专题13 全等三角形模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义以“手拉手模型”为核心，通过“模型来源-真题呈现-提炼拓展-应用实践”的逻辑框架系统构建全等三角形知识体系，分类梳理双等边三角形、双等腰直角三角形等典型模型，用结构示意图呈现“共顶点、等顶角、SAS全等”的核心条件与结论，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于“真题引领+分层训练”的设计，以2024年山东泰安中考题引入模型应用，通过基础探究（如证明全等）、类比推理（如构造辅助线）、拓展延伸（如动态旋转问题）三级例题，结合“倒角技巧”“辅助线构造”等方法指导，培养推理能力与几何直观。基础生可掌握模型结论，优秀生能探究变式，助力教师实施精准分层教学，提升复习效率。

专题13 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 例2（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，；理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】初步把握： 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究： 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴．即， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 拓展延伸： 解：，；理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 例3（25-26八年级上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）①首先由得到，进而可求出； ②由全等三角形的性质得，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）① ， ， 在和中， ， ， ， ； ②作于点，如图所示： ， ， ∵若点为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 例4（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证， （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，以为端点引一条射线与射线相交于点，在射线上取点，使，请用含的式子表示． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）当点在射线上时，在的延长线上找一点E，使，设，同（2）的证明方法得出，推出，，由此得出；当点在线段上时，同样的方法求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等量代换） 即， 在和中 ∴． （2）解：∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：当点在延长线上时， 如图，在的延长线上找一点E，使， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 当点在线段上时， 如图，在上找一点E，使， ∵，， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和定理的应用，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向． 例5（25-26八年级上·河北邯郸·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． 【答案】（1）①见解析，②与之间的位置关系为，理由见解析；（2）他们的猜想正确，理由见解析；（3）的长度为3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． （1）①由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； ②由得到，再利用直角三角形的性质即可证明； （2）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （3）过点作，交的延长线于点，证明，根据性质得，利用三角形面积公式列式计算，从而求解； 【详解】解：（1）①证明：， ，即． 在和中， ， ； ②与之间的位置关系为； 理由：设与交于点． ， ． 在中，， ， 即， ， ，即； （2）他们的猜想正确： 证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）的长度为3． 如图2，过点作，交的延长线于点， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， （舍去）， ． 1.（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． （1）如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； （2）已知条件同（1），则； （3）如图2，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； （4）如图3，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的共有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形“手拉手”问题的解题思路是解题关键．根据等边三角形的性质证明，再进一步求解证明即可． 【详解】解：（1），均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中， ， ，结论正确； （2）， ， ， ， ，结论正确； （3）同理可证， ， ， 若， 则，即、、三点共线， 而题干中没有给出，无法证明，结论错误； （4）如图，在上取点，使得， 是等边三角形， 同理可证， ， ，结论正确； 结论正确的共有个， 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段检测）已知点C在线段上，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点N，连接与相交于点M，连接，则以下结论①；②；③；④是等边三角形，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质，证明，根据全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵点C在线段上， ∴，， ∴， ∴，；故①正确； ∵， ∴；故②正确； ∴， ∵， ∴是等边三角形，故④正确； ∵，， ∴， ∴；故③正确； 故选D 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下六个结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤平分；⑥；其中正确的结论个数是（　　）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质得，，，则，，即可根据“”证明，得，，可判断①正确；再推导出，可判断④正确；再证明，得，，可判断③正确；由，，证明是等边三角形，可判断②正确；因为，所以，可判断⑥正确；作于点，于点，由，得，则，即可证明平分，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行线的判定、角平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确； ， 故④正确； 在和中， ， ， ，， 故③正确； ，， 是等边三角形， 故②正确； ， ， 故⑥正确； 作于点，于点， ，，且， ， ， ， 点在的平分线上， 平分， 故⑤正确， 故选：A．    4．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质得出条件，可证明：，可判断①正确；利用得出，利用8字形可得，可判断②正确；证明，得，可判断③正确；由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形，可判断④正确，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，；故③正确； ∵，， ∴是等边三角形；故④正确． 故选：D． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）点为等边三角形内一点，分别以、为边作等边三角形、．如图，与交于点与交于点．则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质证明，，，再结合全等三角形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵等边三角形，等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意； 如图，延长交于， ∵为内动点， 根据现有条件无法得到，故C符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练的利用等边三角形的性质确定全等三角形是解本题的关键． 6．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，在锐角三角形外作等边三角形和等边三角形，则的大小为____________． 【答案】/120度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得到，，，则，再根据三角形全等的判定方法可证得，根据全等的性质得出，然后根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有________． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判定与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，，，故①正确，符合题意； ∵， ∴，故③正确，符合题意； 在和中，， ∴≌， ∴，，，故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形，故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中，， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线，故⑥正确，符合题意； 则正确的有①②③④⑤⑥． 故答案为：①②③④⑤⑥． 9．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为________． 【答案】或 【分析】证明，则，得到，则，求出，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为边向右侧作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、多边形内角和、等边对等角、等边三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 10．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，是线段上一动点（点不与，C重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为D，以为边向右侧作等边三角形．直线与交于点M，延长交于点F．则①；②；③；④．以上结论正确的序号是：_____． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线定义，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．①由等边三角形的性质可得，，，即可证，可得，即可判断②；由，得，结合，进而求出，再求出，利用三角形外角的性质可得，即可判断①；过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，可得，即可判断③；当点在中点时，两点重合，得到，即可判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 证明：如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 如图，当点在中点时， ∵是等边三角形， ∴两点重合， 此时，， ∴， ∴不一定相等，故④错误． 故答案为：①②③． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，C为线段上一动点（不与 A，B两点重合），在同侧分别作等边三角形 和等边三角形，连接 与 交于点F， 与 交于点G， 与交于点H，连接．有下列结论：．其中正确的是________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质可以得出，就可以得出，通过证明就可以得出，可以得出是等边三角形就可以得出，就可以得出，由就可以得出，就可以得出，根据而得出结论． 【详解】解：∵ 和 都是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴．故①正确； ∴． ∴ ． ∴是等边三角形． ∴， 即 ． ∴．故②正确； 又∵， ∴．故③错误； ∵， ∴．故④正确； ∵， ∴，即．故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键． 12．（24-25八年级上·全国·期中）如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当____时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键；先求出，，，分三种情况讨论：①，则，②，则，③，则，分别求出α的角度即可. 【详解】解：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ，，， 当时， ， ； 当时， ， ， ， 当时， ， ， ． 故答案为：或或． 13．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则①；②；③；④是等边三角形．其中，正确的结论有________________ 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，本题中求证和是解题的关键． 证明，可得①正确；即可求得，可得②错误；再证明，可得③正确和，即可证明④正确；即可解题． 【详解】解：∵和都是等边三角形 ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，①符合题意； ∴，， ， ∵， ∴，②不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，，③符合题意； ∵， ∴是等边三角形，④符合题意； 故答案为：①③④． 14．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，详见解析 (2)见解析 (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据题意得到证明，证明，得到，进而得到答案； （3）在线段上取一点H，使得，证明，得到，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，结合图形计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点D，点E在同一直线上； （3）解：结论：，理由如下， 如图3，在线段上取一点H，使得，设交于点O， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①利用即可证明；②延长交于F，设交于G，由全等三角形的性质可得，再导角可证明，据此可得答案； （2）①根据（1）②的结论可得答案；②同理可证明，则，由三线合一定理可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①∵与均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图所示，延长交于F，设交于G， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①同（1）②可证明， ∵A、E、D三点共线， ∴； ②，证明如下： 同理可证明， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵为中边上的高， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 【答案】(1)△， (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用证明△△，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明△△，得出，，然后利用直角三角形的性质即可得出； ②过点作于点，过点作延长线于点，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到△△，同理：△△，求得，根据全等三角形的性质得到． 【详解】（1）解：如图1中， 在△和△中， ， △△， ， ， ， 故答案为：△，； （2）①证明：△和△均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ； ②，理由如下： 过点作于点，过点作延长线于点， ，，， ， 在△中， ， ， ， 在△和△中， ， △△， 同理：△△， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 17．（24-25八年级上·广东湛江·阶段检测）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 18．（23-24七年级下·山东烟台·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明； （2）根据得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中，， ． （2）解：为等腰直角三角形．证明如下：                        由（1）知，， ， P，Q分别为，的中点， ， ， 在和中， ．               ．             ， ， ， 即， 为等腰直角三角形． 19．（25-26八年级上·全国·单元测试）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说道：“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图①，和中，，且．连接，这一图形称“手拉手模型”．易证，最适合这类三角形全等的判定定理是（    ） A．“”    B．“”    C．“”    D．“” (2)【模型指引】如图②，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使．求的度数．小亮同学通过观察，联想到“手拉手模型”，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图③，中，，为任意角度．若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸，仍在射线上取点D，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， 故选：B． （2）解：中，， ． ． ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． （3）解：． 理由如下：如图，在的延长线上找一点E，使． 设． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等边对等角等，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与性质． 20．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】[问题背景]（1）见解析；[变式探究]（2），，理由见解析；[拓展应用]（3），理由见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． [问题背景]（1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； [变式探究]（2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； [拓展应用]（3）如图3，延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】[问题背景] （1）证明：， ， ， 在和中， ， ， [变式探究] （2）解：，， 和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； [拓展应用] （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ． 21．（24-25八年级下·浙江·暑假作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)，，理由见解析． 【分析】（1）由，可证，根据全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解； （3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可． 【详解】（1）（1）解：， ， ， 在和中，， ， 故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：且， 理由如下： 如下图所示， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键 22．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，； 和是等腰三角形，，，， ∴， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ． 23．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)40 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（25-26八年级上·福建厦门·期中）【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）有最小值，最小值为2； 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点E作，交于点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：有最小值，最小值为2； 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 25．（23-24七年级下·广东深圳·期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． (2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②4 【分析】（1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出； ②利用①中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1中， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：①和均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ； ②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． 26．（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． (1)问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证． ①请你帮助小明证明． ②如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了．则_____ (2)类比探究 在图2的基础上，当时，如图3．根据上述思路判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握手拉手全等模型是解题的关键． （1）①根据等式的性质可得出，然后根据证明即可； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，则，根据证明，根据全等三角形的性质得出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）由（1）可知，得出，然后根据三角形的内角和定理可求出，即可得证． 【详解】（1）①证明： ． 在和中， ， ②解：，， 是等边三角形， ， 点，D、E在一条直线上， ， ． 在和中， ， ． 故答案为：； （2）解：． 理由：由（1）可知 ． 且 在与中 ， ． 27．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 【模型探究】 已知，在中，，点是外部一点，过点作射线． （1）如图1，若是等边三角形，经过内部，，求证：． 小宁的做法是：在上截取，构造“手拉手模型”，得出结论． 请你帮助小宁完成证明： 【模型应用】 （2）如图2，已知．当经过内，求的度数． 【拓展提高】 （3）如图3，已知．当在下方，求的度数． 【答案】（1）证明见解析部分；（2）；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）在上取一点，证明，得到，可求出答案； （3）在延长线上取一点，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ； （2）解：如图2，在上取一点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图3．在延长线上取一点，使得， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． 28．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）24 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定与性质，三角板中角度计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，则证明，即可作答． （2）与（1）同理证明，所以，；延长与交于点，所以，整理得，即； （3）过作交延长线于，过作交于，得出，结合，故，证明，因为点A到直线的距离为7，所以，，结合，得出，，故． 【详解】解：（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ∴，，， ∴， ∴； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，； 延长与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过作交延长线于，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 例2（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形： ； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 例3（25-26八年级上·浙江台州·期中）阅读下列材料完成下列问题 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，那么将它们的底角顶点分别对应连结起来，就可以得到一组全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 【基础巩固】 （1）请证明图1的结论成立； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B，D，E三点在同一条直线上，与相交于点F，且F恰好为的中点； ①求的度数．②若，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，，，请直接写出与的数量关系是________． 例4（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证， （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，以为端点引一条射线与射线相交于点，在射线上取点，使，请用含的式子表示． 例5（25-26八年级上·河北邯郸·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． 1.（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． （1）如图1，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则； （2）已知条件同（1），则； （3）如图2，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； （4）如图3，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则． 以上结论正确的共有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段检测）已知点C在线段上，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点N，连接与相交于点M，连接，则以下结论①；②；③；④是等边三角形，正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下六个结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤平分；⑥；其中正确的结论个数是（　　）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）点为等边三角形内一点，分别以、为边作等边三角形、．如图，与交于点与交于点．则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是__________． 7．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，在锐角三角形外作等边三角形和等边三角形，则的大小为____________． 8．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有________． 9．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为________． 10．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，是线段上一动点（点不与，C重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为D，以为边向右侧作等边三角形．直线与交于点M，延长交于点F．则①；②；③；④．以上结论正确的序号是：_____． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，C为线段上一动点（不与 A，B两点重合），在同侧分别作等边三角形 和等边三角形，连接 与 交于点F， 与 交于点G， 与交于点H，连接．有下列结论：．其中正确的是________．（填序号） 12．（24-25八年级上·全国·期中）如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当____时，是等腰三角形． 13．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则①；②；③；④是等边三角形．其中，正确的结论有________________ 14．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）探究等边三角形“手拉手”问题：所谓手拉手模型是指有公共顶点且顶角相等的两个等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等，因为顶点相连的有四条边，形象地可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型． (1)如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段上，且不与点B、点C重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，已知、均为等边三角形，连接，若，试说明点B，点D，点E在同一直线上； (3)如图3，已知点E在等边外，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，猜测线段三者之间的数量关系，并说明理由． 15．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）新定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，若与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图1，若与均为等腰直角三角形，， ①求证：； ②猜想：线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高， ①的度数为 ②线段之间的数量关系，并说明理由． 16．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）【手拉手模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，这种模型称为“手拉手模型”． (1)如图1，在△和△中，，，，连接、，当点落在边上，且、、三点共线时，与△全等的三角形是 ，的度数为 ． (2)如图2，已知△和△为等腰直角三角形，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②如图3，连接、，过点作，垂足为，垂线交于点，请你判断和的数量关系 ，并说明理由． 17．（24-25八年级上·广东湛江·阶段检测）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 18．（23-24七年级下·山东烟台·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明． 19．（25-26八年级上·全国·单元测试）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说道：“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图①，和中，，且．连接，这一图形称“手拉手模型”．易证，最适合这类三角形全等的判定定理是（    ） A．“”    B．“”    C．“”    D．“” (2)【模型指引】如图②，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使．求的度数．小亮同学通过观察，联想到“手拉手模型”，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图③，中，，为任意角度．若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸，仍在射线上取点D，使，试判断与的数量关系，并说明理由． 20．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 21．（24-25八年级下·浙江·暑假作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 22．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 23．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 24．（25-26八年级上·福建厦门·期中）【问题提出】（1）如图1，都是等边三角形，求证：； 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （2）等边三角形中，是边上一定点，若点在边上，以为一边作等边三角形，连接．求证，； （3）如图3，在中，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如果有，求出它的最小值：如果没有，请说明理由． 25．（23-24七年级下·广东深圳·期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． (2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 26．（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． (1)问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证． ①请你帮助小明证明． ②如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了．则_____ (2)类比探究 在图2的基础上，当时，如图3．根据上述思路判断线段与的位置关系，并说明理由． 27．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 【模型探究】 已知，在中，，点是外部一点，过点作射线． （1）如图1，若是等边三角形，经过内部，，求证：． 小宁的做法是：在上截取，构造“手拉手模型”，得出结论． 请你帮助小宁完成证明： 【模型应用】 （2）如图2，已知．当经过内，求的度数． 【拓展提高】 （3）如图3，已知．当在下方，求的度数． 28．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $