精品解析：江苏无锡市市北高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

无锡市市北高级中学2025——2026学年第二学期 高二年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 日期：2026.06 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某班从包括甲乙在内的名学生中，选择人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. C. 60 D. 240 5. 两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的均值等于（ ） A. B. C. D. 6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片．若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式恒成立 B. 存在实数a，使得不等式成立 C. 设a，b∈R，则 D. 若正实数x，y满足x＋2y＝1，则 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则 C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 设，若对任意，都存在，使成立，则 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在答题卷横线上． 12. 在10件产品中有2件次品，有放回地连续抽3次，每次抽1件，则抽到次品数为2的概率为________（结果用分数作答）. 13. 已知，，，则______. 14. 已知且满足，则的最小值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把正确答案填在答题卷横线上． 15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求的大小． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求的值； （2）求函数的单调区间和极值． 17. 在二项式的展开式中，二项式系数最大的项只有一项，且是第4项． （1）求的值； （2）求展开式中所有有理项的系数之和； （3）把展开式中的项重新排列，求有理项互不相邻的排法种数． 18. 某摄影协会在2019年10月举办了主题“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头，记录了国强民富的幸福生活，向祖国母亲70岁的生日献了一份厚礼.摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下： （1）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. （i）利用该正态分布，求； 附：，若，则，，. （ii）摄影协会从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“讲述图片背后的故事”座谈会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市市北高级中学2025——2026学年第二学期 高二年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 日期：2026.06 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出集合，再求出，从而可求出. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，不等式，解得或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选A． 考点：充分不必要条件的判定． 3. 某班从包括甲乙在内的名学生中，选择人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】甲乙两人至多一人参加的对立事件为甲乙都参加，利用事件的对立面求方法数即可. 【详解】根据题意，名学生中，选择人参加植树活动共有种方法， 而甲乙都参加的情况有种方法， 则甲乙两人至多一人参加的方法数有种. 故选：C. 4. 若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. C. 60 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】, 由题意可得，解得. 故展开式的通项为， 令，所以，所以， 所以展开式中的常数项为. 故选：C. 5. 两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的均值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】A邮箱的信件数为离散型随机变量，将的取值一一列出，计算出概率，利用均值的公式计算即可． 【详解】由题意可知，两封信随机投入A，B，C三个空邮箱共有种方法； 则；；； 故． 6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，求得最小值为，从而得到，即可求解. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号， 又不等式有解，所以，解得或， 故选：D. 7. 某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片．若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设表示骰子投掷出点，表示“取出卡片全为红色”，分别求出，利用全概率公式求出，进而利用条件概率公式计算求解． 【详解】设表示骰子投掷出点，均匀的骰子满足， 设表示“取出卡片全为红色”，已知红色共3张，则时，， 时，； 时，； 时，； 则， ， 则． 8. 已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，转化条件为对任意恒成立，设，，求导后求得的最小值即可得解. 【详解】设，则对任意恒成立， 设，则，且， 设，则， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以. 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式恒成立 B. 存在实数a，使得不等式成立 C. 设a，b∈R，则 D. 若正实数x，y满足x＋2y＝1，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本等式，结合特值，对选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】：当时，不等式不成立，故错误； ：不妨取，则，所以存在实数，满足题意，故正确； ：当时，，故错误； ：因为，故， 当且仅当，且时取得最小值，即时取得，故正确. 故选：. 10. 下列结论正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则 C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 【答案】AD 【解析】 【详解】对于选项A：因为随机变量，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为随机变量，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之线性相关性越弱，故C错误； 对于选项D：由正态曲线的性质可知，是上的增函数，故D正确． 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 在区间单调递减，在区间单调递增 C. 设，若对任意，都存在，使成立，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导得到函数的单调区间，计算切线得到A正确，根据定义域排除B，分别计算最值得到C正确，根据幂函数单调性和单调性计算得到D正确，得到答案. 【详解】，则，， 当和时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 对选项A：，，故切线方程为，正确； 对选项B：函数定义域为，错误； 对选项C：当时，，，故，正确； 对选项D：根据幂函数的单调性知，，，即， 故，即，故，正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在答题卷横线上． 12. 在10件产品中有2件次品，有放回地连续抽3次，每次抽1件，则抽到次品数为2的概率为________（结果用分数作答）. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出任意抽取一件产品为次品的概率，再利用二项分布的概率即可求出概率. 【详解】10件产品中有2件次品，任意抽取一件产品为次品的概率为， 有放回地连续抽3次，相当于做了三次独立重复试验，抽到次品数为，则， ， 故答案： 【点睛】本题主要考查了求二项分布的概率，属于中档题. 13. 已知，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以由全概率公式可得 , 故答案为： 14. 已知且满足，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【详解】由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，∴b=，解得1＜a＜3． 则2a+b=2a+=a﹣1++3≥+3=2+3，当且仅当a=1+，b=1时取等号． 故答案为3+2． 点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请把正确答案填在答题卷横线上． 15. 在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 （1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ （2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求的大小． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）与性别有关联； （2）． 【解析】 【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论； （2）根据古典概率或条件概率的计算公式求解即可. 【小问1详解】 零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关． 根据列联表中的数据得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联，此推断错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】 方法一：依据题意， 方法二：由条件概率公式得． 16. 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求的值； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由函数在处的切线与轴平行，则根据求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性并求解极值即可. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为， 则， 因为函数在处的切线与轴平行， 所以， 解得． 【小问2详解】 函数的定义域为 且， 当时，； 当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 所以当时，函数取到极大值， 当时，函数取到极小值． 17. 在二项式的展开式中，二项式系数最大的项只有一项，且是第4项． （1）求的值； （2）求展开式中所有有理项的系数之和； （3）把展开式中的项重新排列，求有理项互不相邻的排法种数． 【答案】（1）6 （2）32 （3）144 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理的展开式的性质即可求解；（2）利用二项式定理的展开式，找出的次数为整数的项，即可求解（3）元素不相邻的排列问题用插空法，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，所以． 【小问2详解】 二项式的展开式的通项为， 当时，的次数为整数，对应的项为有理项． 于是展开式中有理项共有四项，分别为第1项第3项、第5项、第7项， 所以展开式中所有有理项的系数之和为（或）． 【小问3详解】 展开式共有7项，其中4项为有理项，3项为无理项． 将无理项排列，有种排法， 将有理项插空排列，有种排法， 故有理项互不相邻的排法共有（种）． 18. 某摄影协会在2019年10月举办了主题“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头，记录了国强民富的幸福生活，向祖国母亲70岁的生日献了一份厚礼.摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下： （1）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. （i）利用该正态分布，求； 附：，若，则，，. （ii）摄影协会从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“讲述图片背后的故事”座谈会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望. 【答案】（1）60；180；（2）（i）0.3413；（ii）分布列见解析， 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图，即可由平均数求法求得这100位作者年龄的样本平均数；结合方差公式即可求得这100位作者年龄的样本方差； （2）（i）结合（1）可得正态分布，即可由参考数据计算得解. （ii）根据分层抽样方法特征可知抽取的这7人中年龄在内有3人，在内有4人，所以Y可能的取值为0，1，2，3，分别求得各组的概率，即可得变量Y的分布列和数学期望. 【详解】（1）这100位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为 （i）由（1）知，， 从而； （ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故Y可能的取值为0，1，2，3 ， ， ， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 所以Y的数学期望为 【点睛】本题考查了由频率分布直方图求平均数和方差的方法，正态分布曲线求指定区间的概率，原则的应用，分层抽样的应用，离散型随机变量分布列与数学期望的求法，属于中档题. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求的导数，进而结合二次不等式的性质对分类讨论可得结果； （2）（ⅰ）令，即，结合直线与无交点，并利用（1）的结果得到的取值范围； （ⅱ）由（1）中方程有，，化简可得，利用导数讨论单调性可得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 【小问2详解】 （ⅰ）令，即， 由于无零点，则直线与无交点，则； 又有两个不同的极值点,，由（1）知时满足题意，故a的取值范围为． （ⅱ）由（1）中方程有，． 不妨设，． 则 ， 设函数，， 且在上恒成立，故单调递增， 且，． 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $