第10章 二元一次方程组 期末单元复习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 初中数学期末专项训练，聚焦二元一次方程组，以“概念-解法-应用-拓展”为逻辑主线，融合代入法、加减法及整体思想，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-2题|定义判断、解法选择|从二元一次方程组定义出发，区分方程与方程组特征| |解法应用|填空9-14题、计算18题|代入消元、加减消元|通过解的性质（公共解、相反数解）巩固解法步骤| |实际建模|选择7-8题、解答20-23题|古代问题、行程/经济问题建模|从文字情境抽象等量关系，培养模型观念| |拓展提升|解答24-25题|参数讨论、整体思想|结合含参方程组与跨学科应用，发展推理能力|

期末单元复习 《二元一次方程组》 2025-2026学年人教版数学七年级下册 一、选择题 1.下列方程组中是二元一次方程组的是(    ) A. B. C. D. 2.解方程组比较简便的方法是(    ) A. 都用代入法 B. 都用加减法 C. 用代入法，用加减法 D. 用加减法，用代入法 3.若二元一次方程，和有公共解，则的取值为(    ) A. B. C. D. 4.若方程的两个解是，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知，，则此图形的面积为  (    ) A. B. C. D. 6.已知是方程的一个解，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.我国古代数学著作九章算术“盈不足”一章中记载“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛．问个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？设个大桶盛酒斛，个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是(    ) A. B. C. D. 8.利用两块相同的长方形木板测量一张桌子的高度，先按图甲方式放置，再交换两木板的位置，按图乙方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是(    ) A. B. C. D. 二、填空题 9.若某个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是          写出一个即可 10.二元一次方程有          组非负整数解． 11.在   三对数值中，          是方程的解，          是方程的解，          是方程组 的解．填序号 12.把方程改写成用含的式子表示的形式为          ． 13.若关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为          ． 14.已知方程组若，则          ． 15.我国古代算法统宗里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来住店中，一房七客多七客，一房九客一房空诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住如果每一间客房住人，那么就空出一间房设该店有客房间，房客人，可列方程组为          ． 16.若关于，的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的值的和为          ． 17.已知关于，的方程组的解为则关于，的方程组的解为          ． 三、计算题 18.解下列方程组： 代入法加减法 四、解答题 19.已知关于，的方程组和有相同的解，求值 20.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解辆型汽车，辆型汽车的进价共计万元辆型汽车，辆型汽车的进价共计万元． ，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元 若该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均要购买，且万元全部用完，问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 21.成语“锱铢必较”出自荀子富国，用来形容很少的钱也要计较，比喻气量狭小．其中“锱”“铢”均是古代的质量单位，比喻极其微小的数量．已知在唐朝时期锱和铢的总质量为克，锱和铢的总质量为克，求该时期锱和铢的质量分别为多少克． 22.甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步．如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？ 23.一列快车长，一列慢车长，如果两车相向而行，从相遇到离开需；如果同向而行，从快车追及慢车到离开需求两车的速度． 24.已知关于，的方程组 请写出方程的所有正整数解 若方程组的解满足，求的值 无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解 若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 25.【阅读理解】已知实数，满足，，求和的值仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”利用“整体思想”，解决下列问题： 已知二元一次方程组则           ，           ； 【实际应用】买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 【迁移运用】对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是正常的乘法和加法运算已知，，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：中的第一个方程分母中含有未知数，故错误． B.是二元一次方程组，故正确； C.是三元一次方程组，故错误； D.中的第二个方程中未知数的最高次数不是，故错误． 故选B． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】由题意得，解得故选B． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】设长方形木板的长为，宽为，桌子的高为，由题意得得，解得，即桌子的高度是故选C． 9.【答案】答案不唯一  【解析】略 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】   【解析】【分析】 本题组要考查二元一次方程得解以及二元一次方程组得解． 将三组解分别代入两个方程判断即可，即可判断方程组得解． 【解答】 解： ，，， ，，； ，，， 故是方程的解，是方程的解，是方程组的解． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】 ，得，则． ，，解得． 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】  【解析】，得，所以因为，为整数，所以或或当时，，，把代入，得，解得，舍去；当时，，，把代入，得，解得，舍去；当时，，，把代入，得，解得，舍去；当时，，，把代入，得，解得，舍去；当时，，，把代入，得，解得；当时，，，把代入，得，解得综上所述，当或时，方程组的解是整数，所以满足条件的所有整数的值的和为故答案为． 17.【答案】  【解析】略 18.【答案】【小题】 解：由，得， 把代入，得， 解这个方程，得， 把代入，得， 所以这个方程组的解是 【小题】 解：，得， ，得， 解得：， 把代入，得，解得， 所以这个方程组的解是．   【解析】 详细的解析和解答过程见【答案】  详细的解析和解答过程见【答案】 19.【答案】解：关于，的方程组和有相同的解，关于，的方程组和的解也相同解得将代入得，得，．  【解析】略 20.【答案】【小题】 型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元． 【小题】 共有以下种购买方案： 方案型号的汽车购进辆，型号的汽车购进辆 方案型号的汽车购进辆，型号的汽车购进辆 方案型号的汽车购进辆，型号的汽车购进辆．   【解析】 略  略 21.【答案】解：设该时期锱的质量为克，铢的质量为克． 由题意，得解得 答：该时期锱的质量为克，铢的质量为克．   【解析】略 22.【答案】解：设甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈． 根据题意，得解得 所以甲跑一圈需要的时间为， 乙跑一圈需要的时间为． 答：甲、乙两人跑一圈分别需要，．   【解析】见答案 23.【答案】解：设快车车速为，慢车车速为根据题意，得 解得 答：快车车速为，慢车车速为．   【解析】略 24.【答案】【小题】 由方程，得． 当时， 当时，． 所以方程的所有正整数解为 【小题】 由题意得 解得 把代入， 解得． 【小题】 由得， 当时，， 即固定的解为 【小题】 得， 易得． 恰为整数，也为整数， 或． 或．   【解析】 略  略  略  略 25.【答案】【小题】 【小题】 解：设支铅笔为元，块橡皮为元，本日记本为元 由题意得： ，  ，得，   答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元； 【小题】 解： ，，， ， ， ，得， 即的值为．   【解析】  解： ，   得，  得，整理得， 故答案为：，；  设支铅笔为元，块橡皮为元，本日记本为元根据题意列方程组，利用整体思想解得，进而可得出答案．  先根据新定义列出方程组，利用整体法得出，即可得出答案． 学科网（北京）股份有限公司 $