学作业研究3 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 如图，该平面展开图可以折成一个正方体的盒子，折好后与“全”字相对的字是（ ） A. 祝 B. 会 C. 你 D. 的 【答案】C 【解析】 【详解】解：折好后与“全”字相对的字是你. 2. 党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：8160亿用科学记数法表示为， 故选：A． 3. 如图，下面几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线，即可求解． 【详解】从上面看到一个长方形，凹槽口的两条棱能看得到，应画为实线； 凹槽底的两条棱被顶面遮挡，应画为虚线． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了幂的运算和合并同类项，根据幂的运算法则和合并同类项法则进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于函数，，， ∴函数的图象为 6. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、B、C选项中的数学符号都不能找到一条直线，使数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的数学符号能找到一条直线，数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键． 7. 某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5，6 B. 5，7 C. 6，6 D. 6，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为； 在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6， 故选：C． 8. 已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解决本题的关键是掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 12. 请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，只需举出一个负数即可说明命题为假命题. 【详解】解：当时，，，此时； 因此命题“”是假命题， 故（答案不唯一）. 13. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④． 【答案】①②##②① 【解析】 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 故①符合题意； ∵当时，函数值小于0， ∴，故②符合题意； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， 故③不符合题意； ∵抛物线与轴交于两点，即一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故④不符合题意； 综上可知，代数式的值为负数的是①②． 15. 如图，正方形的边长为3，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】长交于点,证明，根据相似三角形的性质可知，进而根据面积公式即可求解． 【详解】解：延长交于点, ∵四边形和四边形是正方形， ∴, ∴, ∴ ∴四边形是矩形， ∴, ∵, ∴, ∴， ∴, ∴ 解得：, ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 开平碉楼是广东省五邑侨乡中独特的多层塔楼式建筑，融防卫、居住功能和中西建筑艺术于一体，被誉为“华侨文化的典范之作”与“世界建筑艺术博物馆”．如图，某班研学小组操作无人机进行了实地测量，从无人机（点C处）看碉楼顶部A的仰角是，看碉楼底部B的俯角是，无人机到碉楼的距离约为米，请估算此碉楼的高度（参考数据：，结果保留一位小数）． 【答案】米 【解析】 【分析】解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，米， 在中，米， 在中，米， ∴米， 答：此碉楼的高度约为米． 18. 项目化学习 请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务． 关于“对称数”的研究报告 追梦小组 研究对象：对称数 研究思路：按“定义—例题—应用”由—般到特殊进行研究． 研究方法：观察分析—猜想—验证 研究内容： 1．定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 2．观察： ； ； ； … 任务： （1）①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被______整除； ②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的． 【答案】（1）①9；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了推理与论证，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算． （1）①观察题干的式子特征，得出结论即可作答．②模仿式子算法，得，即可作答． （2）依题意，列式，化简得，即可作答． 【小问1详解】 解：①∵； ； …… ∴将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除， 故答案为：9； ②依题意，， ∴猜想正确； 【小问2详解】 解：依题意， ， ∵结果能被9整除， ∴猜想是正确的． 19. 为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： （1）请补全条形统计图． （2）扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度． （3）估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？ （4）学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示． （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择课程和课程的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以本次调查中选择的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， 选择课程的人数为（人）， 选择课程的人数为（人）． 【小问2详解】 解：扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为. 【小问3详解】 解：（人． 估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种， 恰好甲和丁同学被选到的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 20. 防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等． （1）求A 队、B队的每小时检查的户数； （2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车) M 型 2 50 N型 1.5 40 【答案】（1）A队每小时检查16户，B队每小时检查12户 （2）租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 【解析】 【分析】（1）设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，根据“A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等”，可列方程分式方程，据此求解即可； （2）设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元，根据“总运货量吨”，列不等式求得m的范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户； 【小问2详解】 解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元， 由题意得， 解得， 由题意得， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w最小， w最小值元， ， 答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 21. 如图，是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，点P是射线上的动点，连接，过点B作，交⊙O于点D，连接． （1）求证：是⊙O的切线 （2）当四边形是平行四边形时，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明即可； （2）证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）如图，连接OD，则 是⊙O的切线 又 在和中 是⊙O的切线． （2）如图，连接OD四边形是平行四边形 , 四边形是平行四边形 又 四边形是菱形 四边形是正方形 ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，三角形全等的证明，平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，圆的切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. 定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； （2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； （3）如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 【答案】（1）的长为或 （2） 解：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3） 解：如图所示， 【解析】 【分析】（1）设，则，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论即可求解； （2）根据菱形的性质设，根据相似三角形的判定和性质得到，则，，则，则，运用勾股定理的计算即可求证； （3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及点B，D的坐标； （2）点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； （3）探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1），．； （2）． （3）能，边上的顶点的坐标为，或． 【解析】 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【小问1详解】 解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $