精品解析：2026年河北邯郸市永年区第五中学中考二模数学试题

2026年河北省邯郸市永年区第五中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ） A. B. C. D. 3. 血小板是人体内最小的细胞碎片，负责止血和凝血．某人的血小板直径约2.6微米，相当于0.0000026米，数据0.0000026用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了5次百米测试，每人成绩的平均数（单位：秒）和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 11.6 11.6 12.6 12.6 方差 0.32 0.18 0.2 0.25 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入方程②，得到结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 如图，在中，与交于点，点为的中点．若，对角线，面积为24，则的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 9. 崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸（单位：mm）如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：）为（ ） A. B. C. D. 10. 【原创新考向题】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将6个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 11. 对于二次函数，定义函数是它的相关函数，若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，菱形中，与交于点，，以为圆心为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧分别交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：8－2x2＝_____． 14. 如图，在正边形中，，则的值是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数的图象经过两点，若点的横坐标为2，则的值为_______． 16. 已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，． （1）________； （2）若为的中点，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，． （1）求p，并化简q； （2）比较p和q的大小，并说明理由． 18. 一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为A，B，C，然后在黑板上写了一个等式：为常数 （1）求m，n的值； （2）当x为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人活动小组的人数大于 19. 如图，在矩形中，，点是边上一点，连接CE． （1）尺规作图：在边上找一点，使得点到点，的距离相等（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（）的条件下，连接，若，，求的长． 20. 为响应校园科技节“AI赋能创意未来”的主题，某校举办了AI创意编程挑战赛，甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛从创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），每项均有5位评委打分，取5位评委打分的平均数作为该项的最终成绩．现将部分数据整理、分析如下． 两位同学三项得分统计表 成绩/分 创意设计 代码实现 答辩展示 甲 8 8 乙 7.6 9 7 根据上述信息，解答下列问题： （1）的值是______； （2）有人认为“乙同学创意设计得分中有2个满分，因此乙同学的创意设计更能获得评委的认可”，你同意这种说法吗？并说明理由（写出一条即可）； （3）如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 21. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 22. 【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），称函数为一次函数的关联函数． 【理解运用】 （1）例如：一次函数的关联函数为 若点在一次函数的关联函数的图象上，则m的值为________． （2）已知一次函数，我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数的图象与性质进行探究．下面是嘉嘉的探究过程： ①填表： x … 0 1 2 … y … … ②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的关联函数的图象； ③若，则y的取值范围为________． 23. 【问题提出】 （1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省邯郸市永年区第五中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据定义直接推导即可得到结果． 【详解】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， 给定数为，改变符号后为， 的相反数是 ， 故选：C． 2. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 根据三视图的定义逐项分析即可． 【详解】A．左视图不符合题意，故不正确； B．俯视图与左视图与题意不符，故不正确； C．符合题意，正确； D．俯视图不符合题意，故不正确． 故选C． 3. 血小板是人体内最小的细胞碎片，负责止血和凝血．某人的血小板直径约2.6微米，相当于0.0000026米，数据0.0000026用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法表示绝对值小于1的数的形式为，要求满足，为原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】∵ 左起第一个非零数字为，前面共有个零，且 ，符合科学记数法要求， ∴， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式乘法、单项式乘多项式、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐一验证选项即可. 【详解】解：.，原计算正确，符合题意； .， 原计算错误，不符合题意； .，原计算错误，不符合题意； .，原计算错误，不符合题意. 5. 某校为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了5次百米测试，每人成绩的平均数（单位：秒）和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 11.6 11.6 12.6 12.6 方差 0.32 0.18 0.2 0.25 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】百米成绩中平均用时越短说明成绩越优秀，方差越小说明成绩越稳定，根据两个统计量的意义筛选即可． 【详解】解：∵百米测试中，平均用时越短，成绩越优秀，观察表格可得，甲、乙的平均数为，小于丙、丁的平均数， ∴先排除丙、丁，在甲、乙中选择． ∵方差越小，成绩越稳定， 甲的方差为，乙的方差为，且， ∴在甲、乙两人成绩同样优秀的情况下，乙的成绩更稳定，故乙的成绩优秀且稳定． ∴选择乙选手代表学校参赛． 6. 用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入方程②，得到结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程组利用代入消元法变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：用代入法解二元一次方程组时，将方程①代入方程②，得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先求出Δ的值，进而可得出结论． 【详解】解：关于x的一元二次方程中， ∵二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 8. 如图，在中，与交于点，点为的中点．若，对角线，面积为24，则的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，根据平行四边形的性质得出，根据三角形的中位线定理得出，结合已知可得出，则是菱形，根据菱形的面积可求出，进而求出，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵面积为24，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴菱形的周长为． 9. 崇宁通宝是北宋时期的钱币如图①，其形状可抽象为一个带正方形孔的圆形几何模型，部分尺寸（单位：mm）如图②所示，这枚古钱币实体部分的面积（单位：）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ∴， ∴， 圆的面积为， 正方形的面积为， 古钱币实体部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积，即． 10. 【原创新考向题】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将6个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列代数式，画出相应图形，得到一定个数圆环长度和的规律，进而得到6个圆环的长度即可． 【详解】解：如图：当圆环个数为3个时，链长为：厘米， 当圆环个数为6时，链长为厘米， 故答案选：A． 11. 对于二次函数，定义函数是它的相关函数，若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好有两个公共点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，分两种情况解答：一次函数分别与，相交一点；一次函数与有两个交点，与不相交 ；求出的取值范围，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，二次函数的相关函数为 当时，二次函数的相关函数为， ∴二次函数的相关函数为， 二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线, 当时，随的增大而减小，当 时，随的增大而增大； 二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而减小； 一次函数与轴的交点为 一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况： 一次函数分别与，相交一点， 则有， 解得； 一次函数与有两个交点，与不相交 ， 则有， 解得， 且， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或， ∴的值可能是， 故选：D． 12. 如图，菱形中，与交于点，，以为圆心为半径作弧，再以为圆心，为半径作弧分别交于点，于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、扇形的面积公式、等边三角形的判定及性质，根据菱形的性质得出，，， ，求出和的长，再求出扇形的面积和的面积，即可求出答案．理解阴影部分的面积为是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：8－2x2＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式2后再利用平方差公式因式分解即可 【详解】 故答案为： 考点：分解因式. 14. 如图，在正边形中，，则的值是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，求出的值即可． 【详解】解：如图，点为正边形的外接圆的圆心，连接， 则：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，反比例函数的图象经过两点，若点的横坐标为2，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．过点作轴的平行线，交轴于点，过点作的垂线，交于点，证明，求得，得到，求得，，根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作的垂线，交于点， ∵点的横坐标为2， ∴，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∵，都在反比例函数的图象上， ∴， 整理得， 解得（舍去负值）， ∴， 故答案为：． 16. 已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，． （1）________； （2）若为的中点，则的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质和折叠性质可得，，利用证明，得出，结合即可求解． （2）设，则，，在中利用勾股定理求出与的关系，进而求出与的比值，利用同高三角形面积比等于底边比求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形 ， 将沿对折至 ，，， ， 在和中 （2）为的中点 设，由（1）知 ， 在中，由勾股定理得 即 整理得 解得 ，， 与同高，底边分别为和 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，． （1）求p，并化简q； （2）比较p和q的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 由（1）可知：， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据有理数的运算及二次根式的性质可进行求解； （2）根据二次根式的大小比较可进行求解． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 略 18. 一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为A，B，C，然后在黑板上写了一个等式：为常数 （1）求m，n的值； （2）当x为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人活动小组的人数大于 【答案】（1）3； （2）5个 【解析】 【分析】（1）先根据，将与相乘展开，得到关于的多项式，因为该多项式与是同一个多项式，所以对应项的系数相等，据此列方程求解、的值． （2）把求得的、代入和的表达式，再代入进行化简，将结果整理为常数与含的整式的乘积形式，结合为任意正整数时结果都能被人数整除，确定大于1的公因数即为活动小组人数． 【小问1详解】 解：已知， 代入，，， ∴ ， ∴ ， ∴， 解得：． 【小问2详解】 由（1）得，， ∴， ∵是任意正整数， ∴是正整数， ∴对任意正整数都能被整除， 结合活动人数大于1，可得这个活动小组的人数为． 19. 如图，在矩形中，，点是边上一点，连接CE． （1）尺规作图：在边上找一点，使得点到点，的距离相等（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）． 【解析】 【分析】（）作垂直平分线即可； （）连接，由矩形性质可得，，由勾股定理得，设，则，，再通过勾股定理得，然后求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∴． 20. 为响应校园科技节“AI赋能创意未来”的主题，某校举办了AI创意编程挑战赛，甲、乙两位同学进入最终决赛．决赛从创意设计、代码实现、答辩展示三项进行评分（每项满分均为10分），每项均有5位评委打分，取5位评委打分的平均数作为该项的最终成绩．现将部分数据整理、分析如下． 两位同学三项得分统计表 成绩/分 创意设计 代码实现 答辩展示 甲 8 8 乙 7.6 9 7 根据上述信息，解答下列问题： （1）的值是______； （2）有人认为“乙同学创意设计得分中有2个满分，因此乙同学的创意设计更能获得评委的认可”，你同意这种说法吗？并说明理由（写出一条即可）； （3）如果将创意设计、代码实现、答辩展示三项成绩按照的比例计算最终决赛成绩，请通过计算说明哪位同学会获得第一名． 【答案】（1） （2）不认同．理由：从中位数的角度看，甲同学创意设计得分的中位数为分，高于乙同学得分的中位数分，所以甲同学的创意设计更能获得评委的认可 （3）甲会获得第一名 说明：甲同学的最终成绩为（分）， 乙同学的最终成绩为（分）， ， 甲会获得第一名 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 21. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点P，延长交于点Q，根据垂线的定义和三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过点E作于点G，连接，过点B作于点H，解可得，则；求出，得到，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于点G，连接，过点B作于点H， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点E到的距离约为 答：点到地面的距离约为． 22. 【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），称函数为一次函数的关联函数． 【理解运用】 （1）例如：一次函数的关联函数为 若点在一次函数的关联函数的图象上，则m的值为________． （2）已知一次函数，我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数的图象与性质进行探究．下面是嘉嘉的探究过程： ①填表： x … 0 1 2 … y … … ②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的关联函数的图象； ③若，则y的取值范围为________． 【答案】（1）5 （2）①2；-1；2；5； ② ③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系和一次函数图像上点的坐标特征．正确的理解题意是解题的关键． （1）注意的取值范围，将代入即可求解； （2）①注意的取值范围，将表格内的值分别代入，求出的值填入即可； ②将①中得出的点坐标在平面直角坐标系中画出，然后连接即可； ③分别求出，，时，的值，结合图形即可求得对应的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得一次函数的关联函数为， 点在一次函数的关联函数的图象上，且， 把代入， 解得：， 故答案为：5． 【小问2详解】 解：① x … 0 1 2 … y … 5 2 2 5 … ②略 ③当时， ； 当时， ； 时， 当时， ； 时，， 时，． 故答案为：． 23. 【问题提出】 （1）如图1，点为的边上一点，连接，若的面积为4，则的面积为______； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，在射线和射线上分别取点，使得，连接相交于点，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某社区的一块空地，经测量，米，．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线上取一点，沿修两条小路，并在小路上取点，将段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，，为了节省铺设成本，要求休闲通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）；（3）存在，最小值为米 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质得到，即可得到的面积； （2）证明，进一步得到，则证明点P在矩形内部以为直径的上运动，连接， 交于点，进一求出，则，由，即可得到的最小值； （3）证明得到，则，再证明得到，证明点H在的劣弧上运动，求得，进一步求得米，勾股定理可得米，记与相交于点，则米，求出米，由米，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：5 （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴点P在矩形内部以为直径的上运动， 连接， 交于点， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴当点P在点的位置时，取得最小值，最小值； （3）连接，作的外接圆，连接，如图3， ∵四边形是菱形， ∴米，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴点H在的劣弧上运动， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 在中，米，，过点O作于点M，如图， 则米， ∴米， ∴米， ∴米， 记与相交于点，则米， ∴米， ∵米， ∴的最小值为的长，即的最小值为米 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、特殊平行四边形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线是解题的关键． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 【答案】（1），； （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得； （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：， 又∵， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小； ∵直线与直线垂直，故设直线的解析式为， 将代入解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是直线和抛物线的交点， 令，解得：，（舍去）， 故点的坐标为， ∴， ∵点是直线和直线m的交点， 令，解得：， 故点的坐标为， ∴， ． 即的最小值为． 【小问4详解】 解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图： ∵点的坐标为，准线， ∴点的横坐标为，代入解得， 即，， 则的面积为． 【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $