第05讲 全称量词与存在量词 讲义-2026年初升高数学衔接

第05讲 全称量词与存在量词 基●础●知●识 一、全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示. 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题. 对集合中的任意一个成立（表示变量的取值范围）， 符号表示为：对. 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来. 如：命题“平行四边形对角线互相平分"理解为“所有平行四边形对角线都互相平分". 二、存在量词与存在量词命题 1、存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示. 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、"有的"等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题. 存在集合中的元素成立（表示变量的取值范围），简记为：对. 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词， 但其意义具备"存在"、“有一个"等特征的命题都是存在量词命题 三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假. 四、命题的否定 1、命题的否定：对命题加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非”或的否定. 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：. 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：. 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然. 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定 不等式 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有个 题●型●破●译 题型01全称量词与存在量词命题的判断 【典例01】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【变式01】下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．直角三角形的内角是锐角或直角 B．至多有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【分析】根据全称命题及真假分别判断各个选项即可. 【详解】直角三角形的内角是锐角或直角,原命题为真命题，属于全称量词命题，A正确； 当时，满足，原命题为真命题且是存在量词命题，B错误； 存在，原命题为全称量词命题且为假命题，C错误； 对于任意一个负数，都有，原命题为存在量词命题且为假命题，D错误． 故选：A. 【变式02】下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 【答案】A 【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的概念以及命题的真假判断，一一判断各命题，即得答案. 【详解】对于A，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假， A是真命题，符合题意； 对于B，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，当时，，C中命题是假命题，不符合题意； 对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意， 故选：A. 题型02用全称量词与存在量词改写命题 【典例01】将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 【答案】A 【分析】根据两个实数变量x，y的取值对不等式成立无影响，再结合全称命题的定义改写即可． 【详解】因对于任意实数x，y，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“，都有x2+y2≥2xy”. 故选：A 【变式01】存在量词命题“存在实数,使”可写成（    ） A．若，则 B． C． D．以上都不正确 【答案】C 【分析】将存在量词改写成“”即可得解； 【详解】解：存在量词命题“存在实数,使”可写成： 故选：C 【点睛】本题考查改写命题以及存在量词命题的理解，属于基础题. 【变式02】将“对任意实数恒成立”改写成符号形式为（    ）． A．， B．， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据全称量词用符号“”表示得选项. 【详解】因为全称量词用符号“”表示，所以A选项正确， 故选A． 【点睛】本题考查全称量词的符号表示，属于基础题. 题型03 全称量词和存在量词命题的否定 【典例01】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含量词命题的否定方法“改变量词，否定结论”即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 【变式01】命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知命题“”的否定为. 【变式02】命题“，使得”的否定为（    ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 【答案】A 【详解】命题“，使得”的否定为“，都有”. 题型04 判断全称量词与存在量词命题真假 【典例01】已知命题，，满足，则（   ） A．，都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．，都是假命题 【答案】B 【分析】举反例说明为假命题，解不等式判断. 【详解】当时，，所以命题为假命题； 由，解得，所以为真命题. 故选：B. 【变式01】已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题为真命题，结合选项，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以命题为假命题，则为真命题， 又由，解得或或，所以命题为真命题，则为假命题， 故选：B. 【变式02】有下列四个命题：①，；②，；③，；④，.其中真命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法逐一判断各选项即可. 【详解】对于①，，，则，①是真命题； 对于②，当时，，，②是假命题； 对于③，当时，，③是真命题； 对于④，当且仅当或时，，而，且，④是假命题， 所以真命题的序号是①③，共2个. 故选：B 题型05 根据全称量词命题真假求参数 【典例01】已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数的单调性及全称命题的真假计算即可. 【详解】由于该命题是真命题，则在上恒成立， 设函数，则． 因为，所以. 故选:A． 【变式01】已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以 【变式02】已知命题，，若命题是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意是真命题，可转化为，即得解 【详解】由题意，是真命题，则， 即 则实数a的取值范围是 故选：C 题型06 根据存在量词命题真假求参数 【典例01】若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原命题为真，利用存在性成立列不等式求解即可． 【详解】由于“，使得” 是真命题， 可得，使得成立， ，即， 故选：C 【变式01】若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解出即可求解. 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 【变式02】已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得“，”为真命题，即方程无解，分和讨论求解. 【详解】由题，可得“，”为真命题，即方程无解. 当时，方程无解； 当时，得，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 题型07 全称量词与存在量词综合运用 【典例01】已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，讨论、列不等式求参数范围； （2）法一：根据已知有，讨论集合中不等式的两个端点值与集合的关系列不等式求参数范围；法二：假设，讨论集合是否为空，求出对应的参数范围，再由及集合的补运算，求最终参数范围. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解． 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为命题“”是真命题，所以，则， 法一：所以，或，或， 解得，或，或， 所以实数的取值范围为． 法二：假设， 当，则，满足， 当，则，此时或，解得或， 所以时，或， 即命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 【变式01】已知集合. (1)若命题是假命题，求的取值范围； (2)若命题是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得命题的否定为真命题，分集合是否为空集进行讨论，根据集合关系求解即可； （2）由题意得，根据集合关系求解即可. 【详解】（1）因为命题是假命题，所以， 所以，解得，则， 若，则只需，即， 综上，m的取值范围为. （2）因为是真命题，所以， 所以，即解得， 此时， 所以只需满足即可，即. 故m的取值范围为. 【变式02】设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2). 【分析】（1）由补集运算即可求解； （2）由和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为， 所以或； （2）命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意， 当时，而，， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 题●型●巩●固 1.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择. 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 3.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（    ） A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的概念，改写命题，即可得答案. 【详解】命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2. 故选：D 4.命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“”的否定为. 5.命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【分析】,意为存在实数使得成立,故逐个选项判断即可. 【详解】“”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同， 但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确， 故选：C. 6.命题：“”的否定是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“”的否定为“”. 7.“关于x的不等式有解”等价于（    ） A．∃ ，使得成立 B．∃，使得 成立 C．∀，成立 D．∀，成立 【答案】A 【分析】根据存在性量词的命题即可求解. 【详解】“关于x的不等式有解”等价于“∃，使得成立”， 故选:A． 8.下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 【答案】D 【分析】根据反例可判断AB的正误，根据连续两个整数必有一个偶数可得判断C的正误，就的奇偶性讨论后可判断D的正误. 【详解】对于A，可以被5整除的整数，但末尾数字是，故A错误； 对于B，为偶数且为素数，故B错误； 对于C，因为必有一个偶数，故必为偶数，故C错误； 对于D，若，则，故不是4的倍数， 若，则，因为4的倍数， 故不是4的倍数， 故任意一个整数n，都不是4的倍数，故D正确. 故选：D. 9.下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可. 【详解】选项A：，因为恒成立，所以，即恒成立，故不存在实数使原式小于0，为假命题，A错误； 选项B：当时，，不满足，为假命题，B错误； 选项C：是整数集，自然数集是非负整数集，故为真命题，C正确； 选项D：一元二次方程的，方程无实数根，不存在实数使方程成立，为假命题，D错误. 故选：C. 10.设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 11.已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再由它们必有一真一假，即可根据真命题，结合判别式大于或等于零求解参数范围. 【详解】由是假命题， 则是真命题， 即， 所以实数的取值范围是， 故选：C 12.命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出命题的否定，即可得到，根据二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】命题“”的否定为， 因为为真命题，又，当且仅当时取等号， 即，所以，即实数的取值范围是. 故选：B 13.已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照集合是否为空集进行分类讨论； （2）根据运算即可. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. （2），使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 14.已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 全称量词与存在量词 基●础●知●识 一、全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示. 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题. 对集合中的任意一个成立（表示变量的取值范围）， 符号表示为：对. 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来. 如：命题“平行四边形对角线互相平分"理解为“所有平行四边形对角线都互相平分". 二、存在量词与存在量词命题 1、存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示. 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、"有的"等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题. 存在集合中的元素成立（表示变量的取值范围），简记为： 对. 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词， 但其意义具备"存在"、“有一个"等特征的命题都是存在量词命题 三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假. 四、命题的否定 1、命题的否定：对命题加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非”或的否定. 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：. 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：. 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然. 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定 不等式 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有个 题●型●破●译 题型01全称量词与存在量词命题的判断 【典例01】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【变式01】下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．直角三角形的内角是锐角或直角 B．至多有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【变式02】下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．每一个命题都能判断真假 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意实数，若，则 D．存在，使 题型02用全称量词与存在量词改写命题 【典例01】将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（　　） A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xy C．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 【变式01】存在量词命题“存在实数,使”可写成（    ） A．若，则 B． C． D．以上都不正确 【变式02】将“对任意实数恒成立”改写成符号形式为（    ）． A．， B．， C．，， D．，， 题型03 全称量词和存在量词命题的否定 【典例01】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式01】命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式02】命题“，使得”的否定为（    ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 题型04 判断全称量词与存在量词命题真假 【典例01】已知命题，，满足，则（   ） A．，都是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．，都是假命题 【变式01】已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式02】有下列四个命题：①，；②，；③，；④，.其中真命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型05 根据全称量词命题真假求参数 【典例01】已知命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式01】已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知命题，，若命题是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 根据存在量词命题真假求参数 【典例01】若“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式01】若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式02】已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型07 全称量词与存在量词综合运用 【典例01】已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【变式01】已知集合. (1)若命题是假命题，求的取值范围； (2)若命题是真命题，求的取值范围. 【变式02】设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 题●型●巩●固 1.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 3.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（    ） A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2 D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2 4.命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 5.命题“，”不可以表述为（    ） A．有一个，使得 B．对有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 6.命题：“”的否定是（        ） A． B． C． D． 7.“关于x的不等式有解”等价于（    ） A．∃ ，使得成立 B．∃，使得 成立 C．∀，成立 D．∀，成立 8.下列命题正确的是（    ） A．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0 B．任意一个偶数都不是素数 C．至少有一个整数n，使得是奇数 D．任意一个整数n，都不是4的倍数 9.下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 10.设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 11.已知，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13.已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 14.已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $