2025--2026学年广东深圳市八年级下学期期末选择填空中档题专项训练

**基本信息** 以中档题分层突破为核心，通过几何变换、方程应用等模块构建"问题情境-方法提炼-知识迁移"的训练体系，强化逻辑推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何变换|5题|垂直平分线法/旋转性质/平移面积计算|从旋转中心确定到变换性质应用，构建空间观念| |四边形性质|4题|中位线定理/密铺条件/折叠对称|四边形判定→性质应用→动态问题，形成逻辑链条| |方程应用|3题|分式方程建模/增根处理/古代数学问题转化|实际问题抽象→等量关系建立→解的合理性验证| |几何计算|9题|勾股定理/三角函数/面积转化|从基本图形计算到复杂情境迁移，培养运算能力|

2026年深圳八下期末选择填空中档题专项训练 一．选择题（共17小题） 1．（2025春•光明区期末）如图，线段AB绕一点旋转后得到线段A'B'，点A旋转到了点A′，则旋转中心为（　　） A．点C B．点D C．点E D．点F 2．（2026•枞阳县校级一模）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框ABCD，固定边BC在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花EFGH．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内．下列说法错误的是（　　） A．四边形EFGH的形状为平行四边形 B．四边形EFGH的面积始终在变小 C．四边形EFGH的面积是四边形ABCD面积的 D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线之和 3．（2025春•坪山区期末）聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 4．（2025春•坪山区期末）观察等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（　　） （22﹣1）2+42＝（22+1）2 （32﹣1）2+62＝（32+1）2 （42﹣1）2+82＝（42+1）2 （52﹣1）2+102＝（52+1）2 … A．245 B．259 C．336 D．350 5．（2026•雁塔区校级四模）今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈＝10尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•龙华区期末）如图，在平面内将一块含45°的三角板ABC向右平移得到△DEF，若∠BAD＝30°，则边BC扫过的面积与边AB扫过的面积之比为（　　） A．2 B． C． D． 7．（2025春•福田区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将BC边绕着点A逆时针旋转90°，旋转后的对应线段B′C′与BC边交于点E，连接AE，则AE的长为（　　） A．1 B． C． D． 8．（2025•锦州一模）青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形ABCDEFGH，连接HD，则∠HDE的度数为（　　） A．60° B．62.5° C．65° D．67.5° 9．（2025•南山区）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内且满足m+n＝3，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当x＜0时，y＞b B．当x＜2时，y＜2k+b C．若k≥3，则b≥﹣6 D．若b≥8，则 10．（2025春•深圳期末）海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A．点M B．点N C．点P D．点Q 11．（2025春•深圳期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，BC边上一点E满足BE＝AD，连接D，E．现将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．若CE＝2，DE＝3，则点E到AB边的距离为（　　） A． B． C． D． 12．（2025春•罗湖区期末）如图，有两个完全重合的▱ABCD和▱AEFG，把▱AEFG绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在▱ABCD的边CD上，连接BG，∠DAB＝45°，，BC＝2，则BG的长为（　　） A． B． C． D． 13．（2025春•宝安区期末）粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等．一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高10km/h，则通行时间可减少0.1小时．设货车原来的平均速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 14．（2025春•宝安区期末）如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，若OP＝6，PC＝4，则CD长为（　　） A．5 B． C． D． 15．（2025春•深圳期末）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点的对应点D恰好落在BC边上．若，∠B＝60°，则CD的长为（　　） A．3 B． C．6 D． 16．（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x﹣1） B．3 C．3x﹣1 D．3 17．（2025春•连州市期末）如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE，交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB＝6，AC＝3，则DF长为（　　） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 二．填空题（共14小题） 18．（2025春•光明区期末）如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C．现计划修建一座油库，要求油库到这三条公路的距离都相等．若，则满足条件的油库到每条公路的距离为　 　 km． 19．（2025春•坪山区期末）关于x的方程有增根，则m的值为 　 　 ． 20．（2025春•坪山区期末）如图，将线段CG绕点C旋转到CA的位置，再将AC绕点A旋转至AD，使AD⊥AG，延长DC、AG交于点B，若BC＝14，DC＝4，则BG＝　 　 ． 21．（2025春•龙华区期末）如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A＝∠F＝30°．若，则CE的长度为　 　 ． 22．（2025春•龙华区期末）如图，D是等边△ABC内一点，∠ADC＝120°，CD＝6，则△BDC的面积为 　 　 ． 23．（2025春•福田区期末）如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC，BD交于点O，线段EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分面积为 　 　 ． 24．（2025春•龙岗区期末）如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A﹣B﹣C﹣D，∠C＝60°，连接BD，∠CBD＝80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交于点E，当∠ABC为 　 　 度时，△BDE是等腰三角形． 25．（2025春•深圳期末）如图，点P在正六边形的边FE上运动，若∠CBP＝x°，写出一个符合条件的x的值为　 　 ． 26．（2025春•深圳期末）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　 ． 27．（2025春•罗湖区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向匀速运动到点C，速度为1cm/s，图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值为 　 　 ． 28．（2025春•宝安区期末）如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转30°，再前进10米后又向右转30°…，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为　 　 米． 29．（2025秋•梅里斯区期末）如图，在▱ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F．已知点E在边BC上，AD＝5，，BE＝3，则AE的长为 　 　 ． 30．（2025春•南山区期末）已知关于x的方程4x+a＝x﹣6的根为负数，则实数a的取值范围是　 　 ． 31．（2024春•福田区期末）如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，AC与直尺的另一边交于点D，当∠DBC＝30°时，D，B两点分别落在直尺上的1cm，7cm处，则直尺的宽度为 　 　 cm． 2026年深圳八下期末选择填空中档题专项训练 参考答案与试题解析 一．选择题（共17小题） 1．（2025春•光明区期末）如图，线段AB绕一点旋转后得到线段A'B'，点A旋转到了点A′，则旋转中心为（　　） A．点C B．点D C．点E D．点F 【分析】分别作线段AA'，BB'的垂直平分线，相交于点D，可知线段AB绕点D顺时针旋转90°后得到线段A'B'，即可得出答案． 【解答】解：分别作线段AA'，BB'的垂直平分线，相交于点D， 可知线段AB绕点D顺时针旋转90°后得到线段A'B'， ∴旋转中心为点D． 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 2．（2026•枞阳县校级一模）如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框ABCD，固定边BC在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花EFGH．请问，在向左推动木框的过程中，各点始终在同一平面内．下列说法错误的是（　　） A．四边形EFGH的形状为平行四边形 B．四边形EFGH的面积始终在变小 C．四边形EFGH的面积是四边形ABCD面积的 D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线之和 【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定得到四边形EFGH为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式、周长公式计算，判断即可． 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点， ∴EF、GH分别为△ABC、△ADC的中位线， ∴EFAC，EF∥AC，GHAC，GH∥AC，FGBD， ∴EF＝GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EFAC，EF∥AC， ∴S△BEFS△ABC， 同理可得：S四边形EFGHS四边形ABCD， ∵EFAC，FGBD， ∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线之和， 故选项A、C、D说法正确，选项B说法错误， 故选：B． 【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．（2025春•坪山区期末）聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【分析】两个或几个正多边形的组合能否平面镶嵌，可以从所给的选项中看其内角和是否能等于360°，并以此为依据进行求解． 【解答】解：A．正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，不能铺满，故不符合题意； B．正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135°×2+90°＝360°，能铺满，故符合题意； C．正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，不能铺满，故不符合题意； D．正八边形每个内角是135°，不能被360°整除，所以不能铺满，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，任意几种多边形能否进行镶嵌，看它们能否组成360°的角． 4．（2025春•坪山区期末）观察等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（　　） （22﹣1）2+42＝（22+1）2 （32﹣1）2+62＝（32+1）2 （42﹣1）2+82＝（42+1）2 （52﹣1）2+102＝（52+1）2 … A．245 B．259 C．336 D．350 【分析】由题目中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边2n＝14，从而结合规律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：观察发现：第n个等式为：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 故存在以n2﹣1、2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形， ∴当有一个直角边为14的直角三角形时 ∵三个整数能构成直角三角形的三条边长， ∴2n＝14，解得n＝7， ∴直角三角形的另一个直角边是72﹣1＝48， ∴这个直角三角形的面积为14×48＝336． 故选：C． 【点评】本题考查的是数字的变化类，勾股数，三角形的面积，熟练掌握寻找规律的方法是解决问题的关键． 5．（2026•雁塔区校级四模）今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈＝10尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文，据此列方程，即可求解． 【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文得方程为： ， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出等量关系式是解题的关键． 6．（2025春•龙华区期末）如图，在平面内将一块含45°的三角板ABC向右平移得到△DEF，若∠BAD＝30°，则边BC扫过的面积与边AB扫过的面积之比为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】过点B作BQ⊥CF于点Q，交AD于点P，由题意得∠ABC＝90°，BC＝AB，平移得AD∥BE∥CF，AD＝BE＝CF，所以边BC扫过的面积为平行四边形BCFE的面积，边AB扫过的面积为平行四边形ABED的面积，可证明△QBC≌△PAB，得BQ＝AP，因为∠BAD＝30°，所以AB＝2BP，则BQ＝APBP，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：过点B作BQ⊥CF于点Q，交AD于点P，则∠BQC＝∠BQF＝90°， ∵△ABC是含45°的三角形，∠ABC＝90°， ∴BC＝AB， 由平移得AD∥BE∥CF，AD＝BE＝CF， ∴边BC扫过的面积为平行四边形BCFE的面积，边AB扫过的面积为平行四边形ABED的面积， ∵∠APB＝∠BQF＝90°， ∴BP⊥AD，∠BQC＝∠APB， ∴S平行四边形BCFE＝CF•BQ，S平行四边形ABED＝AD•BP＝CF•BP， ∵∠QBC+∠ABP＝90°，∠PAB+∠ABP＝90°， ∴∠QBC＝∠PAB， 在△QBC和△PAB中， ， ∴△QBC≌△PAB（AAS）， ∴BQ＝AP， ∵∠APB＝90°，∠BAD＝30°， ∴AB＝2BP， ∴BQ＝APBP， ∴， 故选：B． 【点评】此题重点考查平移的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 7．（2025春•福田区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将BC边绕着点A逆时针旋转90°，旋转后的对应线段B′C′与BC边交于点E，连接AE，则AE的长为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】过A点作AF⊥BC于F点，AH⊥B′C′于H点，如图，先根据腰三角形的性质得到∠B＝30°，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AF＝1，再根据旋转的性质得到AF＝AH，∠FAH＝90°，然后证明四边形AFEH为正方形，从而得到AEAF． 【解答】解：过A点作AF⊥BC于F点，AH⊥B′C′于H点，如图， ∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， ∴∠B＝30°， ∴AFAB＝1， ∵BC边绕着点A逆时针旋转90°得到线段B′C′， ∴AF＝AH，∠FAH＝90°， ∵∠AFE＝∠AHE＝90°， ∴四边形AFEH为正方形， ∴AEAF． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系． 8．（2025•锦州一模）青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形ABCDEFGH，连接HD，则∠HDE的度数为（　　） A．60° B．62.5° C．65° D．67.5° 【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得∠CDE 的度数，再利用正八边形的对称性即可求得答案． 【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴， ∴由对称性可知， 故选：D． 【点评】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，掌握其性质是解题的关键． 9．（2025•南山区）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内且满足m+n＝3，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当x＜0时，y＞b B．当x＜2时，y＜2k+b C．若k≥3，则b≥﹣6 D．若b≥8，则 【分析】根据一次函数与一元一次不等式逐项分析判断即可． 【解答】解：A、如图，点P（m，n）在线段MN上（m≠0，n≠0），A（3，3）， ∴直线y＝kx+b的k＞0， ∵x＜0， ∴kx＜0， ∴y﹣b＜0，即y＜b，故选项说法错误，不符合题意； B、当x＝2时，函数y＝2k+b， ∵k＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴x＜2时，y＜2k+b，故选项说法正确，符合题意； C、∵一次函数y＝kx+b过A（3，3）， ∴b＝3﹣3k， ∵﹣3＜0， ∴b随k的增大而减小， ∴当k≥3，则b≤﹣6，故原说法错误，不符合题意； D、∵b＝﹣3k+3， ∴b随k的增大而减小， 当﹣3k+3≥8时，k，故原说法错误，也不符合题干k＞0，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 10．（2025春•深圳期末）海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A．点M B．点N C．点P D．点Q 【分析】根据中心对称的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′成中心对称，其中心点为M． 故选：A． 【点评】本题主要考查了中心对称，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称的定义． 11．（2025春•深圳期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，BC边上一点E满足BE＝AD，连接D，E．现将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．若CE＝2，DE＝3，则点E到AB边的距离为（　　） A． B． C． D． 【分析】过D作DF⊥BC于F，证明四边形ABED是平行四边形，可得AB∥ED，AB＝DE＝3，即可得DE＝CD＝3，求出EF＝CFCE＝1，DF2，故S△CDECE•DF＝2S△C'DE，设点E到AB边的距离为h，即可得h＝2，解得h． 【解答】解：过D作DF⊥BC于F，如图： ∵AD∥BC，BE＝AD， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴AB∥ED，AB＝DE＝3， ∵AB＝CD， ∴DE＝CD＝3， ∵DF⊥BC， ∴EF＝CFCE＝1， ∴DF2， ∴S△CDECE•DF2×22， ∵将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处， ∴S△C'DE＝2， 设点E到AB边的距离为h，由AB∥ED可知点C'到ED边的距离为h， ∴S△C'DEDE•hh， ∴h＝2， 解得h， ∴点E到AB边的距离为； 故选：B． 【点评】本题考查四边形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题的关键是掌握翻折的性质． 12．（2025春•罗湖区期末）如图，有两个完全重合的▱ABCD和▱AEFG，把▱AEFG绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在▱ABCD的边CD上，连接BG，∠DAB＝45°，，BC＝2，则BG的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，根据平行四边形的性质可以得出△BEM和△BEN全等，再根据等腰直角三角形三边关系可以得出BM，GH，可以证明△GQH和△BQN全等，从而得到BQ＝GQ，根据勾股定理求出BQ，从而可以求得BG． 【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图： 由旋转的性质可知，AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°， ∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2， ∴∠CEB＝∠ABE，BM， ∴∠BEN＝∠BEM， 又∵BE＝BE， ∴△BEN≌△BEM（AAS）， ∴BN＝BMGH， 又∵∠GQH＝∠BQN， ∴△QGH≌△QBN（AAS）， ∴BQ＝CQ，HQ＝NQ， ∴BG＝2BQ， ∵AB， ∴AN2， ∴HN＝AN﹣AH， ∴HQ＝NQ， ∴BQ， ∴BG＝2BQ． 故选：B． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 13．（2025春•宝安区期末）粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等．一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高10km/h，则通行时间可减少0.1小时．设货车原来的平均速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据时间＝路程÷速度结合通行时间可减少0.1小时，可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设设货车原来的平均速度为xkm/h，则提高10km/h后的平均速度为（x+10）km/h， 依题意得． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 14．（2025春•宝安区期末）如图，点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，若OP＝6，PC＝4，则CD长为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出OC，根据角平分线的性质得到PC＝PD，证明Rt△OCP≌Rt△ODP，根据全等三角形的性质得到OC＝OD，得到OP⊥CD，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°， ∴OC2， ∵点P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC＝PD， 在Rt△OCP和Rt△ODP中， ， ∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）， ∴S△OCP＝S△ODP，OC＝OD， ∵PC＝PD，OC＝OD， ∴OP⊥CD， ∴24×26×CD， ∴CD， 故选：D． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握三角形的全等的判定定理是解题的关键． 15．（2025春•深圳期末）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点的对应点D恰好落在BC边上．若，∠B＝60°，则CD的长为（　　） A．3 B． C．6 D． 【分析】由旋转的性质可知AB＝AD，又因为∠B＝60°，可得△ADB为等边三角形，又因为Rt△ABC中有∠C＝30°，可得出BC＝2AB，故由已知，算出BC，AB相减即可． 【解答】解：由旋转的性质得：AB＝AD， ∵∠B＝60°， ∴△ADB为等边三角形， ∴AB＝BD， 在Rt△ABC中，，∠B＝60°，则∠C＝30°， ∴BC＝2AB， ∴BC＝2AB． 由勾股定理得：AC2＝BC2﹣AB2，即（6）2＝（2AB）2﹣AB2， 解得：AB＝6， ∴BC＝12， ∴CD＝BC﹣BD＝BC﹣AB＝12﹣6＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 16．（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x﹣1） B．3 C．3x﹣1 D．3 【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 17．（2025春•连州市期末）如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE，交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB＝6，AC＝3，则DF长为（　　） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【分析】分别延长AC、BF交于点G，证明△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质得到AG＝AB＝6，BF＝FG，再根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：如图，分别延长AC、BF交于点G， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠GAF， ∵BF⊥AE， ∴∠AFB＝∠AFG＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（ASA）， ∴AG＝AB＝6，BF＝FG， ∴CG＝AG﹣AC＝6﹣3＝3， ∵BF＝FG，AD＝DC， ∴DF是△BCG的中位线， ∴DFCG＝1.5， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 二．填空题（共14小题） 18．（2025春•光明区期末）如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C．现计划修建一座油库，要求油库到这三条公路的距离都相等．若，则满足条件的油库到每条公路的距离为　1或3　 km． 【分析】根据等边三角形的判定可得△ABC是等边三角形，再根据角平分线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图： ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∴BEkm， ∵油库到这三条公路的距离都相等， ∴油库的位置可以设计在△ABC三条角平分线（或外角平分线）的交点． ∴AE＝D′E＝3km， 当油库在△ABC里面时，DEAE＝1km； 当油库在△ABC外面时，D′E＝3km． 故答案为：1或3． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 19．（2025春•坪山区期末）关于x的方程有增根，则m的值为 　1　 ． 【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题． 【解答】解：， 去分母，得x﹣2＝﹣m． 移项，得x＝2﹣m． ∵关于x的方程有增根， ∴2﹣m＝1． ∴m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键． 20．（2025春•坪山区期末）如图，将线段CG绕点C旋转到CA的位置，再将AC绕点A旋转至AD，使AD⊥AG，延长DC、AG交于点B，若BC＝14，DC＝4，则BG＝　　 ． 【分析】本题涉及旋转的性质，旋转前后对应线段相等．通过旋转得到相等的线段，再利用三角形的相关知识来求解． 【解答】解：作CE⊥AB于E， 在Rt△ACE和Rt△GCE中， 由勾股定理得CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CG2﹣GE2， 即CE2＝CG2﹣（CG×cos∠CGE）2， CE2＝AC2﹣（BC﹣CG×cos∠CGA）2， 联立以上等式可得AG2＝AC2+CG2﹣2AC×CG×cos∠ACG．① ∵CE∥AD， ∴△CEB∽△DAB， ， ∵BC＝14，DC＝4， ∴， ∵sin∠CGE＝sin∠CAG＝cos∠DAC，线段CG绕点C旋转到CA，AC绕点A旋转至AD， ∴cos∠DAC， 由①可知cos∠DAC， 代入数据解得AD＝6， 由勾股定理可得AB， AB12， 由一可知AE＝AC×cos∠CAE， AG＝2AE， BG＝AB﹣AG． 【点评】本题结合旋转，考查了解直角三角形． 21．（2025春•龙华区期末）如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，∠A＝∠F＝30°．若，则CE的长度为　1　 ． 【分析】根据直角三角形的性质得到BF＝2BD＝2，根据全等三角形的性质得到BC＝BD，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠BDF＝90°，BD，∠F＝30°， ∴BF＝2BD＝2， ∵△ABC≌△FBD， ∴BC＝BD， ∴CF＝BF﹣BC， ∵∠FCE＝90°， ∴EF＝2CE， ∵CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+3＝（2CE）2， ∴CE＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 22．（2025春•龙华区期末）如图，D是等边△ABC内一点，∠ADC＝120°，CD＝6，则△BDC的面积为 　9　 ． 【分析】如图，在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE．证明△BCD≌△ACE（SAS），再证明AD∥EC，推出△BDC的面积＝△AEC的面积＝△CDE的面积． 【解答】解：如图，在CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE． ∵△ABC，△CDE都是等边三角形， ∴CB＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在∠BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∵∠ADC＝120°，∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ADE＝∠CED＝60°， ∴AD∥EC， ∴△BDC的面积＝△AEC的面积＝△CDE的面积62＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23．（2025春•福田区期末）如图，平行四边形ABCD的面积为7，对角线AC，BD交于点O，线段EF经过点O，交AD于点E，交BC于点F，则阴影部分面积为 　　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，OA＝OC，OD＝OB，则∠OAE＝∠OCF，由S▱ABCD＝7，得S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝S△AOBS▱ABCD，再证明△AOE≌△COF，则S△AOE＝S△COF，推导出S阴影＝S△BOC，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴AD∥BC，OA＝OC，OD＝OB， ∴∠OAE＝∠OCF， ∵S▱ABCD＝7， ∴S△BOC＝S△DOC＝S△AOD＝S△AOBS▱ABCD， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE＝S△BOF＝S△COF+S△BOF＝S△BOC， 故答案为：． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AOE≌△COF是解题的关键． 24．（2025春•龙岗区期末）如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A﹣B﹣C﹣D，∠C＝60°，连接BD，∠CBD＝80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交于点E，当∠ABC为 　80或140或170　 度时，△BDE是等腰三角形． 【分析】分①当点E在CD的延长线上时，②当点E在线段CD上且BE＝DE时，③当点E在线段CD上且DB＝DE时，三种情况分别讨论即可求解． 【解答】解：①当点E在CD的延长线上时，如图， ∵∠C＝60°，∠CBD＝80°， ∴∠CDB＝180°﹣∠C+∠CBD＝40°， ∴∠BDE＝140°， ∵△BDE是等腰三角形， ∴BD＝DE， ∴∠BDE＝∠BED， ∴∠ABC＝∠C+∠BED＝60°+20°＝80°； ②当点E在线段CD上且BE＝DE时，如图， ∴∠BDE＝∠EBD＝40°， ∴∠CBE＝80°﹣∠EBD＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝140°； ③当点E在线段CD上且DB＝DE时，如图， ∴∠DBE＝∠EBD， ∴∠CBE＝80°﹣∠EBD＝10°， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝170°， 综上所述，当∠ABC为80°或140°或170°时，△BDE是等腰三角形， 故答案为：80或140或170． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 25．（2025春•深圳期末）如图，点P在正六边形的边FE上运动，若∠CBP＝x°，写出一个符合条件的x的值为　70　 ． 【分析】设正六边形ABCDEF的对称中心为点O，连接BF、OB、OC、OD、OE、OF，则OB＝OC，∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝60°，所以△BOC是等边三角形，则∠OBC＝60°，可证明B、O、E三点在同一条直线上，由OB＝OF，得∠OBF＝∠OFB，由∠EOF＝2∠OBF＝60°，求得∠OBF＝30°，则∠CBF＝90°，推导出60≤x≤90，写出一个满足条件的x值即可． 【解答】解：设正六边形ABCDEF的对称中心为点O，连接BF、OB、OC、OD、OE、OF， ∵OB＝OC，∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF360°＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠OBC＝60°， ∵∠BOC+∠COD+∠DOE＝180°， ∴B、O、E三点在同一条直线上， ∵OB＝OF， ∴∠OBF＝∠OFB， ∵∠EOF＝∠OBF+∠OFB＝2∠OBF＝60°， ∴∠OBF＝30°， ∴∠CBF＝∠OBF+∠OBC＝90°， ∵当BP与BE重合时，∠CBP＝∠OBC＝60°；当BP与BF重合时，∠CBP＝∠CBF＝90°，且∠CBP＝x°， ∴60≤x≤90， 故答案为：70． 注：答案不唯一． 【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、正多边形的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 26．（2025春•深圳期末）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是　﹣2　 ． 【分析】将原方程去分母得﹣mx＝2﹣2（x﹣1），将其整理后把增根x＝1代入解得m的值即可． 【解答】解：原方程去分母得：﹣mx＝2﹣2（x﹣1）， 整理得：﹣mx＝4﹣2x， ∵原方程的增根为x＝1， ∴﹣m＝4﹣2， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键． 27．（2025春•罗湖区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向匀速运动到点C，速度为1cm/s，图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值为 　24　 ． 【分析】根据点P的运动可得出AB，AD的长，再根据面积公式可得出a的值． 【解答】解：由点P的运动可知，AB＝10cm，AD＝18﹣10＝8（cm）， 在Rt△ABD中，由勾股定理可知，BD＝6cm， ∴a＝S△ABD6×8＝24（cm2）． 故答案为：24． 【点评】本题考查三角形的性质、动点问题的函数图象问题，弄清不同时间段，图象和图形的对应关系是解答的关键． 28．（2025春•宝安区期末）如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转30°，再前进10米后又向右转30°…，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为　120　 米． 【分析】由每个外角都相等得出每个内角都相等，再根据边长都是10米得出这个多边形是正多边形，根据多边形外角和定理即可求出其边数，从而求出其周长． 【解答】解：由题意可知这个多边形为正多边形， ∵360°÷30°＝12， ∴这个多边形为正十二边形， ∴它的周长为10×12＝120（米）， 故答案为：120． 【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 29．（2025秋•梅里斯区期末）如图，在▱ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F．已知点E在边BC上，AD＝5，，BE＝3，则AE的长为 　　 ． 【分析】作AH⊥BC于点H，由平行四边形的性质得BC＝AD＝5，AB＝CD，因为BE＝3，所以CE＝BC﹣BE＝2，由旋转得AE＝AC，EF＝CD＝2，则EH＝CH＝1，AB＝2，所以BH＝BE+EH＝4，则AH6，求得AE，于是得到问题的答案． 【解答】解：作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，AB＝CD， ∵BE＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2， 由旋转得AE＝AC，EF＝CD＝2， ∴EH＝CHCE＝1，AB＝2， ∴BH＝BE+EH＝3+1＝4， ∴AH6， ∴AE， 故答案为：． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 30．（2025春•南山区期末）已知关于x的方程4x+a＝x﹣6的根为负数，则实数a的取值范围是a＞﹣6　 ． 【分析】先求出一元一次方程的解，再根据解为负数列出不等式，然后求解即可． 【解答】解：4x+a＝x﹣6， 解得x， ∵关于x的方程4x+a＝x﹣6的根为负数， ∴， 解得a＞﹣6， 故答案为：a＞﹣6． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 31．（2024春•福田区期末）如图，将含45°角的直角三角尺的直角顶点C放在一把直尺的一边上，顶点B在直尺的另一边上，AC与直尺的另一边交于点D，当∠DBC＝30°时，D，B两点分别落在直尺上的1cm，7cm处，则直尺的宽度为 　　 cm． 【分析】过点C作CE⊥BD于点E，在Rt△BCD中，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一 半”可得，利用勾股定理可得，然后利用3O度角的直角三角形的性质得到CE的值，即可确定直尺的宽度． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于点E， 根据题意可知：∠ACB＝90°，∠DBC＝30°，BD＝7﹣1＝6cm， 在Rt△BCD中，， ∴， ∴， ∴直尺的宽为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线等知识，熟练正确作出辅助线是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/15 12:52:03；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $