精品解析：2026年宁夏回族自治区银川一中南薰路校区(银川第十中学)2026年九年级中考考前测试数学试题

银川一中南薰路校区（银川第十中学）2025-2026学年第二学期第三次模拟测试卷九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 2. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将5450000这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的定义，把一个数改写成的形式，其中，为整数．熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．根据科学记数法定义解题即可． 【详解】解：5450000这个数据用科学记数法表示为． 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，幂的运算法则，单项式乘以单项式运算法则以及完全平方公式进行计算，即可判断答案． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项错误，不符合题意； C、计算正确，符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意． 故选C． 4. 如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求出BD的长，然后根据中线的定义求出BC的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵AD是中线， ∴BC=2BD=8cm 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5. 将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减”的平移法则求出平移后新抛物线的解析式，再代入验证即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为： 即， 当时，， ∴抛物线不经过点与， 当时， ∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上． 6. 跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作轴于点M，过点E作轴于点N，先求出，得出，再在等边三角形中求出和，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M，过点E作轴于点N， 由题意可得、是等边三角形，是正六边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 7. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质逐项判断即可得到相关不等式的关系，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，①错误； 由图象可知，抛物线对称轴，结合①中可得，即，②正确； 如图所示： 当时，，③正确； ，， ， 由①知，则，即，则， ，即，④正确； 综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个， 故选：C． 8. 如图，在直角坐标系中，四边形为正方形，且边与轴交于点，反比例函数的图像经过点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设BM=a则CM=2a,作BH⊥y轴,AD⊥x轴,证明△OMC∽△BMH,利用三边对应成比例可求BH=,再借助求出a的值,从而求出△OMC的三边长,证明△OMC∽△OAD,求出OD、AD的值，再求出k得值． 【详解】设BM=a则CM=2a, ∴CB=CO=OA=3a, 作BH⊥y轴,AD⊥x轴 ∵∠C＝∠BHM=90°,∠CMO=∠HMB ∴△OMC∽△BMH ∴ 即 ∴HB= ∵ ∴ ∴ 解得: ∵∠COM+∠MOA=∠MOA+∠AOD ∴∠COM=∠AOD ∵∠C=∠ADO=90° ∴△OCM∽△ODA ∴ 即 ∴k=OD×AD= 故答案选：D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定以及反比例函数解析式的确定，其中相似三角形的性质及判定是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解_____ 【答案】## 【解析】 【详解】解： ． 10. 文创制作工艺在不断升级迭代，某文创工作室改进文创印章制作工艺后，每小时比原来多制作15枚印章．已知现在制作120枚印章与原来制作75枚印章所用的时间相同．设原来每小时制作枚印章，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据现在制作120枚印章与原来制作75枚印章所用的时间相同，列出方程即可. 【详解】解：设原来每小时制作枚印章，则现在每小时制作枚印章，由题意，得： . 11. 如图，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】过点M作，则，根据平行线的性质求出，，再由角的和差即可求解． 【详解】解∶过点M作， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 12. 我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】列出表格确定从五个模型中随机选取两个所有等可能的结果总数，再确定恰好选中指定两个模型的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【详解】解：记“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”分别为，列表如下： 由表格可知，一共有20种等可能的结果，其中恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的结果有2种， ∴恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的面积公式可得的长，由菱形的性质可得为的中点，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：四边形是菱形，  ，  ，，  ，  ，  ，  ， 在中，为的中点，  ． 14. 中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求扇形的面积，利用大扇形的面积减去小扇形的面积，进行求解即可．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为___________． 【答案】120 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 16. 甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象，货车出发_____h两车相距90千米． 【答案】3或5##5或3 【解析】 【分析】由图象可得，当轿车出发时，货车已经距出发地50千米，由此得出货车的速度，再求出轿车从出发到返回甲地的时间，得出轿车的速度，设货车出发n小时时，两车相距90千米，根据两车相遇前和相遇后分别列出方程，求解即可． 【详解】解：由图象可得，当轿车出发时，货车已经距出发地50千米， ∴货车的速度为（千米/时）， ∴货车从乙地到甲地需要时间为（小时）， ∴轿车从出发到返回到甲地的时间为（小时）， ∴轿车的速度为（千米/时）． 设货车出发n小时时，两车相距90千米， 在两车相遇前，则， 解得； 在两车相遇后，则， 解得， ∴货车出发3小时或5小时，两车相距90千米． 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24每题8分，25、26每题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算绝对值，代入特殊角的三角函数值，再分别计算负整数指数幂和零指数幂，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 解分式方程：． 【答案】原方程无解． 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 实践探究：某校数学研学小组开展城市设施测高实践活动，测量太原市一座供水水塔的高度，并采用无人机采集相关数据． 数据采集：如图是测量的示意图，点表示水塔的顶部，点表示水塔的底部，为水塔的垂直高度．无人机从水塔一侧飞行至点处时，测得点的仰角为，测得点的俯角为，无人机沿水平方向飞行至点处，在处测得点的仰角为．数据应用：图中各点均在同一竖直平面内，计算水塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查外角和定理，等腰三角形性质，内角和定理，含角三角形三边关系，解三角形等．根据题意延长交于，后利用外角和定理可得，即，继而利用含角三角形三边关系可得，再利用三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：延长交于， ， ∵无人机从水塔一侧飞行至点处时，测得点的仰角为，测得点的俯角为， ∴，，， ∵在处测得点的仰角为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵无人机沿水平方向飞行至点处， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 20. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整；本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度； （3）该校共有1560名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？ （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1）1，； 补全的条形统计图如图所示： （2）； （3）78人； （4）． 【解析】 【分析】（1）用“3部”人数除以对应的百分比即可求得本次调查的总人数，利用本次调查的总人数减去其余各部人数，即可得到“2部”人数，补全条形统计图，再根据众数，中位数概念求解即可； （2）根据条形统计图得到“4部”人数所占比例，用乘以“4部”人数所占比例即可； （3）根据调查人数中没有读过四大名著的学生所占比乘以总人数1560即可解题； （4）利用列表法或树状图法得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题知，（人）， （人）， 图略； 本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（部）； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校没有读过四大名著的学生有人。 【小问4详解】 解：《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，树状图如下图所示： 由图知，一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种， ∴他们恰好选中同一名著的概率． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用、中位数、众数、用样本估计总体、利用树状图求概率等知识点，读懂统计图、从统计图中得到必要的信息是解题的关键． 21. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A落在格点上，点B，点C均在网格线上，△ABC的外接圆交网格线于点D，△ABC的外接圆的圆心为O． （Ⅰ）BC为⊙O的 _____； （Ⅱ）⊙O上有一点P，连接DP，满足DP=AD，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） _____． 【答案】 ①. 直径 ②. 作图见解析；取格点A，E，F，连接AE，AF交⊙O于点M，N，连接MN交BC于点O，连接AO并延长交⊙O于点H，延长AD交网格线于点Q，连接HQ交⊙O于点P，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据90°圆周角所对的弦是圆的直径，即可求解； （2）取格点A，E，F，连接AE，AF交⊙O于点M，N，连接MN交BC于点O，连接AO并延长交⊙O于点H，延长AD交网格线于点Q，连接HQ交⊙O于点P，点P即为所求． 【详解】（1）∵∠CAB=90°， ∴BC为⊙O的直径， 故答案为 直径； （2）如图，取格点A，E，F，连接AE，AF交⊙O于点M，N，连接MN交BC于点O，连接AO并延长交⊙O于点H，延长AD交网格线于点Q，连接HQ交⊙O于点P，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】（1）甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． 【小问2详解】 解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 23. 如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求线段的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求直线解析式，代入得点坐标，再代入反比例函数即可求解析式； （2）由垂线段最短可知时最小，此时为斜边上的高，用等积法即可求此时长． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴把代入，得： ， ∴点坐标为， 把代入，得： ， 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由“垂线段最短”可知：当时，最小，如图， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， 解得， 即线段的最小值为． 24. 如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M． （1）求证：平分； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得⊥EF，由 得OD⊥BC，由垂径定理得，进而即可得出结论； （2）由平行线分线段定理得，再证明，可得BD=2 ，最后证明,进而即可求解． 【小问1详解】 证明：连接交于点H. ∵与相切于点D ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 即平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ， ∴（负值舍去）， ∴ 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键． 25. 如图1，已知点为正方形内的一点，连接.将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，. （1）【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是_______；直线与的位置关系是_______． （2）【问题探究】 如图2，点为正方形外的一点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接、，交于点，交与点.探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接、、，若，，求的长． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据旋转的性质得到，证明即可求解； （2）根据正方形的性质得到，根据旋转的性质得到，证明即可求解； （3）过作交延长线于，连接，取中点，连接，根据中位线的判定和性质得到，由等角对等边判定等腰三角形得，由勾股定理得到，结合（1）的方法可证，求出，，在中，由勾股定理得到，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，交于， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 理由：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， 设交于，与相交于， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过作交延长线于，连接，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，，的最小值为 【解析】 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 ∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； 【小问3详解】 存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中南薰路校区（银川第十中学）2025-2026学年第二学期第三次模拟测试卷九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将5450000这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 6. 跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在直角坐标系中，四边形为正方形，且边与轴交于点，反比例函数的图像经过点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解_____ 10. 文创制作工艺在不断升级迭代，某文创工作室改进文创印章制作工艺后，每小时比原来多制作15枚印章．已知现在制作120枚印章与原来制作75枚印章所用的时间相同．设原来每小时制作枚印章，根据题意可列方程为__________． 11. 如图，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是_____． 12. 我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为_____． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 14. 中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积___________．（结果保留） 15. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径．点是上一点，若，则的度数为___________． 16. 甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象，货车出发_____h两车相距90千米． 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24每题8分，25、26每题10分，共72分） 17. 计算： 18. 解分式方程：． 19. 实践探究：某校数学研学小组开展城市设施测高实践活动，测量太原市一座供水水塔的高度，并采用无人机采集相关数据． 数据采集：如图是测量的示意图，点表示水塔的顶部，点表示水塔的底部，为水塔的垂直高度．无人机从水塔一侧飞行至点处时，测得点的仰角为，测得点的俯角为，无人机沿水平方向飞行至点处，在处测得点的仰角为．数据应用：图中各点均在同一竖直平面内，计算水塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 20. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整；本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度； （3）该校共有1560名学生．估计该校没有读过四大名著的学生有多少人？ （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 21. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A落在格点上，点B，点C均在网格线上，△ABC的外接圆交网格线于点D，△ABC的外接圆的圆心为O． （Ⅰ）BC为⊙O的 _____； （Ⅱ）⊙O上有一点P，连接DP，满足DP=AD，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） _____． 22. 为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 23. 如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． （1）求反比例函数的解析式； （2）求线段的最小值． 24. 如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M． （1）求证：平分； （2）若，，求线段的长． 25. 如图1，已知点为正方形内的一点，连接.将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，. （1）【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是_______；直线与的位置关系是_______． （2）【问题探究】 如图2，点为正方形外的一点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接、，交于点，交与点.探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接、、，若，，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $