第18章勾股定理及其逆定理 期末综合复习训练题 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理及逆定理的概念辨析、计算应用与实际问题解决，覆盖多情境题型，逻辑链清晰 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选1-2、填空8-10|直角三角形判定、勾股数识别、数轴表示|从逆定理判定到勾股数本质，构建概念认知框架，发展抽象能力与几何直观| |技能应用|单选3-7、填空11-13|面积计算、最短路径（长方体/圆柱）、古代数学问题|结合图形转化（展开/构造），强化运算能力，体现空间观念与应用意识| |综合拓展|解答15-20|方程与勾股定理结合、实际情境（噪声/云梯）、几何构造|从代数推理到跨知识综合，渗透推理意识与模型观念，对接中考命题趋势|

2025-2026学年沪科版八年级数学下册《第18章勾股定理及其逆定理》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．在中，的对边分别是下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，9 3．如图，在中，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 5．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 7．如图，波平如镜一湖面，尺高处出红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处 尺远，花贴湖面像睡莲．请君动脑想一想，湖水在此深（     ）尺 A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，数轴上点表示的实数是___________． 9．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 10．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作了三个正方形，其中数字表示该正方形的面积，那么正方形A的面积是___________． 11．如图，长方体的所有棱长和为，长、宽、高的比为，若一只蚂蚁从顶点沿长方体表面爬行到顶点，最短的路程是_______ ． 12．为筹备文化艺术节，同学们设计了一个圆柱形灯罩来装饰会场，如图所示：已知圆柱的高为，其底面圆的周长为，过点A和点O沿圆柱外壁缠绕一圈红丝线，裁剪的红丝线的长度至少为______． 13．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 14．如图，在中，，，，点D是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接．若，则的长为________． 三、解答题 15．在中，． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 16．某小区临街的拐角处有一块四边形空地（如图），物业准备进行绿化．经测量，，，若绿化的费用为120元，则绿化这片区域需要多少钱？ 17．已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 18．如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 19．某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 20．如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有．    (1)如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． (2)如图2，连接，若的值为　 　． (3)运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 参考答案 1．解：∵， ． 是直角三角形． 故A选项不符合题意； ， 即， 是直角三角形． 故B选项不符合题意； ，， ，， 是直角三角形． 故C选项不符合题意； ∵，， ∴最大角， 不是直角三角形， 故D选项符合题意； 故选：D． 2．解：A选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； B选项，，， ，且3，4，5均为正整数，是勾股数，符合题意； C选项，，， ，不是勾股数，不符合题意； D选项，，， ，不是勾股数，不符合题意． 3．解：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴的面积是． 4．解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 5．解：由题意得，两船航行2小时后，甲船行驶路程为海里，乙船行驶路程为海里， ∵， ∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为， 已知甲船航向为北偏东，计算得，分两种情况： 乙船航行方向为北偏西或乙船航行方向为南偏东； 因此乙船的航向为南偏东或北偏西． 6．解：由折叠可知，， ∵点 ，点 ， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴的坐标为． 7．解：设水深尺， 则， ∵在中，， ∴， 解得：． 8．解：由图可知，两直角边长度为1和2， ∴斜边长度为：， ∵点在负半轴， ∴数轴上点表示的实数是． 9．解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴． 10．解：如图， 由勾股定理得，， ∴， ∴正方形A的面积， 故答案为：360． 11．解：∵所有棱长和为，一组长、宽、高的和为， 又∵长、宽、高的比为 ∴长方体的长为，宽为，高为 蚂蚁有三种爬法： 如图1：蚂蚁爬行的路径 如图2：蚂蚁爬行的路径 如图3：蚂蚁爬行的路径 ∵ ∴蚂蚁从爬到最短的距离是． 12．解：圆柱的侧面展开图如图所示： 由题意可知，，， 在直角中，， 由“两点之间，线段最短”可知，即为最短路径， ∴裁剪的红丝线至少． 13．解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 14．解：作于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（1）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴． 16．解：如图，连接AC． ， ． ， ． 是直角三角形，且． ， （元）． 答：绿化这片区域需要28080元． 17．（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 18．（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 19．（1）证明：依题得：，， ， 即， ； （2）解：作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响； （3）解：如图，当时，正好影响教学楼， 中，， ， 同理可得， ， 货车的速度为， 货车影响教学楼持续的时间为． 20．（1）解：，理由如下： ∵和都为等腰直角三角形， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接交于点O，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （3）解：在的外侧作，使，连接，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，米， 由勾股定理，得， ∵米， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $