福建省福州延安中学2025-2026学年第二学期适应性训练(6月)初三数学试卷

福州延安中学2025-2026学年第二学期适应性训练（6月） 初三数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答题前，学生务必在本试卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答在本试卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．结束时，学生必须将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．是2026的（ ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．平方根 2．在福州2200年不变的城市中轴线上，一场古厝“复活计划”正在上演．最新数据显示，2026年三坊七巷、上下杭、烟台山三大历史文化街区春节七天接待游客突破145万人次，创下历史新高，冲入全国热门景区前10．这组亮眼数字背后，是福州探索出的古厝“保下来——活过来——火起来”的活化新路径．请将145万用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．某几何体的俯视图如图所示，该几何体是（ ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 4．下列运算结果不为的是（ ）． A． B． C． D． 5．将一副三角板按图中方式叠放，则等于（ ）． A． B． C． D． 6．如图，为的直径，点，是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．某篮球队16名队员的年龄情况如表，则这些队员年龄的中位数是（ ） 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 1 5 3 2 A．15 B．15.5 C．16 D．16.5 8．我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，？，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，____________，问甜果苦果各买几个？若设买甜果个，苦果个，根据题意可列方程组为，则横线上的信息为（ ） A．七文钱可以买苦果四个 B．四文钱可以买苦果七个 C．一文钱可以买苦果七个 D．一文钱可以买苦果四个 9．已知，两地相距米，甲步行沿一条笔直的公路从地出发到地，乙骑自行车比甲晚7分钟从地出发，沿同一条公路到达地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达地、甲、乙离地的距离（米）与甲行走时间（分）的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是（ ） A．10分钟 B．10.5分钟 C．11分钟 D．11.5分钟 10．若函数在的最大值是，最小值是，则（ ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 12．如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 13．一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球_______个． 14．已知是方程的解，则________． 15．已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为________． 16．用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 二、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分8分） 计算：． 18．（本小题满分8分） 已知：如图，将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得． 求证：． 19．（本小题满分8分） 先化简，再求值：，其中． 20．（本小题满分8分） 如图，是的外接圆，为直径． （1）在上求作点D，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的长． 21．（本小题满分8分） 甲、乙、丙三位同学参加学校科技节的水火箭比赛，每人独立进行一次发射．已知甲同学水火箭发射成功的概率为，乙同学水火箭发射成功的概率为，丙同学水火箭发射成功的概率为，且三人的发射结果互不影响． （1）现从三人中随机抽取两人接受赛后采访，求恰好抽中甲、乙两位同学的概率． （2）若发射成功得2分，发射失败得0分，求三位同学得分之和的平均值． 22．（本小题满分10分） 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 23．（本小题满分10分） 如图，二次函数的图象交x轴于点A，点B，交y轴于点．且a，b，c满足和，连接．点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与B，C重合）： （1）求二次函数解析式； （2）连接，，若，，求的取值范围． 24（本小题满分12分） 【背景材料】 随着我国经济迅猛发展，人民生活水平持续提升，民用汽车数量也在不断攀升．汽车数量的激增，带来了对停车位的极大需求．在设计停车位时，除了要研究停车位的情况，还要研究汽车进出停车位的通道宽度．因此，需要知道汽车如何进出停车位，即汽车转弯的运动轨迹． 如图1，车辆固定方向倒车入库时，行驶轨迹可近似视为以点为圆心、为半径的圆弧，符合圆的相关几何性质．某车型前轮最大转向角为，车辆最小转向半径满足公式（其中为车辆轴距，即车辆前后车轮轴心的水平间距，为车辆固定几何参数；为前轮最大转向角）． 如图2，建立平面直角坐标系，将停车位抽象为矩形，各顶点坐标分别为：，，，． 根据车辆转向几何特征，该车倒车圆弧轨迹的圆心在轴正半轴上，倒车行驶轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧．（参考数据：，，，，，计算结果均保留两位小数．） 【问题解决】 （1）计算该车型前轮打满方向时的最小转向半径． （2）车辆车身存在一定宽度，实际倒车入库需结合车身尺寸判断安全间距，避免车身与车位边界剐蹭．经测算，该车车身有效横向宽度为，可将车身简化为随轨迹运动的整体安全区域．请结合几何知识推理判断：车辆沿该圆弧轨迹完成右侧倒车入库时，车身是否会与车位左侧边发生剐蹭，并说明理由． （3）根据驾考安全规范，倒车过程中，车辆任意行驶点位与原点的连线和轴正半轴的锐角夹角不得小于，防止侧边压线．设车辆倒车轨迹上任意一点为． ①结合三角函数知识，推导出车辆安全入库时，点位纵坐标与横坐标的数量关系； ②判断关键点位是否满足安全入库条件，并从几何角度写出一条精准的入库优化方案． 25．（本小题满分14分） 如图1，在中，，，．作与关于直线对称，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． （1）求的值． （2）当时，求的长． （3）求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $福州延安中学2025-2026学年第二学期适应性训练（6月) 初三数学答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 题号 2 3 8 9 10 答案 A A B B 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 540 11 x≥ 7 13 12 14 -1996 5 15 4 16 二、解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分8分) 解：原式=-2+3-1=0 18.(本小题满分8分) 证：依题意得，△ABC≌△EBC≌△DCB ∴.∠ABC=∠EBC=∠DCB,BE=DC ∴.BElIDC 19.（本小题满分8分) =a-1.(a-a+=a-1.a=1 解：原式a aa(a-1)(a+1）a+1 其中a=V2-1. 1 1 a+1（W2-1+12 20.(本小题满分8分) 解：(1)如图，点D即为所求： D 百0 (2)设AC交BD于点T,过点T作TH⊥AB于点H. AB是直径， .∠ACB=90°， .AC=√AB2-BC2=V102-62=8 BD平分∠ABC,TH⊥AB,TC⊥BC, ∴.TH=TC :x6x8--x6xTC+x10xTH 1 S△ABC=S△CBT+S△ABr,2 2 ,.TH=3, AT=5,4H=4,BH=6,,BT=VBH2+TH2=V32+62=3W5 AB是直径，∴∠ADB=∠THB=90°，∠ABD=∠TBH,△ADB∽△THB, BD=AB BD=10 BH BT. 63√5..BD=4V5 21.(本小题满分8分) 【解答】(1)三人中随机抽取两人接受赛后采访，每个人抽到的可能性相等，共6种可能，其中恰好抽 中甲、乙两位同学的可能性有2种， 列表如下： 第一次 8 丙 第二次 甲 (乙，甲) (丙，甲) 乙 (甲， (丙，乙) 乙) 丙 (丙， (丙，乙) 丙) 21 P恰好抽中甲、乙两位同学)=63 (2)解法一（利用平均数的可加性）： 1 、22 x甲=2×。+0×2= 甲的平均得分： 3 33 1 1 x之=2×5+0×5=1 乙的平均得分： 2 2 2 14 x丙=2×2+0×1=兰 丙的平均得分： 3 33 2 x=甲+xZ+丙=亏+1 4234_9-3 一十 三位同学得分之和的平均值： 3 33333 故三位同学得分之和的平均值为3分， 22.(本小题满分10分) 解：(1)设售价应定为x元，则每件的利润为x-40)元，日销售量为20 10(60-=(040-2x) 20 5 件， 依题意，得：(x-40)140-2x)=(60-40)×20 整理，得：x2-110x+3000=0. 解得：=50，=60（舍去）. 答：售价应定为50元： (2)该商品需要打a折销售. 62.5x×a≤50 由题意，得， 10 解得：a≤8， 答：该商品至少需打8折销售. 23.(本小题满分10分) 3 解：(1)依题意，得2.二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(3,0), C= ·二次函数的表达式可写为y=a(x+(x-3)(a≠0) C0, 3 :点 （2 在抛物线上， a0+10-3)-2 1 解得2， “.二次函数的表达式为 2+x-=2+x+ 1 3k+n=0 c/a3) 3 设直线BC的表达式为'=c+mk≠0)，把点B(3.0)和点2代入，得：”=2 k=- 2 3 n= 解得： 2 1.3 ·直线BC的表达式为'=2x+2, y=- 过点P作PR⊥x轴于点R,交BC于点O, y R B 1 m, 3 13 m2+m+ 设点P的坐标为 2 ), 则点的坐标为02m+ 2 ~PR⊥x轴，LOCB=a,∠PBC=B .PRy轴， ∴.∠BQR=∠OCB=a ∴.a-B=∠BQR-∠PBC=∠BPR .BR=3-m. P限=2+m+ 」 n(a-=mR股品 PR 在Rt△BRP中， 22+m+ 0<m<3, :12 -<2 2m+1 .<tan(a-B)<2 5<cos(a-)<25 24.(本小题满分12分) 解：(1)将轴距L=2.4m,sin43°≈0.68代入公式： R=L=2.4 ≈3.53m sin00.68 答：该车型的最小转向半径约为3.53m. (2)车辆以半径R≈3.53m(01<R)的圆弧轨迹行驶，车辆最内侧边缘的运动轨迹半径为： r=3.53-1.8=1.73m(0D>r） 要保证车辆行驶区域与车位侧边无交集，车身不会发生刷蹭， OE>R,OF<r,OH=142+OF2>r, x-3<1.73 x>3.53 设0(x,0),则4+0F2>1.732 解得，3.60<x<4.73 综上，可取符合取值范围的x值，使得车辆行驶区域与车位左侧边无交集，车身不会发生刷蹭，可安全入 库 (3)①设连线EP与x轴正半轴的锐角为a,由题意得a≥30°， ana=y '≥tan30°=y 由锐角三角函数定义得 x,即x 3, x(x>0) 可得数量关系： 3 1.8 ②将点H(3.0,1.8)代入计算：3.0 =0.60 0.60 3,该点位满足安全入库条件. 优化方案示例：控制车辆低速平稳行驶，保持方向盘转角稳定，始终维持安全夹角范围，规避车身压线、 刷蹭风险.（表述合理即可得分） 25.(本小题满分14分) 解：(1)如图，设AC,BD交于点O :在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3, .AC=AB2 BC2 =4 tan∠BAC=BC=3 AC 4: (2)①如图，设AC,BD交于点C, ∠C=90° 0M=2AC=4,BD=24C=6,AD=AB=5, 2 :EF⊥AC,AC⊥BC, .EFI/BD ∴.∠BDE=∠FED, 由轴对称的性质可得∠AED=∠FED, .∠BDE=∠AED, ∴.BE=DB=6, .AE=AB+BE=11; (3)在Rt△DCP中，由勾股定理得PD=VCB2+CP2=VCP2+9, .FA=CA+CP=4+CP, ∴.FA-PD=4+CP-VCP2+9 CP-CP2+9CP+CP2+9 三4+ CP+CP2+9 =4+CP2-Cp2-9 CP+CP2+9 =4- CP+CP2+9, 9 =>0 CP+CP2+9 9 :要使FA-PD的值最小，则CP+VCP2+9要最大， “CP+√CP2+9要有最小值， 又：VCP2+9的值随着CP的值增大而增大， :CP+VCP2+9的值随着OP的值增大而增大， 9 :当CP有最小值时，CP+VCP2+9有最小值，即此时CP+VCP2+9有最大值. .当CP有最小值时，FA-PD有最小值： 如图所示，过点D作DH⊥AD于H,DT⊥FE于T, E D B S4cCBD:DH C.BD ·DH=2 x6×8 21 24 AB 5, .由轴对称的性质可 D7=DH= 5 在Rt△PCB中，由勾股定理得CP=VPD2-CB2=VPD2-32 .当PD有最小值时，CP有最小值， 24 DP2DT= 由垂线段最短可知 5, 24 .当点P与点T重合时，DP有最小值，最小值为5， .CP最小值 -32=3V39 5 9 3V39-4 (PA-PD)最小值=4- 339,245 55