2025--2026学年北师大版八年级下册期末数学考试复习试卷

**基本信息** 北师大版八年级下册期末复习卷，以航天主题等时代情境为载体，覆盖图形与代数核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，落实数学抽象、几何直观、推理意识等素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|轴对称与中心对称、多边形内角和、一次函数、因式分解|结合航天图标考查中心对称图形，体现文化传承与科技融合| |填空|5|分式意义、因式分解、多边形外角、旋转性质|以古建筑窗棂正八边形为背景，关联传统文化与几何计算| |解答|8|不等式（组）、几何证明、因式分解、旋转综合、“算两次”思想|设计三角尺旋转与EF垂直问题，考查空间观念；通过“算两次”思想证明勾股定理，培养创新意识|

北师大版八年级下册期末考试复习试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章的内角和大小为（　　） A．720° B．900° C．1080° D．1440° 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（　　） A．18 B．24 C．12 D．30 4．如图，已知直线y1＝ax+b与直线y2＝mx+n相交于点P（﹣5，10），则不等式ax+b≥mx+n的解集是（　　） A．x≤﹣5 B．x≥﹣5 C．x＜﹣5 D．x≥10 5．已知m＜n，则下列变形不正确的是（　　） A．2m＜2n B． C．m+2＜n+2 D．m﹣1＜n﹣1 6．多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 7．将关于x的多项式x2+nx+25因式分解得（x+5）2，则n的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．5 D．﹣5 8．下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 9．已知，下列结论正确的是（　　） A．A＝B B．A+B＝0 C．2A+B＝0 D．2A＝B 10．如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，若平行四边形ABCD的周长为22，且AM＝4，，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 二．填空题（共5小题） 11．若分式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：　 　 ． 12．分解因式：x2﹣x＝　 　 ． 13．中国传统古建筑窗棂常用正八边形纹样装饰，则正八边形的每个外角的度数为　 　 ． 14．已知关于x、y的方程组满足x+3y≥0，那么k的最大值是　 　 ． 15．如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接BB′．则线段BB′的长为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．解不等式：． 17．如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD． （1）求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）若∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°，求∠D的度数． 18．把下列各式因式分解： ①9（m+n）2﹣（m﹣n）2； ②a3b+2a2b2+ab3． 19．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 　 　 ； （Ⅱ）解不等式②，得 　 　 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　 ． 20．如图，已知：∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 21．计算（1）解不等式（组）；； （2）解分式方程：． 22．如图，图1是一副直角三角尺，∠F＝30°，将这副三角尺按如图2所示方式放置，点B，D，C，F在同一直线上，点A在DE上，△ABC固定不动，在△EDF绕点D逆时针旋转180°（不含180°）的过程中，当旋转角为多少时，EF与△ABC的边垂直？ 23．【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． （1）【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； （2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝　 　 ； （3）【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7． ①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝　 　 ；当n＝5，m＝　 　 时，y＝9； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝　 　 （用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 2．学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章的内角和大小为（　　） A．720° B．900° C．1080° D．1440° 【分析】根据多边形内角与外角性质解答即可． 【解答】解：根据多边形内角和公式可得：（8﹣2）×180°＝1080°， 即正八边形徽章的内角和为1080°． 故选：C． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（　　） A．18 B．24 C．12 D．30 【分析】首先利用勾股定理得AB＝10，再根据AB＝AD＝BD＝5可得答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得，AB10， ∵分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D， ∴AB＝AD＝BD＝10， ∴△ABD的周长为3×10＝30． 故选：D． 4．如图，已知直线y1＝ax+b与直线y2＝mx+n相交于点P（﹣5，10），则不等式ax+b≥mx+n的解集是（　　） A．x≤﹣5 B．x≥﹣5 C．x＜﹣5 D．x≥10 【分析】只需要找到直线y1＝ax+b在直线y2＝mx+n上方即二者的交点处时自变量的取值范围即可． 【解答】解：不等式ax+b≥mx+n的解集是x≤﹣5． 故选：A． 5．已知m＜n，则下列变形不正确的是（　　） A．2m＜2n B． C．m+2＜n+2 D．m﹣1＜n﹣1 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：A．∵m＜n， ∴2m＜2n，故本选项不符合题意； B．∵m＜n， ∴，故本选项符合题意； C．∵m＜n， ∴2+m＜2+n，故本选项不符合题意； D．∵m＜n， ∴m﹣1＜n﹣1，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是5mn， 故选：B． 7．将关于x的多项式x2+nx+25因式分解得（x+5）2，则n的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．5 D．﹣5 【分析】利用完全平方公式将（x+5）2展开，与原多项式比较即可求解． 【解答】解：利用完全平方公式将（x+5）2展开可得： （x+5）2＝x2+10x+25， 又∵原多项式为x2+nx+25， ∴n＝10， 故选：A． 8．下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得． 【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 9．已知，下列结论正确的是（　　） A．A＝B B．A+B＝0 C．2A+B＝0 D．2A＝B 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论． 【解答】解：由条件可知， ∵， ∴，且A≠B，故A，B错误，不符合题意； ，2A≠B，故C正确，符合题意，D错误，不符合题意； 故选：C． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，若平行四边形ABCD的周长为22，且AM＝4，，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．48 B．36 C．24 D．12 【分析】连接AC，由四边形ABCD是平行四边形，且它的周长为22，求得BC+CD＝11，因为AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，所以S△ABCBC•AMAD•AM，S△ADCCD•ANAD•AM，则S△ABC＝S△ADC，于是得4（11﹣CD）CD，求得CD＝5，则S平行四边形ABCD＝524，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形，且它的周长为22， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，且AB+BC+CD+AD＝22， ∴2BC+2CD＝22， ∴BC+CD＝11， ∵AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N， ∴S△ABCBC•AMAD•AM，S△ADCCD•ANAD•AM， ∴S△ABC＝S△ADC， ∵AM＝4，AN，BC＝11﹣CD， ∴4（11﹣CD）CD， 解得CD＝5， ∴S平行四边形ABCD＝524， 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．若分式在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：　6（答案不唯一）　 ． 【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可． 【解答】解：要使分式在实数范围内有意义，则x﹣5≠0， 解得x≠5， 如当x＝6时，分式在实数范围内有意义． 故答案为：6（答案不唯一）． 12．分解因式：x2﹣x＝x（x﹣1）　 ． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）， 故答案为：x（x﹣1）． 13．中国传统古建筑窗棂常用正八边形纹样装饰，则正八边形的每个外角的度数为　45°　 ． 【分析】根据多边形的外角和定理，任意多边形的外角和均为360°，正八边形的8个外角相等，用360°除以8即可求解． 【解答】解：根据多边形的外角和定理，任意多边形的外角和均为360°，正八边形的8个外角都相等 ∴正八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°． 故答案为：45°． 14．已知关于x、y的方程组满足x+3y≥0，那么k的最大值是　2　 ． 【分析】用加减消元法将x+3y用k来表示即可求解． 【解答】解：， 将②﹣①得，x+3y＝4﹣2k， ∵关于x、y的方程组满足x+3y≥0， ∴4﹣2k≥0， 解得k≤2， 则k的最大值为：2． 15．如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接BB′．则线段BB′的长为　　 ． 【分析】由旋转性质可判定△BOB′为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得BB′的长． 【解答】解：由旋转性质可知OB＝OB′＝3，∠BOB′＝90°， 则△BOB′为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．解不等式：． 【分析】根据去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【解答】解：原不等式去分母得x﹣1＜3x+3， 移项得x﹣3x＜3+1， 合并同类项得﹣2x＜4， 系数化为1得x＞﹣2． 17．如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD． （1）求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）若∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°，求∠D的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，再由对顶角相等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换）； （2）解：由（1）得：∠A+∠B＝∠C+∠D， ∵∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°， ∴57°+35°＝60°+∠D， ∴∠D＝32°， 则∠D的度数为32°． 18．把下列各式因式分解： ①9（m+n）2﹣（m﹣n）2； ②a3b+2a2b2+ab3． 【分析】①利用平方差公式进行分解即可解答； ②先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：①9（m+n）2﹣（m﹣n）2 ＝[3（m+n）+（m﹣n）][3（m+n）﹣（m﹣n）] ＝（4m+2n）（2m+4n） ＝4（2m+n）（m+2n）； ②a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2． 19．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 请结合解题过程，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 x≤1　 ； （Ⅱ）解不等式②，得 x≤4　 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为 x≤1　 ． 【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可． 【解答】解：， （Ⅰ）解不等式①，得x≤1； （Ⅱ）解不等式②，得x≤4； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为x≤1． 故答案为：（Ⅰ）x≤1；（Ⅱ）x≤4；（Ⅳ）x≤1． 20．如图，已知：∠1＝∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】根据内错角相等，两直线平行得到AB∥CD，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边平行的四边形是平行四边形）． 21．计算（1）解不等式（组）；； （2）解分式方程：． 【分析】（1）解第一个不等式1﹣3（x﹣1）＜8﹣x：去括号得1﹣3x+3＜8﹣x，移项合并同类项得﹣2x＜4，解得x＞﹣2．解第二个不等式：两边同乘2得x﹣2+2≥2x，移项得﹣x≥0，解得x≤0．取两个不等式解集的公共部分，得﹣2＜x≤0； （2）化简分母：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），4x﹣2＝2（2x﹣1），两边同乘最简公分母（2x+1）（2x﹣1）去分母，得x+1＝3（2x﹣1）﹣2（2x+1）．去括号、移项合并同类项，解得x＝6．检验：将x＝6代入最简公分母，结果不为0，确认是原方程的解． 【解答】解：（1）， 解不等式①得：1﹣3x+3＜8﹣x， 即﹣2x＜4， 得：x＞﹣2， 解不等式②得：x﹣2+2≥2x， 得：x≤0， 所以不等式组得解为：﹣2＜x≤0； （2）， ， x+1＝3（2x﹣1）﹣2（2x+1）， x+1＝6x﹣3﹣4x﹣2， x＝6， 当x＝6时，（2x+1）（2x﹣1）≠0， 所以方程的解为：x＝6． 22．如图，图1是一副直角三角尺，∠F＝30°，将这副三角尺按如图2所示方式放置，点B，D，C，F在同一直线上，点A在DE上，△ABC固定不动，在△EDF绕点D逆时针旋转180°（不含180°）的过程中，当旋转角为多少时，EF与△ABC的边垂直？ 【分析】分三种情况利用三角形内角和定理进行分类讨论即可． 【解答】解：当AC⊥EF时，如图， ∵∠F＝30°， ∴∠GHF＝60°， ∴∠DHC＝60°， ∵∠HCD＝45°， ∴∠FDC＝75°， ∴当旋转角为75°时，AC⊥EF； 当BC⊥EF时，如图， ∵∠F＝30°， ∴∠GDF＝60°， ∴∠FDC＝120°， ∴当旋转角为120°时，BC⊥EF； 当AB⊥EF时，如图， ∵∠F＝30°， ∴∠GHF＝60°， ∴∠AHD＝60°， ∵∠BAD＝45°， ∴∠ADH＝75°， ∴∠FDC＝75°+90°＝165° ∴当旋转角为165°时，AB⊥EF． 综上，当旋转角为75°，120°或165°时，EF与△ABC的边垂直． 23．【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． （1）【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； （2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝　1+3+5+7+…+2n﹣1　 ； （3）【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7． ①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝　6　 ；当n＝5，m＝　3　 时，y＝9； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝n+2（m﹣1）　 （用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【分析】（1）此等腰梯形的面积由三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程求解即可； （2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，将n行n列的棋子分割为图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1，故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答； （3）①根据条件画图即可解答； ②根据多边形的内角和以及分割后的所有三角形的内角和分别计算，即可得出方程求解． 【解答】解：（1）有三个直角三角形，其面积分别为，和， 直角梯形的面积为， 由图形可知：， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． ∴直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，a2+b2＝c2； （2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2， 将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1， 则n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1， 故答案为：1+3+5+7+…+2n﹣1； （3）①如图，当n＝4，m＝2时，y＝6； 如图，当n＝5，m＝3时，y＝9； 故答案为：6，3； ②n+2（m﹣1）． 验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为180°•y， 在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和， 即180°•（n﹣2）+360°•m， 可得180°•y＝180°（n﹣2）+360°•m， 故y＝n+2（m﹣1）， 故答案为：n+2（m﹣1）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/15 17:48:15；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $