2025-2026学年苏科版八年级数学下册期末复习压轴题几何部分

**基本信息** 聚焦几何动态问题，以中点、旋转、最值为核心，通过模型化策略（如中位线、手拉手）系统构建解题方法链，强化逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中点问题|12题（如第3、6题）|中位线构造、斜边中线性质|从三角形中位线到四边形中点连线，逐步深化中点坐标与动态轨迹关系| |旋转变换|15题（如第26、49题）|旋转全等（SAS）、轨迹圆模型|以等边/等腰直角三角形为载体，构建“旋转-全等-线段转化”推理链| |最值问题|20题（如第5、22题）|对称化折为直、垂线段最短|结合几何图形性质，将动态最值转化为定点距离或函数极值问题| |综合证明|8题（如第60、65题）|手拉手模型、二次全等|融合图形变换与性质证明，培养逻辑表达与模型迁移能力|

2025-2026学年苏科版八年级数学期末复习压轴题几何部分 一、填空题 1．在四边形中，，E，F分别是和的中点．若，，则为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．如图，已知，，，，是平面内的一个动点，且，连接，点是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______． 4．如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长是2，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 6．如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为_________． 7．如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______． 8．如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为_______．    9．如图，的顶点A，D分别在直角的两边OM，ON上运动（不与点O重合），的对角线AC，BD相交于点P，连接OP，若，则的周长最小值是（　　　）． A．20 B．25 C．10 D．15 10．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是_______． 11．如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为________ cm． 12．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为_________． 13．如图，在正方形与正方形中，．连接为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_________． 14．已知中，，，以、为边作正方形、正方形，连接，取和中点N、M，连接，则的最大值为________． 15．如图，菱形的对角线长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为____.    16．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最大值为_________． 17．如图，在△中，，，点分别在边上，，，取的中点，线段的长为__________． 18．如图①，对于平面内的一点和矩形，恒有．那么如图②，在四边形中，，，，垂足为，点是的中点，则的面积的最大值是（　  　） A． B． C．10 D．12 19．如图，在边长为的正方形中，E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点M、N分别是边的中点，则的最小值为（  ） A．1 B． C． D． 20．如图，菱形的边长为，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的中点，则的最小值是______． 21．如图，在中，，将平移个单位长度得到，点、分别是、的中点，的取值范围__． 22．如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为________． 23．如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为___． 24．如图，矩形中，，，点M是的中点，点P在直线上运动，连接，点O是的中点，连接，则的最小值是________． 25．如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转到点N，若分别为中点，则的最小值为__________________． 26．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是__________． 27．如图，正方形的边长为3，，点是直线上一个动点，连接，线段绕点顺时针旋转45°得到，连接，则线段长度的最小值为_______． 28．如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 29．如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则的最小值为______． 30．如图，在中，，，D是边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长的最小值为（　　） A． B． C． D． 31．如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为_________． 32．如图，在中，，点E为边上的一个动点，以为邻边构造，连接，则的最小值为_______． 33．如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是_______． 34．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为_______． 35．如图，在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．若，，P，Q分别是上的动点，则的最小值（       ） A． B． C． D． 36．如图，在矩形中，，，若点分别是线段上的两个动点，则的最小值为______． 37．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________． 38．在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是________．    39．如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 40．如图，平行四边形中，分别是边上的动点，且，则的最小值为_________． 41．如图，正方形的边长为4，动点从点出发，沿方向匀速运动，运动到点时停止，同时另一个动点从点出发，以与点相同的速度沿方向匀速运动．点停止运动时点也停止运动，连接、，则的最小值为_____． 42．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是___________．    43．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，动点P满足=，则PA+PB的最小值为_____． 44．如图，在中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝30°，P是内一动点，且，则当PA＋PD的值最小时PA的长为_________．    45．如图，菱形的对角线．的长分别是，．P为边上任意一点．（可与点D或点C重合），分别过B，C，D三点作射线的垂线，垂足分别为，，．设，则的取值范围是_______________．    46．如图，在矩形ABCD中，，，是边上任意一点，过点A、C、D作射线的垂线，垂足分别是E、F、G，若，则m的最小值是__________．    47．如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 48．如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______． 49．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是AD边上的动点，连接CE，将CE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF，则BF的最小值为 _________． 50．如图，在等腰梯形中，，，为边上的中点，，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 51．如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 52．如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作分别交，于点E，F．则的最小值为__________． 53．如图，平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形．动点为上一点，，垂足为，点是点关于点的对称点，当值最小时，点的坐标为______ 54．如图，，，，点是射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值是_________． 55．矩形中，，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（    ） A．3 B． C．3.6 D． 二、解答题 56．数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图①所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠， 与交于点，得到．如图所示：   【基础回顾】 （1）在图②中，若，；（直接写出答案） 【操作探究】 （2）改变折痕位置，请判断的形状，请说明理由； （3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______； 【拓展延伸】 （4）小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值． 57．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，四边形为矩形，是的中点，动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)在线段上是否存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，并求此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在线段上有一点，且，求四边形周长的最小值． 58．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S． (1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值； (2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ． 59．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为，连接和，点P为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点E落在x轴上． (1)则的长为_____，的度数为_____； (2)在点P运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点P运动到使菱形的顶点F恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若要使得顶点F不落在四边形外，请写出菱形的对角线交点的运动路径长．（直接写出答案） 60．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转,点D与点B重合，得到． (1)求证：； (2)如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，试探究线段，，之间的数量关系，请作出结论并予以证明． (3)如图3，正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点M，N．若点M恰好为线段的四等分点，且，求线段的长． 61．定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点、是线段的勾股分割点，，， ①若，，则__________； ②若，，求的长； (2)如图，在等腰直角中，，，、为直线上两点，满足． ①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点； ②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，则__________． 62．【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 63．如图，已知矩形中，，，点E、F分别为上的两个动点，且，请回答下列问题： (1)如图1，若点G是的中点，求证：四边形是菱形； (2)如图2，在点E、F的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值为______． 64．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 65．如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 66．如图，在菱形中，E、F分别为边上的点，连接相交于点G． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若．试探究此时和满足什么数量关系？并证明你的结论． (3)如图3，若，F是中点，点P是边上一点，相交于点H，且，则_________． 67．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)①如图，当点在线段上，且点在菱形外部时，（）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长为 ； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的长度为 ． 68．某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． (1)如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段和的数量关系． (3)如图3，在四边形中，，是对角线，若，，求的长． 69．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 70．如图，是等边三角形内一点，，，将绕点按顺时针方向旋转得，则，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 71．（1）问题发现：如图1，在中，，D为边上一点（不与点重合）将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）探究证明：如图2，在与中，，，将绕点A旋转，使点落在的延长线上时，连接，写出此时线段之间的等量关系，并证明： （3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 72．如图，在等腰直角三角形ABC中，，，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点（点E不与端点A、C重合），连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使，连接DE、GE、GF. （1）求证：四边形EDFG是平行四边形； （2）若，探究四边形EDFG的形状？ （3）在（2）的条件下，当E点在何处时，四边形EDFG的面积最小，并求出最小值． 73．小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形． (1)【理解定义】判断：平行四边形一定是垂美四边形．（   ）（填正确或错误） (2)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线，相交于点O，猜想，之间的数量关系，并写出证明过程． (3)【综合运用】如图2，在中，，，，分别以，为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接．图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论． 74．（1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 75．“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年6月14日初二数学作业》参考答案 题号 1 2 4 5 9 18 19 28 30 35 答案 A C A B A B B B C C 题号 47 50 51 55 答案 D A D D 1．A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形中位线定理的知识，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，，，证明，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， ∵E，H分别是和的中点， ，， 同理可得：， ， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及圆的相关知识，通过构造辅助三角形，结合圆的性质，利用中位线的性质求解的长度，再由点E的位置求解最值问题是解决本题的关键． 先由勾股定理可求解的长度，由距离不变确定点D的运动轨迹，再通过连接辅助线构造三角形，分别求解三角形的两边长度，再由三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：连接，取的中点记作点F，连接，， 因为，，， 所以， 因为点F为的中点， 由直角三角形斜边中线定理可知，， 因为点是的中点，点F为的中点，， 所以在中，由中位线的性质可知， 因为是平面内的一个动点，且， 所以点D的运动轨迹是以C为圆心，3为半径的圆， 所以当点B，E，F三点共线，且点E在线段的延长线上时，取得最大值， 即， 当点B，E，F三点共线，且点E在线段上时，取得最小值， 即， 所以的最大值与最小值的差为． 故选：C． 3．10 【分析】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，PM =2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度． 【详解】 过点 P 作 PM∥FE交AD于M ， 如图， F为AP的中点， PM∥FE ，FE为△APM的中位线， ∴AM =2AE=4 ，PM =2EF ， 当EF取最小值时，即PM最短， 当PM⊥AD时，PM最短， 此时PM = AB =6 ， DM=8 ， 在Rt△PMD中，PD =10 ， 当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10． 故答案为：10· 【点睛】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键． 4．A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，直角三角形的性质，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接，由直角三角形的性质可得，由轴对称的性质可得，根据，可得当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，证明四边形是矩形，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，作点C关于直线的对称点G，过点G作交延长线于H，取的中点O，连接， ∵，O为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当O、F、P、G四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 故选：B．    6．5 【分析】此题主要考查三角形中位线定理，解题的关键是利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．取的中点G，连接，，根据三角形中位线性质得出，，根据三角形三边关系可知：，从而得出答案即可． 【详解】解：取的中点G，连接，，如图所示： ∵E，F分别为边，的中点， ∴，， 根据三角形三边关系可知：， ∴当、G、F三点共线时，最大，且最大值为． 故答案为：5． 7．11 【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而 CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值． 【详解】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB 由对称的性质得：PC=PG，GD=CD ∵GP+PM+BM≥BG ∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM 则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM ∵四边形ABCD是矩形 ∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°   ∴CG=2CD=12 ∵M为线段EF的中点，且EF=4 ∴ 在Rt△BCG中，由勾股定理得： ∴GM=BG－BM=13－2=11 即CP+PM的最小值为11． 【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值． 8． 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 9．A 【分析】由平行四边形的性质可得AP=PC，由三角形中位线定理和直角三角形的性质可得PH=，OH=AD，利用三角形三边关系得出AB+AD≥2OP=10，即可求解． 【详解】解：如图，取AD的中点H，连接PH,OH, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴.AP=PC， ∵点H是AD中点，∠AOD=90°， ∴.PH=，OH=AD， ∴OH+PH≥OP， ∴AB+AD≥2OP=10， ∴平行四边形ABCD的周长最小值为2（AB+AD）=20， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10． 【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小． 【详解】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1=∠2， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°， ∴∠1+∠BAH=90°， ∴∠AHB=180°-90°=90°， 取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH=AO=AB=， 在Rt△AOD中，OD=， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值=ODOH=． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点． 11．9 【分析】本题考查了旋转的性质、四边形内角和以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得，，，，设，则，根据四边形内角和可得，取的中点H，连接、，则，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：取的中点H，连接、，如图： ∵是由绕C点旋转得到， ∴，，， 设，则 在四边形中， 在中，，，， 在中，， ∵是中位线， 而， ∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为， 故答案为：9． 12． 【分析】取的中点E，连接，，，先证明和是等边三角形，即可求出的长，再在中利用斜边中线性质求出，最后根据确定当三点共线时最大，最大值为，据此求解即可． 【详解】解：连接，由题意得， ∴和是等边三角形， ∴， 如图，取的中点E，连接，， ∵边长为4的菱形，的中点E， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴当三点共线时最大，最大值为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，坐标与图形，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13． 【分析】延长至点，使得，连接，根据中位线的性质得到，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用勾股定理可得的长，当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，故要求的最小值，即需求的最小值即可， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，为定值， 当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为 ∴的最小值是． 14． 【分析】如图，连接、，与相交于O点，与交于点，先证，得，，再证，连接，取的中点，连接，，分别交，于，，结合三角形中位线可得且，可知，由，当点在上时，取等号，可知，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，与相交于O点，与交于点， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， 连接，取的中点，连接，，分别交，于，， ∴为的中位线， ∴，且，同理，，且， ∴且， ∴， ∵，当点在上时，取等号， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识点．证明，，是解决问题的关键． 15． 【分析】根据菱形的性质结合中位线定理得，取的中点，根据“三角形的三边关系”即可求出长度的最大值． 【详解】解：连接，交于点，连接    由题意得： ∵N为中点，为中点 ∴ 取的中点，连接 则，， ∴当三点共线时，长度最大为： 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、中位线定理、勾股定理的应用、三角形的三边关系等知识点．综合性较强，需要学生具备严密的逻辑推理能力． 16． 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，对称的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点，连接，根据中位线的性质得到，当点在延长线时，有最大值，求出，即可的出的最大值，进而得到结果． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， ∵点C为坐标平面内一点，且， 当点在延长线时，有最大值， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值． 故答案为：． 17．/ 【分析】如图，作，连接，延长交于，连接，，首先证明，，利用勾股定理求出，利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：作，连接并延长交于，连接， ∵， ，， ， ， ∵点N为的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， ，， ． 18．B 【分析】以，为邻边作矩形，连接，由题意易得点C、M、E三点共线，且点M是的中点，则有，要使的面积为最大，则需满足的面积为最大，然后可得当时，的面积为最大，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：以，为邻边作矩形，连接，如图所示： ∴互相平分， ∵点是的中点， ∴点C、M、E三点共线，且点M是的中点， ∴， 要使的面积为最大，则需满足的面积为最大， ∵， ∴当时，的面积为最大， 由对于平面内的一点和矩形，恒有，可知： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 即的面积最大值为． 19．B 【分析】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，中位线的性质等，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 连接，过点C作交延长线于点G，根据旋转的性质得出点F的运动轨迹为线段，确定，过点D作，再由等腰直角三角形的性质确定最小，利用中位线的性质即可求解 【详解】解：连接，过点C作交延长线于点G，如图所示： ∵E是边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴点F的运动轨迹为线段， ∵边长为的正方形， ∴，，， 过点D作， 此时最小， ∴， ∵点M、N分别是边的中点， ∴的最小值为， 故选：B 20．2 【分析】取的中点，连接，，结合菱形的性质以及中点的定义可得，点，关于对称，则，即可得． 【详解】解：取的中点，连接，， ， 四边形为菱形， ，， 点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， 点为的中点， ， ， 四边形为菱形，为菱形的对角线， 点，关于对称， ， ， ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 21． 【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，取的中点，的中点，连接，，，， ∵将平移个单位长度得到，， ∴，， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴，即， ∴的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 22． 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 23．5 【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出结论． 【详解】解：连接AO， ∵四边形CDGH是矩形， ∴CG＝DH，OC＝CG，OD＝DH， ∴OC＝OD， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， 在△ACO和△ADO中， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠OAB＝∠CAO＝30°， ∴点O一定在∠CAB的平分线上运动， ∴当OB⊥AO时，OB的长度最小， ∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°， ∴OB＝AB＝×10＝5， 即OB的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题． 24． 【分析】由三角形中位线定理可得，则点O在直线上移动，即当时，有最小值，连接，过点H作于K，再证明四边形是平行四边形，结合四边形是矩形，得，，运用勾股定理得，则，因为点H是的中点，则，算出，即可作答． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接，并延长交于N， ∵点O是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点P在直线上运动，且点O是的中点， ∴点O在直线上运动， ∴当时，有最小值， 如图，连接，过点H作于K， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，点M是的中点， ∴，， ∴， 则， ∵点H是的中点， ∴， 则， ∴， 即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴则的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，难度较大，综合性较强，确定点的运动轨迹是解题的关键． 25．/0.5 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由旋转的性质可得，由“”可证，可得，由三角形中位线定理可得，可得当有最小值时，有最小值，即有最小值时，有最小值，则当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接， ∵将点绕点顺时针旋转到点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵、分别为、中点， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为1， ∴的最小值为， 故答案为：． 26． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 27． 【分析】连接，在上取，连接，过点D作于H；可证明，得，，则点F在直线上运动，当F点与H点重合时取得最小值；由勾股定理求得，进而求得，再由角直角三角形的性质求得的长，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，连接，在上取，连接，过点D作于H； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转45°得到， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点F在直线上运动， 当F点与H点重合时，取得最小值； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识，证明三角形全等，并由此确定出点F的运动路径是解题的关键． 28．B 【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键． 29．/1.5 【分析】以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，过点作于点，先证四边形为矩形，再证和全等得，再由得，由此可得出当点与点重合时，为最小，即为最小，最小值为． 【详解】解：以为一边在正方形内作等边，连接， 过点作于点，过点作于点， 四边形为正方形，且边长为， ，， 点为的中点， ， 和均为等边三角形，， ，，，， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， 即：， 在和中， ， ， ， ， ， 当点与点重合时，为最小， 即为最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据垂线段最短求解是解题的关键． 30．C 【分析】设，交于点O，过点O作于点F，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，连接，如图所示， 在平行四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 31． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设，交于点，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设，交于点，过点作于点， 连接， 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为， ， ∴， ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故答案为：． 32． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，理解题意、找到最短时满足的条件是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据垂线段最短得到时取最小值，过点C作于点H，则，利用直角三角形的性质以及勾股定理求出的长度，进而完成解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，最小，此时最小， 过点C作于点H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 33． 【分析】由平行四边形的性质可得：，，当点P与点C重合时，此时OP有最大值，当时，此时OP有最小值，即可求解． 【详解】如图，设AB与PD交于点O，连接OC， ∵四边形ADBP是平行四边形 ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ 当点P与点C重合时，此时OP有最大值 ∴DP的最大值为 当时，此时OP有最小值 ∵ ∴ ∴DP的最小值为 ∵P为 AC 上一点（与点A、C不重合） ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，灵活运用这些性质是解决问题的关键． 34．9.6 【分析】以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，分为两种情况，或者，根据垂线段最短求得最值． 【详解】以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，分为两种情况，或者 ①， ②当时，过点作边上的高,过点作， ， ， ， 根据题意要使得最小，即当时，取得最小值， 此时， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 35．C 【分析】作于点交于点，连接，连接，交于点，连接、，由“垂线段最短”可知，当点与点重合时，，此时的值最小，则的值最小，证出四边形是矩形，则可得出答案．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，中垂线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：作于点交于点，连接，连接，交于点，连接、， 由翻折得，垂直平分， ，， ，， 由“两点之间，线段最短”可知，线段的长即表示的最小值， 由“垂线段最短”可知，当点与点重合时，，此时的值最小，则的值最小， ， 四边形是矩形， ， 的最小值是． 故选：C． 36． 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，则的最小值为的最小值，当交于点，交于点，交于点，即当与重合，当与重合，如图，则，此时的最小值为的值，由轴对称性质可得，垂直平分，故有，，，由矩形性质可得，，，，从而得出四边形是矩形，设，则，由勾股定理得，即，解得，最后通过求出即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则的最小值为的最小值， 当交于点，交于点，交于点，即当与重合，当与重合，如图，此时的最小值为的值，则， 由轴对称性质可得，垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得：， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要是利用轴对称求最短路线，三角形的面积，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 37．8 【详解】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值 作交于，则为所求； 设,, 由，， h+5=8，即BM+MN的最小值是8. 点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键． 38． 【分析】首先利用正方形的性质可以证明，然后利用全等三角形的性质得到的最小值就是的最小值，最后利用轴对称即可求解． 【详解】解：如图，连接，   正方形中，， ，， 在和中，， ， ， ， 的最小值就是的最小值， 如图，作关于的对称点，连接交于，则即可满足最小， ， ，， ． 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性． 39． 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 40． 【分析】延长，截取，连接，，过点A作于点H，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 41． 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，且，连接，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作，且，连接， 由题意，得：， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为； 故答案为：． 42．/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到．由旋转不变性可知：，．，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得，如图：    由旋转不变性可得：，， 且， 是等腰直角三角形， ， 最大，只需最大，而在中，， 当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 43． 【分析】首先由=，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值． 【详解】解：设△ABP中AB边上的高是h， ∵=， ∴， ∴， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上， 如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB=8，AE=2+2=4， ∴BE=， 即PA+PB的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．根据面积关系得出动点P所在的位置是解题的关键． 44． 【分析】如图所示，过点P作直线，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于E，交BC于F，连接，则，垂直于直线l，则，故当、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，因此只需要求出的长即可利用勾股定理求解． 【详解】    解：如图所示，过点P作直线，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于E，交BC于F，连接，则，，垂直于直线l， ∴， ∴当、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中 . 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线确定PA+PD的值最小时的情形是解题的关键． 45． 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．找到的等量关系，并且根据等量关系计算得，根据的取值范围计算的最小值和最大值． 【详解】解：连接，设与的交点为，   四边形是菱形， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点与点重合时，最小，为，则的最大值为， 当点与点重合时，最大，为，则的最小值为， 综上：， 故答案为：． 46． 【分析】连接、，由矩形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、    ∵四边形是矩形 ∴，， 由勾股定理得： ∵ ∴ ∵和的边上的高 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴m随着的增大而减小 ∴时，m最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 47．D 【分析】根据菱形的性质得到，，得出，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值为的最小值，根据平移的性质得到点在过点D且平行于的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：在边长为2的菱形中，， ∴，， 将沿射线的方向平移得到， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， ∴作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，设交与点G， 则的长度即为的最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键． 48． 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， 如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 49． 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由旋转的性质可得，，由“AAS”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作直线于H， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，BF的最小值为， 故答案为：． 50．A 【分析】根据两点之间线段最短，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ∴，,,,， 如图，连接，   是等边三角形． ． ． 当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长， 过点作交的延长线于， ， ， ，，在中， ， ．即的值为． 51．D 【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时最小，即最小， ∵与关于对称， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， 则，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 52． 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过F作于G，证明得，再将沿方向平移至，连接，当A、F、H三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 【详解】解：过F作于G，则，， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当A、F、H三点共线时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 53． 【分析】此题是一次函数的综合题．由点是点关于点的对称点，先求出点的坐标，然后连接，，可得四边形是平行四边形，进而可得：，进而可将转化为，然后根据两点之间线段最短可知：当点，，在同一直线上时，的值最小，然后求出直线的关系式，进而可求出直线与轴的交点的坐标，从而即可求出点的坐标． 【详解】解：直线分别交轴，轴于，两点，点为的中点， ，，， 连接，，，则四边形是平行四边形，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 有最小值，即有最小值， 只需最小即可， 两点之间线段最短， 当点，，在同一直线上时，的值最小， 过点作轴，垂足为， 点是点关于点的对称点， 是的中位线， ，， ， 设直线的关系式为：， 将和分别代入上式得： ， 解得：， 直线的关系式为：， 令得：， ， ∵轴， ， 故答案为：． 54． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用轴对称解决最短路径问题，勾股定理，解题关键在于根据题意证明三角形全等，找点E的运动路线． 在射线上取点F，连接，使，作直线．再由旋转得出条件，证明，由对称得，，由两点间线段最短可知，点E在点处，取最小值，最小值为的长，连接，最后用勾股定理求解． 【详解】解：如图，在射线上取点F，连接，使，作直线． ∴， ∴． 由旋转得，，． ∴． ∵． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为定角，点B为定点， ∴点E在直线上， 作点C关于直线的对称点，连接交于，当点E在点处时取最小值，（由对称得，∴，由两点间线段最短可知，点E在点处，取最小值，最小值为的长）， 连接，则，， ∵， ∴． ， ∴的最小值为， 故答案为：． 55．D 【分析】先证明，得到，设， 则，，，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故选：D． 56．（1）；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）或；（4）． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出的度数，再根据平角求出的度数，最后根据平行线的性质即可求解； （2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出； （3）利用当的面积最小值为时，，则可证明，，从而即可求出； （4）分情况一：将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合；情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：如图，        由折叠性质可知，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴． ∵将纸片沿折叠， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）如图2，当的面积最小值为 时，，      ∴， ∵，， ∴ 同理： 故答案为：或； （4）分两种情况：情况一：如图，将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合，设，则，      由勾股定理得， 解得． ∴， ∴． 情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为，设，则，        同理可得：， ∵， ∴． 综上：的面积最大值为． 【点睛】此题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键是注意分类思想的运用． 57．(1)见解析 (2)秒时，；秒时， (3) 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点Q在点P的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）证明四边形是平行四边形，可得四边形的周长为，当的值最小时，四边形的周长最小．作点关于的对称点，连接交于点，则，，则，则当，，三点共线时，的值最小，即的值最小，最小为，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，， ，， ． 是的中点， ． 当时，由题意，得， 则， ， 四边形是平行四边形． （2）解：在线段上存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是菱形． 分两种情况讨论： ①如图1，当点在点的右边时， 四边形是菱形， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． ， ． ②如图2，当点在点的左边时， 四边形是菱形， ． 在中，， ，， ， ． 综上所述，秒时，；秒时，． （3）解：如图3，由（1）知：． ，． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形的周长为， 当的值最小时，四边形的周长最小． 作点关于的对称点，连接交于点，则，， ． 两点之间线段最短， 当，，三点共线时，的值最小，即的值最小． ， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 58．(1) (2) (3)； (4) 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）如图， 连接， 作于，然后证明 ，可得由此即可解决问题； （3）①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，运用勾股定理求出x值即可； ②如图中， 当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图2， 连接， 作于， 则，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ， ∴与的函数关系式； （3）解：①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大， 在中，， ∴的最大值， ②如图中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ∵， ， ； 故答案为：；； （4）解：如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，即点运动的路线长的长，即， 故答案为：． 59．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）过点作于，证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）由题意，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案； （3）过点作于，延长、交于点，证明，然后求出，即可得到答案； （4）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图： 由题意，点、、、坐标分别为， ，，，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，； （2）解：存在；理由如下： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （3）解：如图，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时； ∵四边形为菱形， ∴，， 又， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； （4）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点， 由（3）可知，， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 点的坐标为， 的中点的坐标为； 点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大； 当点在原点时，即，此时为； 当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即； ， ， 点为； 点的最左端坐标为，最右端的坐标为； 点的运动路径长为：． 【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，通过构造垂线、利用等腰直角三角形与全等三角形，将菱形、正方形的性质转化为坐标计算．动点路径分析时，抓住中点坐标规律，结合临界位置求解，体现了“数形结合”与“化动为静”的解题思想． 60．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，从而可求得；再证明即可； （2）将绕点A顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，证明，得，再证，然后由勾股定理得出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：． 证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中， ， ，     ，， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 由旋转可得， ，，，， ， ，， ． ． ， ． 设，则． 在中，      解得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 61．(1)①5；②； (2)①见解析；②． 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，读懂题意，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键． （1）①根据勾股分割点的定义得，，代入计算即可； ②根据勾股分割点的定义得，，代入计算即可； （2）①将绕点C逆时针旋转得到，连接，利用证明，得，即可证明结论； ②将绕点C逆时针旋转得到，连接，由①同理可证，得，从而有，代入数据求解，从而得出答案． 【详解】（1）解：①∵以为边的三角形是一个直角三角形，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5； ②以为边的三角形是一个直角三角形，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， 将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M，N是线段的勾股分割点； ②解：将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． 故答案为：． 62．（1）证明见详解；（2），证明见详解；（3） 【分析】（1）利用手拉手模型，结合等边三角形性质，证明，即可得证； （2）将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示，得到，，再由勾股定理求解即可得到答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示，可证明，则，得，再证明，得，推导出，在上截取，连接，可证明，得，当时，的值最小，此时的值最小，由勾股定理得，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， 即； （2）满足的数量关系为， 证明如下： 将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示： 由旋转性质可得，， 在等腰中，由勾股定理可得， 即， ， 即； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示： ，，， ∴，， ∴， 则， ∵， ， 在中，由勾股定理可得， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在上截取，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，根据知，此时的值最小，如图所示： ， ， ， 在等腰中，由勾股定理可得， 则， 解得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，重点考查旋转的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 63．(1)见解析 (2)线段的长度为定值 (3) 【分析】（1）证明得到，进而证得四边形是平行四边形，然后利用菱形的判定可得结论； （2）如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，，证明四边形是平行四边形得到．由（1）知四边形是菱形， 设，利用菱形的性质、矩形性质以及勾股定理分别求得， 即可求解； （3）过C作，且，连接，，四边形是平行四边形，得到，进而可得，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为， 在中，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：线段的长度为定值， 如图2，取的中点O，过O作，交于P，于Q，连接 ，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，， 设， 在矩形中，，，，， ∴，， 在中，由得， 解得， 在中，，， ∴， ∴，则， 故线段的长度为定值； （3）解：过C作，且，连接，， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴，当A、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题等知识，综合性强，需要学生有一定的综合能力和分析问题、解决问题的能力，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用转化思想求解是解答的本题的关键． 64．（1），；（2）问题1：见解析；问题2：①；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到答案； （2）问题1：如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明，是等腰直角三角形，从而可得结论； 问题2：①连接，由（1）可知，，延长至，使得，连接，则垂直平分，得，则，当在上时取等号，再根据勾股定理即可求解； ②设，则，，最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，距离之和最小，进而求得． 【详解】解：（1）在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，则， ∴， 故答案为：，； （2）问题1：如图，过作，与交于点，   四边形是正方形，则 ， 由（1）得：， ， ， ，则是的垂直平分线， ，则， 平分 ， ， ， ，则， ， ； 问题2：①在正方形中，， 连接，由（1）可知，， 延长至，使得，连接，则垂直平分， ∴，    则，当在上时取等号， ∵，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； ②如图，    作于， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， 最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，的距离之和最小， 如图，    作J的对称点，连接， 则与x轴的交点是H点，此时最小， 作轴于T， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 65．(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）由已知得四边形是菱形，得，根据，即得，故； （2）①数量关系是：，理由是：由四边形是菱形，可得和是等边三角形，即得，，即可证明，从而，故； ②的周长发生改变，理由是：由，，可得，是等边三角形，即有，当最小时，周长的最小，即最小时，周长的最小，此时，在中，可得，即，周长的最小值为． 【详解】（1）∵中，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的顶点与点A重合，两边分别与，重合， ∴； （2）①，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②的周长发生改变，理由如下： 如图，连接， 由①知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的的周长， ∴的周长发生改变， 当最小时，周长最小，即最小时，的周长最小， 此时， 在中，，， ∴，， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形性质及判定、全等三角形性质及判定、三角形周长最小值、勾股定理等知识，解题的关键是证明． 66．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由菱形和可得菱形是正方形，根据正方形的性质可得，，再加上，得到，即，即可证明，即可证得； （2）添加辅助线，根据菱形的面积证得，推出，得到，由，推出，由此可得和的数量关系． （3）添加辅助线并建立直角坐标系，通过辅助线可得为等腰直角三角形，且四边形为矩形，证明与全等，可得，，再设出边长，利用边的关系求解点F与点K的坐标，再求解直线方程，由此可求解的长度，进而可求解的长度． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ∴菱形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：， 证明：过点D作于R，过点C作于S，如图， ∵，且， ∴， ∵． 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：过点F作交于点Q， 过点C作交于点K，过点K作的平行线分别交于点M，点N， 以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示， ∵，且， ∴， ∵，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∵，F是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， 即，， ∴点，点， 设经过点F与点K的直线方程为， ∴，解得， ∴经过点F与点K的直线方程为， 令，则有，解得， ∴点，即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 67．(1)， (2)①（）中的结论：，仍然成立，理由见解析② (3)或 【分析】（1）如图，连接，延长交于点，根据菱形的性质及，证是等边三角形，得，；进而证明，得；，又，从而可得，即可得； （2）①（）如图中，连接，设与交于，由菱形的性质得，，，进而证明和都是等边三角形，得，，，，又证，得，，从而利用垂线定义得， ∴；②如图．所示，根据全等三角形的性质得，又根据三角形的内角和及等腰三角形的判定得，再利用勾股定理求解即可； （3）分点在的延长线上和点在的延长线上两种情况，利用勾股定理，菱形的性质及全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：①（）中的结论：，仍然成立，理由如下： 如图中，连接，设与交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴（）中的结论：，仍然成立； ②如图.所示， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于， ∵四边形是菱形， ∴平分，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（）知， ∴； 如图中，当点在的延长线上时，同法可得， ， 综上，的长度为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质等，熟练掌握等边三角形的判定及性质，勾股定理，菱形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 68．(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，推出，，然后可求得，利用勾股定理得到，即可得到答案； （2）过点作，易证，，从而推出，，然后证得，可知，得到，结合勾股定理即可推出结论； （3）根据题意可知是等边三角形，则将绕点顺时针旋转得到，连接，则有，，进而得到为等边三角形，然后结合已知易得，从而根据勾股定理得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：， 理由：由旋转可知， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作， 则， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：， 是等边三角形， ， ∴将绕点顺时针旋转得到，连接，如图， 由旋转的性质知，， 则为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质和判定，灵活运用以上知识点并利用辅助线构建全等三角形是解题的关键． 69．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最值和勾股定理等． （1）根据题意证明，即可得到本题答案； （2）过点B分别作于点 F，于点 G，再证明出和，再证明出四边形为矩形，后得到为正方形，继而利用正方形性质即可得到结论； （3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （2）证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形，      ， ； （3）解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ． 70．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)当为或或时，是等腰三角形 【分析】（1）根据，推出，根据旋转，可得，从而得证； （2）根据，推出，然后求得，根据内错角相等，两直线平行，推出； （3）分别表示出，，，然后分或或三种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转得， ∴， ∴是等边三角形. （2）解：，理由如下： 由（1）知，是等边三角形， ， ∵，， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ∵，， ， ， 是等腰三角形， 或或， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 那么当为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质，周角，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 71．（1），；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2），理由是： 如图2，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）如图3，将绕点逆时针旋转至，连接、， 则是等腰直角三角形， ， ， ， 同理得：， ， 中，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 72．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）当E点在AC中点时，四边形EDGF的面积最小为4. 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论； （2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A＝∠DCF＝45°、AD＝CD，结合AE＝CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE＝DF、ADE＝∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF＝90°，再根据（1）中的结论，由此即可证出四边形EDFG是正方形； （3）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值． 【详解】（1）证明：∵O是EF的中点， ∴OE＝OF， ∵OG＝OD， ∴四边形EDFG是平行四边形； （2）解：四边形EDFG是正方形，理由是： 连接CD，如图1所示， ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD． 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF． ∵∠ADE＋∠EDC＝90°， ∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°， 由（1）知：四边形EDFG是平行四边形； ∴四边形EDFG是正方形； （3）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示． ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， ∴DE′＝BC＝2，AB＝4，点E′为AC的中点， ∴2≤DE＜2（点E与点E′重合时取等号）． ∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8． ∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：第二问证明△ADE≌△CDF；第三问确定四边形EDFG的面积最小时点E的位置． 73．(1)错误 (2)，证明见解析 (3)四边形是垂美四边形，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用． （1）由平行四边形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）根据证明，得，再由三角形内角和定理得，从而可得结论． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线不一定互相垂直，所以平行四边形不一定是垂美四边形，故原说法错误． 故答案为：错误； （2），证明如下： 证明：∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （3）解：四边形是垂美四边形．理由如下： 连接、，与交于点O，与交于点N，如图2， ∵， ∴，即， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴四边形是垂美四边形． 74．（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 75．【理解模型】证明见解析；【变式迁移】；【构造模型】，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键； 【理解模型】先证明三点在同一直线上，则是等边三角形，即可得出结论； 【变式迁移】将绕点A逆时顺旋转到，证明三点在同一直线上，证明，再根据勾股定理得出结论； 【构造模型】先证明是等边三角形，将绕点C顺时针旋转到，连接，再证明，根据角的和差关系得出结论； 【详解】解：理解模型：将绕点A逆时针旋转到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 三点在同一直线上， 是等边三角形， ， ； 变式迁移：将绕点A逆时顺旋转到， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ； 构造模型：，， 是等边三角形， 将绕点C顺时针旋转到，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $