专题12 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义以“一线三等角（K字）模型”为核心，通过梳理模型来源、分类（同侧型/异侧型）及条件结论，用结构框架呈现全等三角形证明的知识脉络，突出角的关系、线段转化等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“真题引领-模型提炼-分层应用”的设计，如2023年山东聊城中考题直接应用模型证全等，重庆中考题通过构造等角突破解题，结合“找角、定线、构全等”步骤培养推理意识与几何直观。例题涵盖不同年级阶段，基础题巩固模型应用，压轴题提升综合能力，助力学生自主复习，也为教师精准分层教学提供支持。

专题12 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 例4（25-26七年级下·辽宁·期中）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 (1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则__________； 【类比】 (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 例5（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 例2（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 例3（25-26八年级上·重庆万州·期中）如图，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为．若，，则的长为_____．在此条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，苦，则的长为_____． 例4（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交于点，交延长线于点，则的长度为___________． 例5（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】 (2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·湖北·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，为边上的高，，把绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F，若，，则的长为________．    6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当________________秒时，与全等． 7．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，E为延长线上一点，．若，则的面积为_______．（用含a，b，c的式子表示） 8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，为等腰直角三角形，直角顶点D在线段上运动，当点D运动到中点时，的面积为________． 9．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，点在上，连接，，过点作交的延长线于点，若，则_____． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有________． 11．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，，连接，，则的长为________． 12．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，已知，，则的长为______． 13．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为______． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，与相交于点，交延长线于点，，，则的长为________． 15．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，连接，若，，则的长为______． 16．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 17．（2026七年级下·上海·专题练习）解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 18．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 (1)已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 (2)在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 19．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 20．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 21．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作直角三角形，其中． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为________． 22．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）如图，已知于D，于E，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． (3)取的中点F，连接，，猜想，的关系，并给予证明． 23．（22-23七年级上·吉林长春·期中）通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 24．（25-26八年级上·广西北海·期末）（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】校园广场的景观规划： 如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由． 25．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 （1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，并证明： ②若，，则_______； 【类比】 （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为________． 26．（25-26八年级上·广西贵港·期末）实践与探究 已知，在中，，点，，三点都在直线m上，． 【初步感知】（1）如图①，若，则，与的数量关系为______． 【变式探究】（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，将条件中“”改为“”．已知，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．当与全等时，求出相应的t与x的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：过点E作于F，由（1）知， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证出，根据证明，得出，，从而可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 例2（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】过点A作于M，再过点D作边上的高，证明，可得，再用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于M，再过点D作边上的高， 在中，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）． 例3（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【答案】 【分析】过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，证明，，得到，，，，证明，得到，根据得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于P，过点E作交的延长线于Q， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证 ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例4（25-26七年级下·辽宁·期中）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 (1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则__________； 【类比】 (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 即（该数量关系的变形也可）； (3) 【分析】（1）根据全等三角形求出，进而即可求出； （2）先证明，再结合全等三角形性质分析推理，即可得出线段，，的之间的数量关系； （3）过点作的延长线于点，由（2）同理可证，结合全等三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ； （2）略 （3）解：过点作的延长线于点， 由（2）同理可证：， ， ， 的面积为：． 例5（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】(1)解：且 理由: 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，，三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用SAS判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解答关键是构造一线三垂直模型得到全等三角形． 由题意，设，则，过点作，交的延长线于点，证明得到，再证明，得到，再利用三角形面积公式表示化简即可． 【详解】解：由，设，则， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 例2（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 例3（25-26八年级上·重庆万州·期中）如图，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为．若，，则的长为_____．在此条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，苦，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 根据已知条件可证明，得到，，用线段的和差关系求出的长，即为的长，作于点，证明，得到，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 作于点，如下图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，． 例4（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交于点，交延长线于点，则的长度为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质．过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，证明，得出，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点P，设交于点T，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例5（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】 (2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)，理由如下： ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据中线的定义得，再结合、，即可由证明； （2）由（1）知，则，再证明，则，然后由，等量代换即可得出结论； （3）先证明得，，再证明，得，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）略 （3）略 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 2．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键． 根据已知得到，根据三角形的外角性质即可得到，判断①；根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形性质即可得到，判断②；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，判断③；证明，可得，得到，判断④． 【详解】解：①∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故①正确； ②∵D为中点，， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ③∵， ∴， ∴ ， ∵为等腰三角形， ∴当时， ∴ ， ∵ ， ∴； 当时， ∴， ∴ ， ∴或 故③错误； ④∵， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故④正确， 综上所述正确的有①②④，共3个． 故选：C． 3．（25-26八年级上·湖北·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键． 先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：C． 4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． （1）若，，则的长为_____； （2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余及利用三角形面积公式求线段长度． （1）利用证明，进而通过已知条件利用全等三角形的性质求得的长度； （2）过点N作交直线l于点G，利用证明，得出，利用三角形面积公式求得的长度，进而根据线段的和差关系求出结果． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴； 如图，过点N作交直线l于点G， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，为边上的高，，把绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F，若，，则的长为________．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质及利用三角形面积求线段长度．过点D作交的延长线于点G，利用三角形内角和定理得出，再由旋转的性质可知，证明，得到，，通过，，得出为等腰直角三角形，进而得出，则，再证明，此时点F为，中点，设，则，利用得出相关线段的表达式，最后列出方程求解x的值，即可得出的长度． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点G，    ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ，，即点F为，中点， ∵， ∴设，则， ∴，，，则，， ∵， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当________________秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，分点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ，， 当，则， ，解得：． ③如图3，当Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 7．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，E为延长线上一点，．若，则的面积为_______．（用含a，b，c的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点A作于点F，过点C作于点G，证明，由全等三角形的性质得出．得出、，由等腰直角三角形的性质可得出，即；再根据求解即可． 【详解】解：如图：过点A作于点F，过点C作于点G， ∴． 又∵， ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，为等腰直角三角形，直角顶点D在线段上运动，当点D运动到中点时，的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 通过作辅助线构造全等三角形，将的面积转化为可计算的图形面积，利用等腰直角三角形和中点的性质求解． 【详解】解：过点作，交的延长线于点 ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵，是中点， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 9．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，点在上，连接，，过点作交的延长线于点，若，则_____． 【答案】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，同时还考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，学会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 本题中，先过点作，交于，利用证明得到的值，并利用等腰三角形的性质得到的值，最后求得的值． 【详解】解：过点作，交于，如图， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有________． 【答案】 【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出，则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确． 【详解】解∶ ， ，即． 在和中 ． ，故正确； 设与交于O， ， ， ，， ． 与的所交角等于． ，故②正确； 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ． ，． 在和中 ． ，． 同理． ，． ． ．，， ． 在和中 ． ． ．故④正确； ， ．故③正确． ， ，， ，故⑤正确． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，，连接，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、三角形面积公式是解题的关键． 过点作交延长线于点，证明，则，所以，即可求． 【详解】解：过点作交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，已知，，则的长为______． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，要根据证明是解题的关键． 根据证明，再利用其性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为______． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：6 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，与相交于点，交延长线于点，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，合理做出辅助线是解题的关键． 过点作于点，利用角的等量代换证出为等腰三角形，得到，再判定出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，连接，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据条件证明，得出相等的边，再证明，得出，利用线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 则， 又∵， ∴， ， ∴， 即， 故答案为：2． 16．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）先通过角的推导证明， 得， 则，再证明， 得，求得的值，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（2026七年级下·上海·专题练习）解决问题 (1)如图1，为等边三角形，，，求证：； (2)如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； (3)如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）解：； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． （3）解：， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 18．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 (1)已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 (2)在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①　　　②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）容易得到，，推出，即可证明结论； （2）①容易得到，，推出，证得，得到；②分三种情况讨论：当点在上运动时，当点在的延长线上运动且点在线段上时，当点在的延长线上运动且点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴． 在和中 ，，， ∴． （2）解：①∵， ∴，． ∴． 在和中， ，，． ∴． ∴． ∴． ②（Ⅰ）当点在上运动时，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． 设，则，，． ∴． ∵， ∴，即． 解得（舍去）． （Ⅱ）当点在的延长线上运动，且点在线段上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． （Ⅲ）当点在的延长线上运动，且点在线段的延长线上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． 综上所述，或． 19．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等， 对于（1），①根据“同角的余角相等”得，再根据“角角边”可得答案； ②根据全等三角形的对应边相等得出，再根据得出答案； 对于（2），先根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（3），仿照上述过程解答即可． 【详解】（1）证明：①∵， ∴． ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴； ②由①得， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 由上述可知， ∴, ∴． 20．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 21．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作直角三角形，其中． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为________． 【答案】(1)点Q到直线AC的距离为1； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，点在射线上运动过程中，点在射线上运动，分2类情况讨论：①若点在线段上；②若点在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为1． （2）解：作交直线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由图可知，点在射线上运动过程中，点在射线上运动， 下面分2类情况讨论： 若点在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 若点在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ∴，， ∴， 解得： ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 22．（25-26八年级上·重庆綦江·期末）如图，已知于D，于E，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． (3)取的中点F，连接，，猜想，的关系，并给予证明． 【答案】(1)详见解析 (2)3 (3)，，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据已知得，，即可推出，再根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，，再根据求解即可； （3）延长交于G，证明，得，，由（1）得，则，，即，再根据等腰三角形的性质得． 【详解】（1）证明：∵于D，于E，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∴； （3）解：结论，，理由如下： 如图，延长交于G， ∵点F是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 23．（22-23七年级上·吉林长春·期中）通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】【模型呈现】证明见解析；【模型应用】50；【深入探究】63 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，不规则面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【模型呈现】根据角角边的证明方法证明与全等即可得证； 【模型应用】由上一问同理可证，，，由此可求解边的长度，再由五边形的面积为梯形的面积减去四个三角形的面积求解即可； 【深入探究】添加辅助线，构造全等三角形，再证明与全等，由此可得，再根据边长的关系求解边长，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】【模型呈现】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【模型应用】解：由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， ∴， ∴梯形的面积为， ，， ∴五边形面积为； 故答案为：50； 【深入探究】解：过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，如图④， 由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：63． 24．（25-26八年级上·广西北海·期末）（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】校园广场的景观规划： 如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由． 【答案】（1）；（2），详见解析；（3）为直角三角形，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据证明，则可得，，进而可得． （2）由，可得．根据可得，则可得，由，可得，进而可得； （3）过点作，交的延长线于点，由（1）结论可得，，进而可得，，又由，，可得，进而可得，符合要求． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2），理由如下， ∵，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）为直角三角形，理由如下： 过点作，交的延长线于点， ∴， 又∵，， 同（1）可得， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴符合要求，是直角三角形． 25．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 （1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，并证明： ②若，，则_______； 【类比】 （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为________． 【答案】（1）9；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）由得，，进而得出结果； （2）由“”可证，从而得出，，进一步得出结论； （3）由（2）得：，进而求得，和的面积，进而得出结果． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：9； （2），理由如下： ∵． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴； ∴； （3）解：如图，过点C作于点G， 由（2）得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 26．（25-26八年级上·广西贵港·期末）实践与探究 已知，在中，，点，，三点都在直线m上，． 【初步感知】（1）如图①，若，则，与的数量关系为______． 【变式探究】（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，将条件中“”改为“”．已知，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．当与全等时，求出相应的t与x的值． 【答案】（1）；（2）成立．理由见解析；（3），或， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先根据三角形外角性质，证明，即可证明，可得，，即得答案； （2）同（1）的方法，证明，可得，，即得答案； （3），则，， ①当时，则有，所以，，据此列方程求解即可； ②当时，则有，所以，，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1），， ， 而， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． （2）成立； 理由：， 而， ， ，， ， ，， ； （3）依题意得，则，， ，， 与全等时，有两种情形： ①当时，则有， ，， 即，， ，； ②当时，则有， ，， ，， ，， 综上所述，当与全等时， ，或，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $