精品解析：2026年河北邯郸市永年区第七中学中考二模数学试卷

2026年河北省邯郸市永年区第七中学二模数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列互为倒数是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴和不互为倒数，不符合题意； B、，∴和互为倒数，符合题意； C、和，∴和不互为倒数，不符合题意； D、∵，∴和不互为倒数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键． 2. 若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.确定a的值以及n的值是解题的关键． 先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可． 【详解】解：， 原数中“0”的个数为8， 故选：B． 3. 如图，点A，B对应的数分别为a，b．对于结论：①，②，③，下列说法正确的是（ ） A. 仅①②对 B. 仅①③对 C. 仅②对 D. ①②③都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，根据点在数轴上的位置以及数轴上的数右边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，，； 故①②正确，③错误； 故选A． 4. 如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（ ） A. 路线 B. 路线 C. 路线 D. 路线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，这两地之间的最短距离为，其他线路都应大于，但是线路的长度为，所以线路所标的数据错误． 【详解】解：这两地之间的最短距离为， 其他线路都应大于， 线路的长度为， 故线路所标的数据错误． 故选：B ． 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 6. 已知，若，则（ ） A. 4047 B. 4048 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，先根据有理数的乘方和相同加数的加法将已知式变形，再根据幂的乘方，同底数幂的乘法即可解答 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：D 7. 在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质可判断甲，根据尺规作直线的垂线的画法可判断乙，进而可得答案. 【详解】解：根据图②的做法可知：是的平分线，即， 由图①可得：， ∴；故甲作图痕迹正确； 根据图③的作图痕迹可知：，故乙的作图痕迹正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了尺规作角的平分线和已知直线的垂线以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关作图方法以及等腰三角形的性质是解题的关键. 8. 若，，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先列式，结合分式有意义的条件进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ， ∵， ∴， ∵， 故A选项不符合题意； ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则， 故选：D 9. a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，可得出和的值，把变形为，再代入即可． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴ 故选：A． 10. 《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？下列做法错误的为（ ） A. 若设合伙人数为人，据题意可得： B. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： C. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： D. 设合伙人数为人，羊的总价钱为钱，据题意可得： 【答案】B 【解析】 【分析】找准不变量（羊价不变/人数不变），根据题意推导每个选项的方程，即可找出错误选项． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意： 每人出钱，还差钱， 羊价； 每人出钱，多钱， 羊价； 对选项A，由羊价相等可得，A正确； 对选项D，可得方程组，D正确； 若设羊价为钱，人数不变， 对变形得， 对变形得， 由人数相等得， 因此C正确，B错误． 11. 如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．对于下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间距离的最小值为． 其中，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，，可得在以为圆心，为直径的圆上，当A，F，R共线时，最小，再进一步可判断④． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ，故①符合题意； ， ， ，故②符合题意； 当时，， ， ，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接，， ， 在以为圆心，为直径的圆上， 当A，F，R共线时，最小， ， ， ， ， 点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意． 综上所述，正确的个数有3个． 【点睛】本题核心是结合正方形性质、全等三角形与圆的轨迹思想解题，关键是发现点的轨迹为圆． 12. 如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于点，作于点，设点的坐标为，点的坐标为，证明，得到，，表示出值，建立等式，得到，据此计算即可解题． 【详解】解：作于点，作于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ，， ， ，， ，，，， ，整理得， ，整理得， ，整理得，解得或， ， ，即， ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则“”表示的数为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， ∴． 14. 约分：________． 【答案】m 【解析】 【分析】先找出该分式分子与分母的公因式，再根据分式的基本性质约去公因式，即可得到结果． 【详解】解： ． 15. 如图，在中，，，．在上分别截取，，使，分别以E，F为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线交于点M，点N是边上一点，则的长可能是________（写出满足条件的一个整数值）． 【答案】3或4或5或6（选择其中一个即可） 【解析】 【分析】过点M作于H．根据角平分线性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，得出，求出x的值，再由勾股定理及图形确定，，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于H． 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵，，． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得， 即， ∴，， ∵，即， ∴， ∴当的长为整数值时可以是3或4或5或6． 16. 如图，在中，，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点到的距离是点到距离的倍，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，过点作于，设与相交于点，则，由得，即得，再根据解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设与相交于点，则， ∵点到的距离是点到距离的倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴ 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式（并在图中所给的数轴上表示其解集）、解不等式组（直接写出所有整数解） （1）解不等式，并在图中所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在图中所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出满足不等式组的所有整数解． 【答案】（1）； （2）； （3），，，． 【解析】 【分析】（1）移项、合并同类项，可得不等式的解集，在数轴上表示即可； （2）移项、合并同类项、系数化为1，可得不等式的解集，在数轴上表示即可； （3）由（1）（2）可得不等式组的解集，写出整数解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 在数轴上表示解集： 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 在数轴上表示解集： 【小问3详解】 解：由（1）（2）可得不等式组的解集为， ∴满足不等式组的所有整数解为，，，． 18. 习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式 …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2：解方程 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解 …………第四步 （1）习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）一，一 （2）习题1：；习题2： 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减法，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的通分判断习题1的第一步；根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步； （2）习题1：根据分式的加减法则计算即可；习题2：根据解分式方程的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：一、一； 故答案为：一，一； 【小问2详解】 习题1： 解：原式= ， 习题2：解方程 解： ， 检验：当时 是原方程的根． 19. 如图，E为菱形的边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ， 在的延长线上， ， (两直线平行，内错角相等)， 为的中点， ， 在和中， ， ， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据菱形性质得，推出内错角相等，再由是中点得，最后利用证明全等； （2）先由全等得即是中点，再在中用勾股定理求，最后得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由(1)知， , 即是的 中点， ， 为的中点，， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 由勾股定理：， ． 20. 如图，量角器放置在长方形纸面中，为其直径，点O为其圆心，点C，D在量角器的半弧上，对应刻度分别为和，．连接，，． （1）尺规作图：求作线段的垂直平分线l，直线l与交于点E，与交于点F，与交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求的长； （3）求的长． 【答案】（1） 如图所示即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）根据题意得：，再由垂直平分线的性质得出，利用三角函数求解即可； （3）由（2）得，，结合图形确定，得出，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 根据题意得：， ∴， ∵l垂直平分线段， ∴， ∴在中，； 【小问3详解】 解：由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． （1）求定点的坐标； （2）当直线和线段有交点时，求的取值范围； （3）若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【答案】（1） （2）的取值范围是且 （3），整数k的值为， 【解析】 【分析】（1）将函数解析式变形为，可得当时，，不管取任何不为0的值，均成立，即可得到定点的坐标； （2）将，分别代入直线，解得，，即可得到的取值范围是且； （3）先利用待定系数法求出线段所在直线的函数解析式为，再由点是直线和直线的交点，得到，整理得到，进而推出当是正整数时，的值可以是1，5，即可求解整数k的所有值． 【小问1详解】 解：∵， 当时，，不管取任何不为0的值，均成立， ∴定点的坐标为； 【小问2详解】 解：当直线经过点时，将代入，得，解得， 当直线经过点时，将代入，得，解得， ∴的取值范围是且； 【小问3详解】 解：设所在直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为， ∵点是直线和直线的交点， ∴， ∴， 当是正整数时，的值可以是1，5， ∴整数k的值为，． 22. 如图，在中，，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且，延长和射线交于点F，作，与边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接． （1）若，，求的长． （2）求证：是的切线． （3）若，，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线 （3） 【解析】 【分析】（1）证明为直径，可得，证明，进一步可得答案； （2）首先，根据，得，再由，，得，根据，得，进而，得出结论； （3）先根据勾股定理求得，设的半径为，，再根据，得，，，接着，证出，得，即，解得(舍去)，可得，最后，得出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴为直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴． 设的半径为，， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得(舍去)． ∴． ∴． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． （1）求抛物线的解析式． （2）求k的值． （3）将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）由函数对称轴为直线,当时，y的取值范围是，可得是函数的最小值，即抛物线的顶点为，代入抛物线解析式可求得，即可得抛物线解析式； （2）由函数对称轴为直线,可得时，时对应的函数值为，即可求解； （3）依据题意，分在直线上或上方、在直线下方两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为，当时，y的取值范围是， ∴是函数的最小值，即抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线对称轴为， ∵， ∴当时，取最大值， ∴， ∴k的值为8． 【小问3详解】 解：如图，设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是图象上的点，图象为区域， 由（1）可知，由（2）可知，即点H在直线上， ∵点与点关于直线对称， ∴， 当点在直线上或上方时，的最高点为， 的最低点为， ∴，， 解得； 当点在直线下方时，的最高点为H， 的最低点为， ∴，， 解得； 综上所述，． 24. 数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究： 【探究1】 （1）如图1，已知等边三角形的边长为，则 (用含的代数式表示)； （2）如图2，菱形的边长为6，，点和点分别在边和边上，，连接，求面积的最小值； 【探究2】 （3）如图3，在中，，为边上的高，(为定值)，求面积的最小值(用含的代数式表示)． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形三线合一的性质作出边上的高，结合勾股定理求出高的长度，再计算面积； （2）连接，根据菱形性质证明为等边三角形，再通过角的等量代换证明与全等，得到，结合判定为等边三角形，将面积最值转化为的长度最值，最后依据垂线段最短求出的最小值，进而得到面积的最小值； （3）先通过翻折变换构造正方形，设、，在中利用勾股定理建立、的关系式，结合完全平方公式的非负性得到关于的不等式，求解得到的最小值后，求出面积的最小值即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∵是等边三角形，边长为， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）解：连接，如图， ∵四边形是菱形，边长为6， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵菱形中， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴由（1）得， 要使的面积最小，只需使的长度最小， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， ∵是等边三角形，， ∴在中，由勾股定理得， ∴面积的最小值为； （3）解：∵为边上的高， ∴， 作关于对称的，作关于对称的，延长，交于点，如图， 则，，，，． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形，正方形边长为． 设，，则，，， 在中，，由勾股定理得， 即， 展开化简得 由完全平方公式的非负性可知，变形得， ∴，即， 当时， 由求根公式得(舍去)， ∴的最小值为，即的最小值为， 根据的面积， ∴最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省邯郸市永年区第七中学二模数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列互为倒数是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 3. 如图，点A，B对应的数分别为a，b．对于结论：①，②，③，下列说法正确的是（ ） A. 仅①②对 B. 仅①③对 C. 仅②对 D. ①②③都对 4. 如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（ ） A. 路线 B. 路线 C. 路线 D. 路线 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则（ ） A. 4047 B. 4048 C. D. 7. 在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线外一点作直线的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不正确 8. 若，，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 9. a、b是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 7 10. 《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？下列做法错误的为（ ） A. 若设合伙人数为人，据题意可得： B. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： C. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： D. 设合伙人数为人，羊的总价钱为钱，据题意可得： 11. 如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．对于下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间距离的最小值为． 其中，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则“”表示的数为________． 14. 约分：________． 15. 如图，在中，，，．在上分别截取，，使，分别以E，F为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线交于点M，点N是边上一点，则的长可能是________（写出满足条件的一个整数值）． 16. 如图，在中，，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点到的距离是点到距离的倍，则的长是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式（并在图中所给的数轴上表示其解集）、解不等式组（直接写出所有整数解） （1）解不等式，并在图中所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在图中所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出满足不等式组的所有整数解． 18. 习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式 …………第一步 …………第二步 …………第三步 习题2：解方程 解： …………第一步 …………第二步 …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解 …………第四步 （1）习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 19. 如图，E为菱形的边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，量角器放置在长方形纸面中，为其直径，点O为其圆心，点C，D在量角器的半弧上，对应刻度分别为和，．连接，，． （1）尺规作图：求作线段的垂直平分线l，直线l与交于点E，与交于点F，与交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求的长； （3）求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． （1）求定点的坐标； （2）当直线和线段有交点时，求的取值范围； （3）若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 22. 如图，在中，，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且，延长和射线交于点F，作，与边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接． （1）若，，求的长． （2）求证：是的切线． （3）若，，直接写出的值． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是． （1）求抛物线的解析式． （2）求k的值． （3）将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围． 24. 数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究： 【探究1】 （1）如图1，已知等边三角形的边长为，则 (用含的代数式表示)； （2）如图2，菱形的边长为6，，点和点分别在边和边上，，连接，求面积的最小值； 【探究2】 （3）如图3，在中，，为边上的高，(为定值)，求面积的最小值(用含的代数式表示)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $