精品解析：江苏无锡市市北高级中学2025-2026学年第二学期高二年级数学学科期中检测卷

无锡市市北高级中学2025--2026学年第二学期 高二年级数学学科期中检测卷 命题人：李适君 审题人：许奕 校对人：李适君 时间：120分钟 分值：150分 日期：2026.4 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上. 1. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或3 2. 已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（ ） A. 240种 B. 192种 C. 144种 D. 48种 6. 展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 24 C. 32 D. 56 7. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（ ） A. 若相互独立， B. 若事件，则 C. 若是对立事件，则 D. 若是互斥事件，则 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的对称中心为 B. 若关于x的方程有三解，则 C. 若在上有极小值，则 D. 若在上的最大值、最小值分别为，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在答题卷横线上. 12. 已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______． 13. 随机变量X的分布列如表所示，若，则_________. X －1 0 1 P a b 14. 一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止．则摸球次数为3的概率是________，摸球次数的期望是________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请把正确答案写在答题卷上. 15. 已知函数在处取得极大值2． （1）求的解析式； （2）求在上的最值． 16. 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为. （1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； （2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望. 17. 现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子. （1）当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） （3）当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） 18. 在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 19. 函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，解方程； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市市北高级中学2025--2026学年第二学期 高二年级数学学科期中检测卷 命题人：李适君 审题人：许奕 校对人：李适君 时间：120分钟 分值：150分 日期：2026.4 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上. 1. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数公式的性质求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：D. 2. 已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望即可； 【详解】设试验成功的概率为，解得：； 记一次试验中成功的次数为X，则的取值有0,1， , 则随机变量X的数学期望, 故选：A. 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果. 【详解】由可得， 令可得，即. 故选：D 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 5. 五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（ ） A. 240种 B. 192种 C. 144种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识进行求解. 【详解】2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种； 第二步：相邻女生排在一起有种； 第三步：4名男生排在剩下的位置有种. 因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法. 故选：B. 6. 展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 24 C. 32 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】 先将式子化成，再分别求两项各自的的系数，再相加，即可得答案. 【详解】∵， ∴展开式中含的项为， 展开式中含的项， 故的系数为. 故选：D. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 7. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 8. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得及. 【详解】用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得， ， 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（ ） A. 若相互独立， B. 若事件，则 C. 若是对立事件，则 D. 若是互斥事件，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C，D作答. 【详解】对于A，随机事件相互独立，则，，A正确； 对于B，事件，，，B正确； 对于C，因是对立事件，则，，C不正确； 对于D，因是互斥事件，则，，D正确. 故选：ABD 10. 已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 除以8所得的余数为1 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式系数公式可得，利用赋值法即可求解AB，根据即可求解C，求导，即可求解D. 【详解】根据题意可知，解得， 故， 对于A，令，则，令，则， 故，故A错误； 对于B，， 所以， 故为负值，为正，且令时，， 因此，B正确； 对于C，，故除以8所得的余数为1，C正确； 对于D，对求导得： ， 令可得，因，故D错误. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 的对称中心为 B. 若关于x的方程有三解，则 C. 若在上有极小值，则 D. 若在上的最大值、最小值分别为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用“拐点”定义可判定A，利用导数研究的单调性、极值结合函数的图象、对称性一一判定B、C、D选项即可. 【详解】对于A，易知，，令，而， 由“拐点”定义可知的对称中心为，故A正确； 令，此时单调递减， 令或，此时单调递增， 则，即的极大值为3，极小值为， 所以关于x的方程有三解，即两函数有三个交点， 则，故B正确； 易知若在上有极小值，则，故C错误； 由上可知，若在上的最大值、最小值分别为， 则，最值在端点处取得，即， 根据函数的对称中心知，而， 所以关于对称中心对称，则，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在答题卷横线上. 12. 已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可求出结果. 【详解】设切点为， 因为，所以， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过，所以，解得或， 所以切线方程为或. 故答案为：或 13. 随机变量X的分布列如表所示，若，则_________. X －1 0 1 P a b 【答案】5 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得． 【详解】依题意可得，解得， 所以， 所以. 故答案为：5. 14. 一个不透明的袋子中有6个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．某人从袋子中不断地随机摸球，每次从袋子中摸出一个球，直到2个红球被全部取出时停止．则摸球次数为3的概率是________，摸球次数的期望是________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】答题空1：摸球3次停止，把摸球看成排列问题，总有种，最后一次摸红球，符合题意的有种，再用古典概型公式可求. 答题空2：根据题意摸球次数可能取2，3，4，5，6，7，8，求出对应概率，再利用分布列期望公式可求. 【详解】摸球次数为3的概率为. 由题知摸球次数可取2，3，4，5，6，7，8， ，，， ，， ，， ， 故答案为：①② 6 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请把正确答案写在答题卷上. 15. 已知函数在处取得极大值2． （1）求的解析式； （2）求在上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由在上取得极大值转化为，联立方程组可得； （2）函数求导研究其在上的单调性，得出极值并比较与端点处的函数值即可求出其最值. 【小问1详解】 由，得. 因为在上取得极大值2， 所以解得 验证：当时，，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故在函数在处取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 当，单调递减； 当时，单调递增； 当时， 单调递减； 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值； 又因为， 所以在上的最大值为，最小值为. 16. 袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球个，白球个，.从中任取2个球，至少有1个红球的概率为. （1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； （2）任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可得，即可利用超几何分布的概率公式求解， （2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式求解期望即可. 【小问1详解】 ，得, 故黑球3个，红球5个，白球2个， 事件：取出的3球中恰有2球同色，则 【小问2详解】 . 的概率分布列 -2 -1 0 1 2 4 . 17. 现有6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子. （1）当每个盒子的球数大于等于0时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） （2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） （3）当每个盒子的球数不小于1时，求共有多少种不同放法；（用数字作答） 【答案】（1） （2） （3）540 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解； （2）根据组合以及分步乘法计数原理即可求解； （3）根据组合以及分类加法计数原理即可求解. 【小问1详解】 当每个盒子的球数大于等于0时，根据分步乘法计数原理共有种不同放法； 【小问2详解】 当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有种不同放法； 【小问3详解】 当每个盒子的球数不小于1时，共有三类： 第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有 种； 第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有 种； 第三类，每盒2个球，有 种， 所以共有540种不同放法. 18. 在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为. （1）求的值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）； （2），，，； (3). 【解析】 【分析】(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数，然后计算出结果 (2)由通项公式分别计算当时的有理项 (3)设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果 【详解】（1）由题意知：，则第4项的系数为， 倒数第4项的系数为， 则有即，. （2）由（1）可得， 当时所有的有理项为 即，， ，. （3）设展开式中第项的系数最大，则 ， ，故系数最大项为. 【点睛】本题考查了二项式定理的展开式，尤其是通项公式来解题时的运用一定要非常熟练，针对每一问求出结果，需要掌握解题方法． 19. 函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，解方程； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论、，结合导数的符号确定单调性； （2）由已知得，构造且，并应用导数研究其零点，即可得解； （3）令，则，讨论、，参变分离得到恒成立，利用导数研究的最小值，即可得范围. 【小问1详解】 由题设且， 当时，，即在上单调递增， 当时， 若，，即在上单调递减， 若，，即在上单调递增， 综上，时在上单调递增， 时在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由题设，则，即， 令且，则， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 又，即，当且仅当取等号， 所以的解为，即的解为. 【小问3详解】 由且，令，则， 当时，，此时，满足题设； 当时，，，恒成立， 令，则， 令，则， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增，且， 故时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 所以，即， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $