专题7平行四边形的判定定理 暑期练习 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 分层覆盖平行四边形判定定理的基础应用、性质综合及实际问题，梯度从概念辨析到情境建模，强化逻辑推理与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|判定条件辨析、简单添加条件|选择题直接考查判定定理（如“不能判定平行四边形的条件”），强化抽象能力| |提升层|判定与性质综合、推理证明|证明题结合全等（如“证△BEO≌△DFO及平行四边形”），培养推理能力| |应用层|实际情境、动态问题|广场花坛面积比较、遮阳蓬支架计算，体现模型意识与应用意识|

浙教版（2024）八年级下册暑期巩固 专题7平行四边形的判定定理 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明 1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　) A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AB∥DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 2、如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中,不能判定其为平行四边形的是() A.AB=CD,AD=BC       B.AB∥CD,AB=CD C.OA=OC,OB=OD      D.AB∥CD,AD=BC 3、如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　. 4、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证： (1)△BEO≌△DFO. (2)四边形ABCD是平行四边形． 5、如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，连结AE，AF，CE，CF.求证：四边形AECF是平行四边形. 添加一个条件成为平行四边形 1、如图，在四边形ABCD中，ADBC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　） A.AB＝CD B.∠ADB＝∠CBD C.AB＝AD D.∠A＝∠C 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　） A.AB＝CD B.AB＝AD C.∠ADB＝∠DBC D.∠ABC＝∠ADC 3、如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：　    　，使四边形ABCD是平行四边形． 4、如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。 数平行四边形的个数 1、如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为(    )    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（     ）个 A.4 B.5 C.3 D.6 3、如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 4、如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有        个． 全等三角形拼平行四边形问题 1、如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（　　） A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 3、如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出（　　）个平行四边形． A.1 B.2 C.3 D.4 4、关于用两个全等三角形拼成的四边形，有下列说法： ①一定是平行四边形； ②可能是平行四边形； ③一定不是平行四边形． 其中正确的说法是　 　． 5、如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长． 6、如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由． 利用平行四边形的判定与性质求角度 1、如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　） A.65° B.60° C.50° D.40° 2、在四边形ABCD中，两组对边分别相等．若∠B＝70°，则∠C的度数为（　　） A.100° B.110° C.120° D.130° 3、如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度． 4、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，满足AE＝CF，且BE∥DF． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AB＝AC＝BE，∠ABE＝20°，求∠BAD的度数． 利用平行四边形的判定与性质求线段的长度 1、如图,在▱ABCD中,∠D=5∠CAB,在AC上取点P,使PC=BC,连结BP,过点P作EF⊥CD,分别交AB,CD于点E,F。已知BE=2,AE=x,BP=y,当x,y发生变化时,下列代数式值不变的是() A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2 2、如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为 　 　． 4、在▱ABCD中,∠ABC的平分线交直线AD于点E,AB=4,DE=1,则▱ABCD的周长为　　　　。 5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长． 6、在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 平行四边形的判定与性质的实际应用 1、如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　） A.红花、绿花种植面积一定相等 B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.绿花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等 2、小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 3、生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠BAD＝140°，则∠BCD的度数为（　　） A.40° B.100° C.120° D.140° 4、如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 5、如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画        个平行四边形． 6、如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B⇒A⇒E⇒F；乙乘2路车，路线是B⇒D⇒C⇒F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由． 浙教版（2024）八年级下册暑期巩固 专题7平行四边形的判定定理（参考答案） 利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明 1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　) A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AB∥DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 【答案】C 2、如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中,不能判定其为平行四边形的是() A.AB=CD,AD=BC       B.AB∥CD,AB=CD C.OA=OC,OB=OD      D.AB∥CD,AD=BC 【答案】D 3、如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　. 【答案】 【解析】∵E为CD的中点,∴CE＝DE. 又∵EF＝BE, ∴四边形DBCF是平行四边形, ∴CF∥AB,DF∥BC,DF＝BC, ∴∠FCG＝∠A＝30°,∠CGF＝∠ACB＝90°. ∵在Rt△FCG中,CF＝3, ∴FG＝CF＝, ∴CG＝. ∵DF＝BC＝2,∴DG＝, ∴CD＝. 4、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证： (1)△BEO≌△DFO. (2)四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：(1)在△BEO和△DFO中， ∵ ∴△BEO≌△DFO(ASA)． (2)∵△BEO≌△DFO，∴OE＝OF. 又∵AE＝CF，∴OA＝OC. 又∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 5、如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，连结AE，AF，CE，CF.求证：四边形AECF是平行四边形. 【答案】证明：如答图，连结AC，交BD于点O. 答图 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO. 又∵BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形. 添加一个条件成为平行四边形 1、如图，在四边形ABCD中，ADBC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　） A.AB＝CD B.∠ADB＝∠CBD C.AB＝AD D.∠A＝∠C 【答案】D 【解析】 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． A、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意； C、由AD∥BC，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠C＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠ADC+∠A＝180°， ∴AB∥CD， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　） A.AB＝CD B.AB＝AD C.∠ADB＝∠DBC D.∠ABC＝∠ADC 【答案】D 【解析】 由AD∥BC，AB＝CD，可证明四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，但不一定是平行四边形，可判断A不符合题意；由AD∥BC，AB＝AD，只能证明四边形ABCD是一组对边平行且一组邻边相等的四边形，但四边形ABCD不一定是平行四边形，可判断B不符合题意；由AD∥BC，得∠ADB＝∠DBC，不能证明四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由BC∥AD得∠DBC＝∠ADB，而∠ABC＝∠ADC，可推导出∠ABD＝∠CDB，则AB∥CD，可根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． ∵AD∥BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形， 故A不符合题意； ∵AD∥BC，AB＝AD， ∴四边形ABCD是一组对边平行且一组邻边相等的四边形， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形， 故B不符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵四边形ABCD只有一组对边平行， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形， 故C不符合题意； ∵BC∥AD， ∴∠DBC＝∠ADB， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABC﹣∠DBC＝∠ADC﹣∠ADB， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故D符合题意， 故选：D． 3、如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：　    　，使四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 AB＝BF． 【解析】 添加条件是AB＝BF，求出∠CDE＝∠F，CE＝BE，根据AAS证△CDE≌△BFE，推出DC＝BF，推出AB＝CD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出即可． 添加条件是AB＝BF， 理由是：∵CD∥AF， ∴∠CDE＝∠F， ∵E是BC边的中点， ∴CE＝BE， 在△CDE和△BFE中 ∴△CDE≌△BFE（AAS）， ∴DC＝BF， ∵AB＝BF，CD∥AF， ∴AB＝CD，CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB＝BF． 4、如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。 【答案】 AB∥CD(答案不唯一) 数平行四边形的个数 1、如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为(    )    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 由已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出EF∥AB且EF＝AD，EF＝DB，DF∥BC且DF＝CE，所以得到3个平行四边形． 已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点， ∴EF∥AB且EF＝AB＝AD，EF＝AB＝DB， DF∥BC且DF＝CE， ∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形， 故选C． 2、如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（     ）个 A.4 B.5 C.3 D.6 【答案】B 【解析】 根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 如图， 图中的平行四边形有：□ABED，□ABGF，□BCFE，□ACFD，□PBQF， 故选B． 3、如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 【答案】 4 试题解析：∵在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点 ∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD ∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上□ABCD本身，共有4个平行四边形4． 故答案为4． 4、如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有        个． 【答案】 4 如图： 即□EFGH，□ABCD，□BEDG，□AFCH， 故答案为4. 全等三角形拼平行四边形问题 1、如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 分别以不同的三边为对角线，则可以得到三种不同的平行四边形． 如图所示： 故选C． 2、如图，由六个全等的正三角形拼成的图，图中平行四边形的个数是（　　） A.4个 B.6个 C.8个 D.10个 【答案】B 【解析】 根据等边三角形的性质，易判定EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，然后根据平行四边形的判定求解即可． 如图，可知，EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，有ED＝EF＝AF＝AB＝BC＝CD＝GE＝GF＝GA＝GB＝GC＝GD， ∴四边形EDGF，EDCG，FGBA，GCBA，EGAF，CDGB是平行四边形，共6个． 故选：B． 3、如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出（　　）个平行四边形． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 根据等腰三角形的性质以及平行四边形的判定，可以动手拼凑，得出答案． 如图所示就是3种平行四边形， 故选：C． 4、关于用两个全等三角形拼成的四边形，有下列说法： ①一定是平行四边形； ②可能是平行四边形； ③一定不是平行四边形． 其中正确的说法是　 　． 【答案】 ②． 【解析】 当两个全等三角形是不等边三角形时，可拼成六个四边形，其中只有三个是平行四边形；当两个全等三角形是直角三角形时，可拼成的四边形是四个，其中三个是平行四边形． 两个全等三角形拼成的四边形不一定是平行四边形， 故答案为：②． 5、如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长． 【答案】 解：把相等的边靠在一起即可得到答案，有三种拼法． 有三种拼法，如图1中，两条对角线都是m； 如图2中，对角线分别为n和； 较长的对角线＝2×＝． 如图3中，对角线分别为h和； 较长的对角线＝2×＝． 6、如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由． 【答案】 解：拼成的四边形ACA′B′是平行四边形，理由如下： 方法1：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A'B'，AC＝A'C'， ∴四边形ACA′B′是平行四边形； 方法2：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AC=A′C′，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°， ∴AC∥A′C′， ∴四边形ACA′B′是平行四边形． 利用平行四边形的判定与性质求角度 1、如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　） A.65° B.60° C.50° D.40° 【答案】C 【解析】 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形对角相等即可求出∠BED的度数． 由题意得，BE＝AD， ∵AD∥BC，即AD∥BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠BED＝∠A＝50°， 故选：C． 2、在四边形ABCD中，两组对边分别相等．若∠B＝70°，则∠C的度数为（　　） A.100° B.110° C.120° D.130° 【答案】B 【解析】 由题意可得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形邻角互补即可求得答案． ∵四边形ABCD中，两组对边分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝70°， ∴∠C＝110°， 故选：B． 3、如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度． 【答案】 见试题解答内容 【解析】 由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠EDF＝∠EBF＝45°． 故答案为：45． 4、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，满足AE＝CF，且BE∥DF． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AB＝AC＝BE，∠ABE＝20°，求∠BAD的度数． 【答案】 解：1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BE∥DF． ∴∠BEF＝∠DFE， ∴∠AEB＝∠DFC， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）∵AB＝BE，∠ABE＝20°， ∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣20°）＝80°， ∵AB＝AC， ∴∠BCA＝∠BAE＝（180°﹣80°）＝50°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA＝50°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝80°+50°＝130°． 利用平行四边形的判定与性质求线段的长度 1、如图,在▱ABCD中,∠D=5∠CAB,在AC上取点P,使PC=BC,连结BP,过点P作EF⊥CD,分别交AB,CD于点E,F。已知BE=2,AE=x,BP=y,当x,y发生变化时,下列代数式值不变的是() A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2 【答案】B 【解析】 设∠CAB=α,则∠D=5∠CAB=5α。 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠D=5α,AB∥CD。 在△ABC中,∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-α-5α=180°-6α。 ∵PC=BC, ∴∠CPB=∠CBP===3α, ∴∠PBA=∠ABC-∠CBP=5α-3α=2α。 如答图,在AE上取QE=BE=2,连结PQ。 答图 ∵EF⊥CD,AB∥CD,∴EF⊥AB, ∴EF是QB的垂直平分线, ∴PQ=PB,∴∠PQB=∠PBQ=2α, ∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α, ∴∠QPA=∠CAB=α, ∴AQ=QP=BP=y。 ∵AE=x,∴AE-AQ=QE=2,即x-y=2, ∴x,y发生变化时,x-y不变。 2、如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【解析】 根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF． 在▱ABCD中，AB＝8， ∴CD＝AB＝8，AB∥CD， ∵AE＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝5， ∵CF∥DE， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC＝EF＝8， ∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3． 故选：C． 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，将AB、CD分别平移到EF和EG的位置，若AD＝4，BC＝7，则FG的长为 　 　． 【答案】 3． 【解析】 首先证明四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形，从而得AE＝BF，DE＝CG，进而得BF+CG＝AD＝4，据此可得出FG的长． 根据平移的性质得：AB∥EF，CD∥EG， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABFE，四边形DCGE均为平行四边形， ∴AE＝BF，DE＝CG， ∴BF+CG＝AE+DE＝AD＝4， ∴FC＝BC﹣（BF+CG）＝7﹣4＝3． 故答案为：3． 4、在▱ABCD中,∠ABC的平分线交直线AD于点E,AB=4,DE=1,则▱ABCD的周长为　　　　。 【答案】 14或18 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB=DC, ∴∠AEB=∠CBE。 ①当点E在线段AD上时,如答图1。 答图1 ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=4。 ∵DE=1,∴AD=5, ∴C▱ABCD=4+4+5+5=18; ②当点E在AD的延长线上时,如答图2。 答图2 同①可得AE=AB=4。 ∵DE=1,∴AD=3, ∴C▱ABCD=4+4+3+3=14。 综上所述,▱ABCD的周长为14或18。 5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝5，求EG的长． 【答案】 解：（1）证明：∵EF∥AD， ∴∠FEC＝∠ADC， 又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD， ∴△FCE≌△ACD（ASA）， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形； （2）如图， 由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形， ∴DF＝AE＝5， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD＝2， ∴CE＝CD＝2， ∴DE＝2CD＝4， ∵EF∥AD， ∴EF⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴EF＝＝＝3， ∵EG⊥DF， ∴S△DEF＝DF•EG＝DE•EF， ∴EG＝＝＝， 即EG的长为． 6、在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2． ①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长； ②求证：CD＝CH． 【答案】 解：（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴DF＝BE且DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4， ∴EN＝CN＝2， ∴DN＝＝＝4， ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝4， ∴BE＝BN﹣EN＝4， ②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE， ∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG， ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN， ∴∠ECG＝∠CDN， ∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH． 平行四边形的判定与性质的实际应用 1、如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　） A.红花、绿花种植面积一定相等 B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.绿花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【解析】 根据平行四边形的性质可知GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得S黄＝S蓝，S绿＝S红，S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝），根据等量相减原理知S紫＝S橙，依此就可找出题中说法错误的． ∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD ∴GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形， ∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二， 得S黄＝S蓝，（故D正确） S绿＝S红，（故A正确） S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝）， 根据等量相减原理知S紫＝S橙，（故B正确） S绿与S蓝显然不相等．（故C错误） 故选：C． 2、小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　） A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C 【解析】 确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． ∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：C． 3、生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠BAD＝140°，则∠BCD的度数为（　　） A.40° B.100° C.120° D.140° 【答案】D 【解析】 根据平行四边形的对角相等解答即可． ∵四边形ABCD为平行四边形． ∴∠BCD＝∠BAD＝140°， 故选：D． 4、如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】 (1)2；(2). 【解析】 （1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可；（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． （1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 5、如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画        个平行四边形． 【答案】 4 【解析】 根据平行四边形的判定画出图形即可． 如图，四边形ABCD即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 6、如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B⇒A⇒E⇒F；乙乘2路车，路线是B⇒D⇒C⇒F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由． 【答案】 解：可以同时到达．理由如下： ∵BA∥DE，AE∥DB， ∴四边形ABDE为平行四边形， ∴AB＝DE，AE＝BD， ∵F是CE的中点， ∴EF＝FC， ∵EC⊥BC，AF∥BC， ∴AF⊥CE， 即AF垂直平分CE， ∴DE＝DC，即AB＝DC， ∴AB+AE+EF＝DC+BD+CF， ∴二人同时到达F站． 学科网（北京）股份有限公司 $