精品解析：2025河北邯郸永年中考数学二模试卷　

邯郸市永年区等五县（区）初三二模数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题.每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算，则“”表示的数是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，为数轴上的两个点，分别表示的数为和0.5，则数轴上在点，之间表示整数的点有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 5. 下列选项都是由相同小正方体组合而成的图形，能成功填入下图中并使之成为长方体的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，一定不可能经过点的是（ ） A. 边的中线 B. 边的垂线 C. 边的平行线 D. 边的垂直平分线 8. 若是一元二次方程（为常数）的一个根，则这个方程的另一个根为（ ） A. B. 6 C. 1 D. 4 9. 宋元时期朱世述所著的《四元宝鉴》中记载了一则李白沽酒的数学故事：李白提着酒壶去沽酒，他每遇到一个店，就把壶中的酒加上1倍，每见一次花，来了诗兴，就喝1斗酒．就这样三次遇上店和花，壶中的酒便喝光了，求壶中原有多少酒？设壶中原有斗酒，可以列得方程（ ） A. B. C. D. 10. 在中，点，分别是，的中点，点在上（不与点，重合），连接，按如图的方式操作： ①沿和剪开； ②将绕点逆时针旋转，使点，重合； ③将绕点顺时针旋转，使点，重合； ④得到四边形． 下列条件能使四边形是矩形的条件是（ ） A. 平分 B. C. 平分 D. 11. 图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 12. 在正六边形中，点是的中点，连接，，若图中阴影部分的面积为，如下结论： 结论一：． 结论二：． 下列判断正确的是（ ） A. 结论一正确，结论二不正确 B. 结论一不正确，结论二正确 C. 结论一正确，结论二正确 D. 结论一不正确，结论二不正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知反比例函数在时，y的值随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为_______． 14. 根据图中的天平所示，可知________50．（填“”“”或“”） 15. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是_______． 16. 如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再沿折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点，与相交于点，再次展平，连接，，延长交于点．若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共2分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设是“3，，”的和． （1）若，求的值； （2）若大于，求的最大整数解． 18. 已知，． （1）若无论取何值时都不含的一次项，求的值； （2）当时，求（1）中的值． 19. 如图，，，． （1）尺规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 20. 某县教育部门为了解各校学生每日体育活动时间情况，随机抽取了部分学校七年级学生，对样本中学生每日体育活动时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的统计图（如图）表： 分组 A B C D 时间段/小时 组中值 2.6 3 3.4 【阅读】数据分组后，一个小组的两个端点数的平均数，叫做这个小组的组中值，用各组组中值乘以相应小组的频数，加起来除以数据个数，可以估计总体的平均数． 请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）________，________； 样本数据的中位数落在________小组中；（填“A”、“B”、“C”、“D”） （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）使用组中值法估计该地区七年级学生平均每日体育活动时间． 21. 如图是某跨江大桥段抽象出的竖直截面图． 【测量】从点处测得支架顶端的仰角为，从点处测得支架顶端的仰角为，支架的竖直高度为202米． 【计算】求的长． 【应用】通过该桥的限速标准为22米/秒，一辆汽车用时36秒通过路段，通过计算判断这辆汽车是否超速？ （结果精确到1米，参考数据：，） 22. 一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示： 甲品牌 乙品牌 进价（元/件） 60 56 售价（元/件） 80 72 设购进甲品牌书包个，销售完这80个书包所获得的总利润是元． （1）求与的函数关系式； （2）该文具店是否会获得利润1406元？说明理由； （3）若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． （1）求的半径； （2）求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）； （3）直接写出阴影部分的面积．（结果保留） 24. 如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标； （2）求点，的坐标及直线的函数表达式； （3）如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市永年区等五县（区）初三二模数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题.每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 为了解某种盒装茶叶的质量（单位：）情况，质检员抽样监测了其中4盒茶叶．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，求出所有检验结果的绝对值，绝对值最小的就是最接近标准质量的，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 2. 计算，则“”表示的数是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：， “？”表示的数是2， 故选：A． 3. 如图是篱笆围栏抽象出几何图形的一部分，则下列条件中能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：由，，不能判定其中的两条直线平行， ， ， 由，能判定另一组直线平行，不能判定， 故选：C． 4. 如图，点，为数轴上的两个点，分别表示的数为和0.5，则数轴上在点，之间表示整数的点有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了实数与数轴、无理数的估算等知识，求出，是解本题的关键．先估算出，判断出A、B两点之间表示的整数的点共有多少个即可． 【详解】解：， ∴在和0.5之间共有，，0共3个整数， 故选：B． 5. 下列选项都是由相同小正方体组合而成的图形，能成功填入下图中并使之成为长方体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力．根据图形的特点可知，先观察题目中的几何体缺少的小正方体，再从选项中选择，使之成为长方体． 【详解】解：只有选项D能够成功填入所缺， 故选：D． 6. 如图是一个正确的运算过程，但有一个算式被遮挡了，则被遮挡的算式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解决本题的关键． 由题意列出盖住部分的代数式，然后进行计算即可． 【详解】解：， 故选C． 7. 如图，在中，，一定不可能经过点的是（ ） A. 边的中线 B. 边的垂线 C. 边的平行线 D. 边的垂直平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等判断即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 边的垂直平分线一定不经过点， 故选：D． 8. 若是一元二次方程（为常数）的一个根，则这个方程的另一个根为（ ） A. B. 6 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解． 此题也可先将代入方程中，求出k的值，再将k代入原方程，求方程的另一根，即可解答． 【详解】解：将是一元二次方程得 ， 解得， ∴原方程可化为， 解得 则另一个根为． 故选：A． 9. 宋元时期朱世述所著的《四元宝鉴》中记载了一则李白沽酒的数学故事：李白提着酒壶去沽酒，他每遇到一个店，就把壶中的酒加上1倍，每见一次花，来了诗兴，就喝1斗酒．就这样三次遇上店和花，壶中的酒便喝光了，求壶中原有多少酒？设壶中原有斗酒，可以列得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设壶中原有斗酒，根据壶中酒的数量列出方程即可． 【详解】解：设壶中原有斗酒，根据题意得， ， 故选：B． 10. 在中，点，分别是，的中点，点在上（不与点，重合），连接，按如图的方式操作： ①沿和剪开； ②将绕点逆时针旋转，使点，重合； ③将绕点顺时针旋转，使点，重合； ④得到四边形． 下列条件能使四边形是矩形的条件是（ ） A. 平分 B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，三角形的中位线的性质，由旋转可得，证明，，可得，结合三角形的中位线的性质可得，可得四边形是平行四边形，进一步可得答案． 【详解】解：当点不与点，重合时，将绕点逆时针旋转，使点，重合， ∴， ． 同理可得． ∴．且，，，，共线． 点，分别是，的中点， ． 四边形是平行四边形， 当时， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：B． 11. 图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对日历中数字规律的观察与应用，以及整式的加减运算和倍数的判断．准确把握日历数字的排列规律是解题的关键．本题通过观察日历表中数字的排列规律，以位置2上的数字为基础，分别分析其余位置数字与x的关系．再将四个位置数字相加，判断其是否为4的倍数，从而确定每个结论的正确性． 【详解】解：设位置2上的数字为x， 则位置1上的数字为；故①错误， 位置4上的数字为，故②正确， 位置3上的数字为；故③错误， 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故④正确． 故选：B． 12. 在正六边形中，点是的中点，连接，，若图中阴影部分的面积为，如下结论： 结论一：． 结论二：． 下列判断正确的是（ ） A. 结论一正确，结论二不正确 B. 结论一不正确，结论二正确 C. 结论一正确，结论二正确 D. 结论一不正确，结论二不正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，解直角三角形，勾股定理，设正六边形的中心为点，连接，，，过点作于，求得的长，利用勾股定理求得，利用三角形面积公式可得的长，解直角三角形即可求得的正弦值，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接，，，过点作于， 设正六边形的边长为， 可得， 多边形是正六边形， ，，， ， ， ，， ，， ， ． ，， ． ， ， 的面积的面积， （负值舍去）， ， ，故结论二不正确． 如图，过点作于点，连接， 同上述原理可得,， ，， ， ， ， ， ， ，， 故结论一不正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知反比例函数在时，y的值随x的增大而减小，写出一个符合条件的k的值为_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，反比例函数图象在第一、三象限内，在每一象限内随的增大而减小是解决问题的关键． 先根据反比例函数的性质判断出k的符号，再写出符合条件的k的值即可． 【详解】解：∵反比例函数在时，y的值随x的增大而减小， ∴， ∴一个符合条件的k的值为1． 故答案为：1（答案不唯一） 14. 根据图中的天平所示，可知________50．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据题意可得，得到答案． 【详解】解：根据题意可得，即， 故答案为：． 15. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，根据题意列出所有情况，然后用符合题意的情况数除以所有等可能发生的情况数即可．解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 【详解】解：一共有6种情况发生： 1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》； 2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》； 3、《射雕英雄传：侠之大者》《熊出没：重启未来》； 4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》； 5、《封神第二部：战火西岐》《熊出没：重启未来》； 6、《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》； 其中有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：． 16. 如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再沿折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点，与相交于点，再次展平，连接，，延长交于点．若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，根据等边三角形的性质得到；点是的中点，根据折叠可知点和点关于对称可得，因此与重合时，，据此求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，折痕为， 垂直平分， ， 过点折叠矩形纸片，使点落在上的点， ， ． 为等边三角形． ， 点是的中点，点为中点， 由折叠可知：点和点关于对称， ， 与重合时，的值最小，此时， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何变换综合问题，折叠的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的性质、轴对称最短问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共2分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设是“3，，”的和． （1）若，求的值； （2）若大于，求的最大整数解． 【答案】（1）2 （2）的最大整数解为2 【解析】 【分析】（1）先根据题意构造等式，后转化为求函数值即可； （2）根据且大于，构造不等式解答即可． 本题考查了一次函数的表达式，求函数值，解不等式，熟练掌握解题的基本方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 当时，． 【小问2详解】 解：根据题意，得且大于， 故． 解得． 故的最大整数解为2． 18. 已知，． （1）若无论取何值时都不含的一次项，求的值； （2）当时，求（1）中的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减运算、合并同类项以及代数式求值．整式加减运算中合并同类项是关键步骤，而对于不含某一项即该项系数为这一概念的运用是解题的重要依据．在准确对进行整式运算并合并同类项，然后根据不含一次项得出一次项系数为的方程求解及正确将值代入并化简，再代入的值进行准确计算是解题的关键． （1）本题需先对进行整式的化简运算，得到一个关于的多项式．由于要求无论取何值时该式都不含的一次项，所以一次项系数必须为，据此建立方程求解的值． （2）在（1）中已求得的值，将其代入化简后的式子，得到一个关于的表达式．再将代入该表达式，通过计算得出的值． 【小问1详解】 解： ． 无论取何值时都不含的一次项， ． ． 【小问2详解】 解：当时，． 当时，． 19. 如图，，，． （1）尺规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——过直线外一点作线段的垂线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． （1）利用基本的尺规作图步骤进行作图即可； （2）根据角角边即可证明两直角三角形全等，根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：尺规作图如下： 【小问2详解】 证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 20. 某县教育部门为了解各校学生每日体育活动时间情况，随机抽取了部分学校七年级学生，对样本中学生每日体育活动时间进行了调查．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的统计图（如图）表： 分组 A B C D 时间段/小时 组中值 2.6 3 3.4 【阅读】数据分组后，一个小组的两个端点数的平均数，叫做这个小组的组中值，用各组组中值乘以相应小组的频数，加起来除以数据个数，可以估计总体的平均数． 请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）________，________； 样本数据的中位数落在________小组中；（填“A”、“B”、“C”、“D”） （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）使用组中值法估计该地区七年级学生平均每日体育活动时间． 【答案】（1）2.2，28，B （2）补全条形图如下： （3）估计该地区七年级学生平均每日体育活动时间约为2.76小时 【解析】 【分析】（1）求需依据组中值定义，即小组两端点数的平均数来计算组组中值；先求出总人数，再求出D组百分比，求要利用扇形统计图各部分百分比之和为，减去已知组百分比得到组百分比进而确定；确定中位数所在组，先由组人数及占比求出总人数，再依据中位数定义（数据个数奇偶性判断）结合各小组人数确定． （2）根据总人数和组百分比求出组人数，再在频数分布直方图中绘制对应直条． （3）运用组中值法求平均数公式，找出各小组组中值与频数，代入计算得出平均每日体育活动时间． 【小问1详解】 解：组时间段为， 根据组中值定义，． ∵组人数为人，占比， ∴总人数为人， ∴D组所占百分比， ∵组占，组占，扇形统计图各部分百分比之和为， 可得组所占百分比， ∴． ∵组人数为人，组人数为人，组人数为人．将数据从小到大排列，前两组、人数和为人，， ∴中位数落在组． 【小问2详解】 解：人， 人． 图略； 【小问3详解】 解：（小时）． 答：估计该地区七年级学生平均每日体育活动时间约为2.76小时． 【点睛】本题主要考查统计图表相关知识，包括组中值概念及计算、扇形统计图百分比计算、频数分布直方图绘制与完善，以及利用组中值法求平均数．解题的关键在于理解各统计概念的内涵，把握统计图表间的数据关联，通过合理计算和分析得出结果． 21. 如图是某跨江大桥段抽象出的竖直截面图． 【测量】从点处测得支架顶端的仰角为，从点处测得支架顶端的仰角为，支架的竖直高度为202米． 【计算】求的长． 【应用】通过该桥的限速标准为22米/秒，一辆汽车用时36秒通过路段，通过计算判断这辆汽车是否超速？ （结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】计算：米；应用：这辆汽车通过路段时没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）首先在和中，利用三角函数解得，的值，然后通过 求解即可； （2）根据“速度距离时间”计算汽车的速度，然后比较即可获得答案． 【详解】解：（1）在中，，，米， 米， 在中，，，米， 米， （米）； （2）该车用时36秒通过路段， 可求其速度为米/秒米/秒 这辆汽车通过路段时没有超速． 22. 一文具店购进甲、乙两种品牌的书包共80个，其进价与售价情况如下表所示： 甲品牌 乙品牌 进价（元/件） 60 56 售价（元/件） 80 72 设购进甲品牌书包个，销售完这80个书包所获得的总利润是元． （1）求与的函数关系式； （2）该文具店是否会获得利润1406元？说明理由； （3）若该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该文具店不会获得利润1406元 （3）当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据一次函数的性质求最大利润． （1）根据总利润与单件利润之间的关系，可得y与x的函数关系式； （2）当时，得到关于x的一元一次方程，求出x的值判断即可； （3）根据购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半，可得不等式求出x的取值范围，然后利用一次函数的增减性解答即可． 【小问1详解】 解：， 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：该文具店不会获得利润1406元．理由如下： 当时，得， 解得． 为整数， 该文具店不会获得利润1406元． 【小问3详解】 解：该文具店购进甲品牌书包的数量不超过乙品牌书包数量的一半， ． ． 在中，随的增大而增大， 为整数， 当时，该文具店获得利润最大，最大利润为1384元． 23. 如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形中，宽为，高为，点是，的交点，以点为圆心，为半径作，地面与矩形门洞对角线的夹角约为，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． （1）求的半径； （2）求改造后圆弧形门洞的高度（即弧的中点到地面的距离）； （3）直接写出阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1） （2）圆弧形门洞的拱高为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理求得矩形鄂的对角线长即可． （2）设弧的中点为，作于，利用垂径定理，三角形中位线定理，结合所求解答即可． （3）根据阴影部分的面积，依据面积计算公式解答即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ． ． 的半径为． 【小问2详解】 解：如图，设弧的中点为，作于， 由对称性可知，过圆心， 则， ， ． 圆弧形门洞的拱高为． 【小问3详解】 解：．理由如下： 的面积， ． ， ， ． ． 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，圆的性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 24. 如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标； （2）求点，的坐标及直线的函数表达式； （3）如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；顶点坐标为 （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线与轴交点，再由待定系数法求解一次函数解析式； （3）先求出翻折后的解析式，设出平移后的直线解析式，找出两个临界状态，一个是直线经过点，一个是直线与抛物线相切时，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：将代入． ， 则， 则． 抛物线解析式为 即． 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ，． 点，． 设直线的表达式为．将，点代入得 ， 解得 直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：将直线向下平移个单位所得直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得； 将抛物线位于轴上方的部分关于轴对称， 得到新的图形的解析式为． 当直线与抛物线相切时， 令， 整理得， ． 解得 当时，直线与新的图形有四个不同交点． 的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，翻折的性质，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移问题等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $