4.2 平行四边形及其性质 暑期练习 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 浙教版2024八年级下册暑期同步练，聚焦平行四边形性质，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一性质到多性质综合的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|对角相等、对边相等、平行线间线段等单一性质|选择/填空题直接应用性质，如已知∠A+∠C求∠B| |能力提升|性质简单综合，如结合角平分线与平行关系|解答题含1-2问，如利用周长与高求线段长| |综合应用|多性质综合及证明，如对角线与垂直关系|证明题需辅助线构造，如证ED=AE+EC，培养逻辑推理|

浙教版（2024）八年级下册暑期巩固 专题5平行四边形及其性质 平行四边形的对角相等 1、已知在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠B的度数是（　　） A.140° B.120° C.110° D.70° 2、如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB交BC于点E，∠D＝112°，则∠AEC＝（　　） A.34° B.68° C.136° D.146° 3、如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α的度数为　　°. 4、如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F. (1)若∠A＝2∠CDF，求∠EDF的度数. (2)若▱ABCD的周长为36，DE＝5，DF＝10，求CF的长. 5、在▱ABCD中，∠ABC＝45°，对角线AC⊥CD. (1)如图1，若AD＝6，求▱ABCD的面积． (2)如图2，连结BD交AC于点O，过点A作AE⊥BD于点E，连结EC.求证：ED＝AE＋EC. 利用平行四边形的对边相等求线段长 1、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE.若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为(　　) A.28     B.24 C.21     D.14 2、如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．AD＝6，AB＝3，∠A＝120°则BF的长是（　　） A.2 B. C.3 D. 3、已知在▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线分别交直线AD于点E，F，AB＝5.若EF＞4，则AD的取值范围是____. 4、已知：如图，O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE＝BF. 5、如图，在▱ABCD中，点E为边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）若AD＝5，求BF的长． 夹在两平行线间的平行线段相等 1、夹在两条平行线之间的平行线段的大小关系是　 　． 2、如图，AB和CD是夹在两平行线l1、l2之间的平行线段，则AB　 　CD．（填“＞”或“＜”或“＝”） 3、在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的上的点，且∠BED＝∠BAF，连接AF、CE．请你猜想：线段AF与线段EC有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明． 4、证明：夹在两条平行线间的平行线段相等． 夹在两平行线间的垂线段相等 1、如图，已知l1∥l2，那么下列式子中不正确的是（　　） A.＝ B.＝ C. D.＝S△BOC 2、如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为(　　) A.4     B.3 C.    D.2 3、如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD和AB上，依次连结EB，EC，FC，FD，阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1＝2，S2＝17，S3＝5，则S4＝　　. 4、如图，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中面积相等的三角形共有　 　对． 两平行线间的距离 1、如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（　　） A.AB∥PC B.△ABC的面积等于△BCP的面积 C.AC＝BP D.△ABC的周长等于△BCP的周长 2、如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（　　） A.25 B.50 C.50 D.25 3、如图，在▱ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N，AF＝12，EM＝5.若AD＝15，则直线AB与CD之间的距离为 　. 4、如图，直线a∥b，点A、B位于直线a上，点C、D位于直线b上，且AB：CD＝1：2，若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为　  　． 5、如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,连结AC,点E在BC边上,点F在AB边上,且∠DAC=∠BEF。 (1)求证:EF∥AC。 (2)若AB=3,AC=4,BC=5。求AD与BC之间的距离。 利用平行四边形的对角线互相平分求解 1、如图，▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（　　） A.3 B.6 C.12 D.24 2、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．已知AB＝4，AC＝10，△AOB的周长是11．则对角线BD的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 3、如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，已知△BOC得周长为9，BD＝6，AC＝4，则AD等于（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 4、如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BC。若AC=4,AB=5,则对角线BD的长为　　　　。 5、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,且BC⊥AC,AB=8,∠ABC=30°。 (1)求AD的长。 (2)求BD的长。 综合利用平行四边形的性质解答 1、如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连结AF,CE,有下列结论:①CF＝AE;②OE＝OF;③DE＝BF;④图中共有10对全等三角形.其中正确的是(　　) A.③④    B.①②③ C.①②④    D.①②③④ 2、如图,P为▱ABCD内一点,过点P分别作AB,AD的平行线,交平行四边形各边于E,F,G,H四点。若S四边形AHPE=3,S四边形PFCG=5,则S△DPB=() 　　　　　 A.0.5    B.1    C.1.5    D.2 3、下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　) A. 邻角互补 B. 对角互补 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 4、如图，▱ABCD的周长为22 cm，对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线交边AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为　　cm. 5、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线BD上的两个点，且∠BCE＝∠DAF，求证：OE＝OF． 6、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上． （1）若AC＝AD，∠CAD＝50°，求∠BCD的度数； （2）若四边形EHFG是平行四边形，求证：AE＝CF． 浙教版（2024）八年级下册暑期巩固 专题5平行四边形及其性质 （参考答案） 平行四边形的对角相等 1、已知在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠B的度数是（　　） A.140° B.120° C.110° D.70° 【答案】C 【解析】根据平行四边形对角相等即可求出∠A，进而可求出∠B． 在▱ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝140°， ∴∠A＝∠C＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠A＝110°， 故选：C． 2、如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB交BC于点E，∠D＝112°，则∠AEC＝（　　） A.34° B.68° C.136° D.146° 【答案】D 【解析】由平行四边形的性质得AD∥BC，∠B＝∠D＝112°，则∠DAE＝∠BEA，而∠DAE＝∠BAE，所以∠BEA＝∠BAE＝34°，则∠AEC＝180°﹣∠BEA＝146°，于是得到问题的答案． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠B＝∠D＝112°， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD且交BC于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE＝×（180°﹣112°）＝34°， ∴∠AEC＝180°﹣∠BEA＝180°﹣34°＝146°， 故选：D． 3、如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α的度数为　　°. 【答案】 30 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＋∠C＝180°，∠β＝120°－50°＝70°， ∴∠α＝180°－(540°－70°－140°－180°)＝30°. 4、如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F. (1)若∠A＝2∠CDF，求∠EDF的度数. (2)若▱ABCD的周长为36，DE＝5，DF＝10，求CF的长. 【答案】 解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C. ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°， ∴∠C＋∠CDF＝90°. ∵∠C＝∠A＝2∠CDF，∴3∠CDF＝90°， ∴∠CDF＝30°，∴∠A＝∠C＝60°， ∴∠B＝180°－∠C＝120°. 在四边形DEBF中，∠EDF＝360°－∠EDF－∠DEB－∠BFD＝60°. (2)如答图，连结BD. 答图 ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴AB＋BC＝18，AB＝CD. 设AB＝x，则BC＝18－x. ∵S△ABD＝S△BCD， ∴×x×5＝×(18－x)×10， ∴x＝12，∴AB＝CD＝12. ∵∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝6. 5、在▱ABCD中，∠ABC＝45°，对角线AC⊥CD. (1)如图1，若AD＝6，求▱ABCD的面积． (2)如图2，连结BD交AC于点O，过点A作AE⊥BD于点E，连结EC.求证：ED＝AE＋EC. 【答案】 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠ABC＝45°. ∵AC⊥CD， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AC＝CD＝AD＝3， ∴S▱ABCD＝AC·CD＝18. (2)如答图，过点C作CF⊥CE，交BD于点F，则∠FCE＝90°. 答图 ∵AC⊥CD，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABD＝∠CDB， ∴∠ECA＋∠ACF＝∠ACF＋∠FCD， ∴∠ECA＝∠FCD. ∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°， ∴∠ABD＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAC， ∴∠EAC＝∠ABD， ∴∠EAC＝∠CDF. ∵AC＝CD， ∴△AEC≌△DFC(ASA)， ∴AE＝DF，EC＝FC. 又∵∠FCE＝90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF＝EC， ∴ED＝DF＋EF＝AE＋EC. 利用平行四边形的对边相等求线段长 1、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE.若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为(　　) A.28     B.24 C.21     D.14 【答案】D 【解析】 ∵平行四边形的对角线互相平分，OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD，∴BE＝DE， ∴△ABE的周长＝AB＋AD，即▱ABCD的周长的一半， ∴△ABE的周长为14. 2、如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．AD＝6，AB＝3，∠A＝120°则BF的长是（　　） A.2 B. C.3 D. 【答案】C 【解析】根据平行线的性质得到∠CDE＝∠F，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠F＝∠ADF，根据等腰三角形的判定定理即可得到AD＝AF；再进一步可得答案． 证明：在▱ABCD中，AB∥CD， ∴∠CDE＝∠F， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠F＝∠ADF， ∴AD＝AF＝6． ∵AB＝3， ∴BF＝AF﹣AB＝3； 故选：C． 3、已知在▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线分别交直线AD于点E，F，AB＝5.若EF＞4，则AD的取值范围是____. 【答案】 0＜AD＜6或AD＞14 【解析】 分两种情况讨论： ①若点E在点F右边，如答图1. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD＝AB＝5， ∴∠AEB＝∠EBC. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝5. 同理，DF＝CD＝5， ∴AD＝AE＋DF－EF＝10－EF. ∵EF＞4，∴0＜AD＜6； 答图 ②若点E在点F左边，如答图2. 同理，AD＝AE＋EF＋FD＝10＋EF. ∵EF＞4，∴AD＞14. 综上所述，0＜AD＜6或AD＞14. 4、已知：如图，O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE＝BF. 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC. ∵O为对角线AC的中点， ∴AO＝CO. 在△AOE和△COF中， ∵ ∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF， ∴AD－AE＝BC－CF，∴DE＝BF. 5、如图，在▱ABCD中，点E为边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）若AD＝5，求BF的长． 【答案】解：（1）证明：∵E是边CD的中点， ∴DE＝CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BF， ∴∠D＝∠DCF， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝5， ∵△ADE≌△FCE， ∴AD＝CF＝5， ∴BF＝BC+CF＝5+5＝10． 夹在两平行线间的平行线段相等 1、夹在两条平行线之间的平行线段的大小关系是　 　． 【答案】相等． 【解析】两条平行线间的平行线段构成的图形是平行四边形，两线段是四边形的一组对边，故相等； 根据题意可知，两条平行线之间夹两平行线段，故该图形是以两组平行线组成的平行四边形，故夹在两平行线之间的平行线段相等． 故答案为：相等． 2、如图，AB和CD是夹在两平行线l1、l2之间的平行线段，则AB　 　CD．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】＝． 【解析】由题可知四边形ABCD是平行四边形，从而得出AB＝CD． ∵l1∥l2，AB∥CD， ∴ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD 故答案为：＝． 3、在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的上的点，且∠BED＝∠BAF，连接AF、CE．请你猜想：线段AF与线段EC有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明． 【答案】解：猜想：AF＝CE，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D， ∵∠BED＝∠BAF， ∴AF∥CE， ∴AF＝CE． 4、证明：夹在两条平行线间的平行线段相等． 【答案】解：已知：如图，直线l1∥l2，AB、CD是l1、l2，之间的两条平行线段. 求证：AB=CD. 证明：∵l1∥l2，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD（平行四边形的对边相等）． 夹在两平行线间的垂线段相等 1、如图，已知l1∥l2，那么下列式子中不正确的是（　　） A.＝ B.＝ C. D.＝S△BOC 【答案】D 【解析】根据夹在两平行线之间的垂线段相等和三角形的面积公式分别判断即可． A、∵l1∥l2， ∴△A1BC和△A2BC同底、等高， ∴S△A1BC＝S△A2BC，故不符合题意； B、∵l1∥l2， ∴△BA1A2和△CA1A2同底、等高， ∴S△BA1A2＝S△CA1A2，故不符合题意； C、∵S△A1BC＝S△A2BC， ∴S△A1BC﹣S△OBC＝S△A2BC﹣S△OBC， ∴S△A1BO＝S△A2CO，故不符合题意； D、∵△A1OA2和△BOC不同底、不等高， ∴S△A1OA2≠S△BOC，故符合题意； 故选：D． 2、如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为(　　) A.4     B.3 C.    D.2 【答案】B 【解析】 在▱ABCD中，S△ABC＝S▱ABCD. ∵DE⊥AB，BF⊥AC， ∴AC·BF＝·AB·DE， ∴8BF＝6×4，解得BF＝3. 3、如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD和AB上，依次连结EB，EC，FC，FD，阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1＝2，S2＝17，S3＝5，则S4＝　　. 【答案】 10 【解析】 设平行四边形的面积为S，则S△CBE＝S△CDF＝S， 由图形可知，S△CDF＋S△CBE＋(S1＋S4＋S3)－S2＝S， ∴S＝S△CBE＋S△CDF＋2＋S4＋5－17， 即S＝S＋S＋2＋S4＋5－17，解得S4＝10. 4、如图，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中面积相等的三角形共有　 　对． 【答案】3. 【解析】根据 两平行线间的距离 1、如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（　　） A.AB∥PC B.△ABC的面积等于△BCP的面积 C.AC＝BP D.△ABC的周长等于△BCP的周长 【答案】B 【解析】根据平行线间的距离处处相等进行解答即可． AB不一定平行于PC，A不正确； ∵平行线间的距离处处相等，∴△ABC的面积等于△BCP的面积，B正确； AC不一定等于BP，C不正确； △ABC的周长不一定等于△BCP的周长，D不正确， 故选：B． 2、如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝50mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（　　） A.25 B.50 C.50 D.25 【答案】D 【解析】过点A作AC⊥l2于点C，证明∠BAC＝∠ABC，所以AC＝BC，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即可解答． 如图，过点A作AC⊥l2于点C， ∵直线l1∥l2，AC⊥l2， ∴∠DAC＝90°， ∵∠DAB＝135°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝45°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝∠ABC， ∴AC＝BC， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 2AC2＝502， ∴AC＝25． ∴两平行线l1和l2之间的距离为25． 故选：D． 3、如图，在▱ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N，AF＝12，EM＝5.若AD＝15，则直线AB与CD之间的距离为 　. 【答案】 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，AB∥CD， ∴∠NAF＝∠MCE. ∵BM⊥AC，DN⊥AC， ∴∠AFN＝∠CEM＝90°， ∴∠NAF＋∠ANF＝∠MCE＋∠CME＝90°， ∴∠ANF＝∠CME， ∴△ADN≌△CBM(AAS)， ∴AN＝CM，∴△AFN≌△CEM(ASA)， ∴FN＝EM＝5. 又∵AF＝12， ∴AN＝＝13. 如答图，过点D作DG⊥AB于点G. 答图 ∵在Rt△AFD中，AD＝15，AF＝12， ∴DF＝＝9， ∴DN＝DF＋FN＝14. 又∵S△ADN＝AF·DN＝AN·DG， ∴DG＝，即直线AB与CD之间的距离为. 4、如图，直线a∥b，点A、B位于直线a上，点C、D位于直线b上，且AB：CD＝1：2，若△ABC的面积为6，则△BCD的面积为　  　． 【答案】12． 【解析】根据两平行线间的距离处处相等，结合三角形的面积公式，知△BCD和△ABC的面积比等于CD：AB，从而进行计算． 过C作CM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图， ∵a∥b， ∴CM＝BN， ∴S△ABC＝BA•CM，S△CDB＝CD•BN， ∴S△ABC：S△CDB＝AB：CD＝1：2， ∵△ABC的面积为6， ∴△BCD的面积为12， 故答案为：12． 5、如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,连结AC,点E在BC边上,点F在AB边上,且∠DAC=∠BEF。 (1)求证:EF∥AC。 (2)若AB=3,AC=4,BC=5。求AD与BC之间的距离。 【答案】 解:(1)∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB。 ∵∠DAC=∠BEF,∴∠BEF=∠ACB, ∴EF∥AC。 (2)∵AB=3,AC=4,BC=5, ∴AB2+AC2=BC2, ∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°。 设点A到BC的距离为h。 ∵△ABC的面积=BC·h=AB·AC, ∴5h=3×4, ∴h=2.4, ∴AD与BC之间的距离为2.4。 利用平行四边形的对角线互相平分求解 1、如图，▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（　　） A.3 B.6 C.12 D.24 【答案】C 【解析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可． 如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD， ∴∠OBE＝∠ODH， 又∵∠BOE＝∠DOH， ∴△OBE≌△ODH（ASA）， 同理：△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB， ∴S阴影＝S△BCD， ∴S△BCD＝S平行四边形ABCD＝×6×4＝12． 故选：C． 2、如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．已知AB＝4，AC＝10，△AOB的周长是11．则对角线BD的长为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】由平行四边形的性质可得AO＝OC＝5，BO＝DO，即可求解． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC＝5，BO＝DO， ∵△AOB的周长是11， ∴AB+BO+AO＝11， ∴BO＝11﹣5﹣4＝2， ∴BD＝4， 故选：B． 3、如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，已知△BOC得周长为9，BD＝6，AC＝4，则AD等于（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，进而利用三角形周长解答即可． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，BC＝AD， ∵△BOC得周长为9，BD＝6，AC＝4， ∴OB＝3，OC＝2， ∴BC＝9﹣3﹣2＝4， ∴AD＝4， 故选：B． 4、如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BC。若AC=4,AB=5,则对角线BD的长为　　　　。 【答案】 2 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,AC=4,AB=5, ∴OD=OB,OC=OA=AC=2。 ∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°, ∴BC===3, ∴OB===, ∴BD=2OB=2。 5、如图,已知四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,且BC⊥AC,AB=8,∠ABC=30°。 (1)求AD的长。 (2)求BD的长。 【答案】 解:(1)∵BC⊥AC,AB=8,∠ABC=30°, ∴AC=AB=4。 在Rt△ABC中,BC===4。 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC=4。 (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OD=BD,OA=AC=2。 在Rt△AOD中,OD==2, ∴BD=2OD=4。 综合利用平行四边形的性质解答 1、如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连结AF,CE,有下列结论:①CF＝AE;②OE＝OF;③DE＝BF;④图中共有10对全等三角形.其中正确的是(　　) A.③④    B.①②③ C.①②④    D.①②③④ 【答案】B 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB＝CD,AD＝BC,OB＝OD,S△BCD＝S△ABD. ∵AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F, ∴CF∥AE,S△BCD＝BD•CF,S△ABD＝BD•AE, ∴CF＝AE,∴四边形CFAE是平行四边形, ∴OE＝OF,①②正确. 又∵OB＝OD,∴DE＝BF,③正确. 易得△CDF≌△ABE,△CFO≌△AEO,△CEO≌△AFO,△CBE≌△ADF,△CDO≌△ABO,△CFE≌△AEF,△COB≌△AOD,△CDE≌△ABF,△CBF≌△ADE,△DCB≌△BAD,△ADC≌△CBA,△CFA≌△AEC,共12对全等三角形,④错误. 综上所述,正确的是①②③. 2、如图,P为▱ABCD内一点,过点P分别作AB,AD的平行线,交平行四边形各边于E,F,G,H四点。若S四边形AHPE=3,S四边形PFCG=5,则S△DPB=() 　　　　　 A.0.5    B.1    C.1.5    D.2 【答案】B 【解析】 显然四边形EPGD,GPFC,AHPE,PHBF均为平行四边形, ∴S△DEP=S△DGP=S▱DEPG, ∴S△PHB=S△PBF=S▱PHBF。 又∵S△ADB=S△EPD+S▱AHPE+S△PHB+S△DPB,① S△BCD=S△PDG+S▱PFCG+S△PFB-S△DPB。② ①-②,得0=S▱AHPE-S▱PFCG+2S△DPB, 即2S△DPB=5-3=2, ∴S△DPB=1。 3、下列性质中，平行四边形不一定具备的是(　　) A. 邻角互补 B. 对角互补 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 【答案】B 4、如图，▱ABCD的周长为22 cm，对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线交边AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为　　cm. 【答案】 11 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO. 又∵EO⊥AC，∴AE＝CE. ∵▱ABCD的周长为22cm， ∴2(AD＋CD)＝22cm， ∴AD＋CD＝11cm， ∴△CDE的周长＝CE＋DE＋CD＝AE＋DE＋CD＝AD＋CD＝11cm. 5、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线BD上的两个点，且∠BCE＝∠DAF，求证：OE＝OF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，BO＝DO，BC∥AD， ∴∠CBE＝∠ADF， 在△BCE和△DAF中， ， ∴△BCE≌△DAF（ASA）， ∴BE＝DF， ∴BO﹣BE＝DO﹣DF， ∴OE＝OF． 6、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上． （1）若AC＝AD，∠CAD＝50°，求∠BCD的度数； （2）若四边形EHFG是平行四边形，求证：AE＝CF． 【答案】解：（1）∵CA＝AD，∠CAD＝50°， ∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣50°）＝65°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°； （2）证明：∵四边形EHFG和四边形ABCD是平行四边形， ∴OE＝OF，OA＝OC， ∴OA﹣OE＝OC﹣OF， 即AE＝CF． 学科网（北京）股份有限公司 $