福建泉州市培元中学2025-2026学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题（模拟一）

泉州市培元中学高一数学期末模拟卷（一） 本试卷共19题，满分150分，共4页. 考试用时120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. , C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意集合 ，， 则 ， 故选：A 2 已知角终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上一点的坐标，结合正切函数的定义，即可得答案. 【详解】由题意知角终边上有一点， 故， 故选：B 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由作差法逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：C. 4. 若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解. 【详解】由题意函数 与函数 互为反函数， 所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点， 对比选项可知A符合题意. 故选：A. 5.下列函数中，既是奇函数又是增函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性,一一判断各选项中的函数性质，即可得答案. 【详解】对于A，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，且为偶函数， 不符合题意； 对于C，设，定义域为R，满足， 故函数为奇函数； 当时，在上单调递减，且， 当时，在上单调递减，且， 故在R上单调递减，不符合题意； 对于D，设，定义域为R，且满足， 故为奇函数； 又在R上单调递增，在R上单调递减， 故在R上单调递增，D正确， 故选：D 6. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由平方关系以及商数关系化简求解即可. 【详解】由题意，所以， 化简得，因，所以， 所以，解得. 故选：B. 7. 若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值； 又因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 结合题意可得，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 8. 将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. 若对于任意，总存在唯一的. 使得 ，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】 【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解. 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 由图可知，，所以. 故答案为：A.. 【点睛】关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得满分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量在8月份随时间（单位：日，）的变化近似地满足函数，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7日达到最高数量900，则（ ） A. B. C. 8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少 D. 8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得函数最小正周期，即可求得，判断A；结合函数的最值可确定的值，判断B；结合函数的单调性以及周期，可判断C；根据函数最小值求出，可得函数解析式，由题意列出不等式，求得t的范围，结合k的取值，即可判断D. 【详解】不妨设8月1日时为，则设T为最小正周期，则， 即，A正确； 又，B错误； 因为函数的最小正周期为12，所以种群数量从8月13日至19日逐渐增加， 从8月19日至25日逐渐减少，C错误； 由以上分析可知， 当时，y取到最小值100，即， 故， 则， 令，则， 则，即， 故或或，共13天，D正确， 故选：AD 10. 定义在上奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 2是的一个周期 C. 是的一个对称中心 D. 为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由奇函数性质得；对于B，首先得，进一步有以及，由此即可判断；对于C，由对称轴、对称中心即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足，所以，故A正确； 且，所以，即的周期是4，不是2，故B错误； 因为，所以的对称轴为， 又为的一个对称中心，所以是的一个对称中心，故C正确； 因为，所以，即为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 11 已知，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数运算，结合基本不等式即可判断A；结合对数运算，利用基本不等式可判断B；将化为关于x的二次函数，结合二次函数性质可判断是C；通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可判断D.. 【详解】对于A，由于，故， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 即的最小值为 ，A正确； 对于B，由于，，则， 当且仅当时，等号成立， 故，即的最大值为，B正确； 对于C，又，得， 故 由于，而对称轴为， 则在上单调递减，在上无最值，C错误； 对于D，令，则， 故， 由于，故， ， 则， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 所以， 即的最小值为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题考查了基本不等式的应用，主要是求最值问题，难点是选项D的判断，解答时要通过变量代换，令，得到，根据“1”的巧用，将变形后，利用基本不等式，即可求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应位置. 12. 已知 ，则_____________.（结果用 表示） 【答案】 【解析】 【分析】直接由换底公式即可得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 13. 函数的零点个数为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】判断函数的单调性，分类讨论k的取值范围，结合零点存在定理，即可求得答案. 【详解】由题意知在上单调递减， 当时，，此时函数有1个零点； 当时，， ，此时函数在上有唯一零点， 当时，， ，此时函数在上有唯一零点， 综合可得函数的零点个数为1， 故答案为：1 14. 对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共6题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 集合. （1）若，求 （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】15. （1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合A，根据集合补集以及并集运算，即可求得答案； （2）根据是的充分条件，可得，列出相应不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由，解得，则， 时，， 故或，； 【小问2详解】 因为，， 而 是的充分条件，故， 故，解得. 16. 16. 我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据图象可得函数的最大值和最小值即可求解A和B，再由函数的周期公式求，然后代点的坐标求； （2）根据题意列出不等式，然后根据正弦函数的性质解不等式即可求解. 【详解】（1）由图可知，解得由，得， 所以， 又函数图象过点， 所以，即， 所以，得， 又，所以，所以. （2）由题意得， 则，即， 令，画出的图象如图所示，    由图象可知，， 即，解得， 所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 17. 已知函数的图象关于点对称. （1）求的最小正周期和对称轴方程： （2）已知,求 . 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简的表达式，结合其图象关于点对称，求出a的值，可得的解析式，即可求得最小正周期，结合正弦函数的对称性即可求得其对称轴方程； （2）由得出，利用二倍角公式可求出的值，再利用诱导公式即可求得，即得答案. 【小问1详解】 由题意得， 该函数图象关于点对称，则， 即，解得， 故，则的最小正周期为； 令，则， 即的对称轴方程为； 【小问2详解】 因为，故， 则， 故. 18. 已知. （1）证明是奇函数，并说出在其定义域上的单调性； （2）若存在实数和，使得，且，求的取值范围. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接由奇函数的定义证明即可，由复合函数单调性证明即可. （2）首先得在有解，等价转换为在上有解，分类讨论即可得解. 【小问1详解】 因为的定义域为关于原点对称， 且，所以是奇函数， 由复合函数单调性可知单调递减. 【小问2详解】 因为，是奇函数，且在上单调递减， 所以， 由题意得在有解， ， 令，则， 令，则， 由得， 因为在上单调递减，在上单调递增，且时，，或时，， 所以， 在有解，等价于在上有解. 当时，， 因，所以满足题意； 当时，因为，所以满足题意； 当时，， 令，解得， 所以在上有解，所以的取值范围为. 19. 某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比. 已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量. （1）写出的值，并对的值给出一个合理的解释； （2）已知， ①求 ； ②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？ 【答案】（1）；解释见解析 （2）①1，2；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意即可确定的值，并得出的值的一个合理的解释； （2）①根据，结合函数解析式，即可求得答案； ②求出两种方案下的残留污渍量，作差比较大小，即可得到结论. 【小问1详解】 由题意得， 的值表示的含义为没有用洗涤溶液漂洗，残留污渍没有变化； 【小问2详解】 ①，由，，得； 又，则， ②，设清洗前物品上污渍残留量为单位1， “用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”后残留污渍量为， “用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”后残留污渍量为， ， 当时，，即“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”效果好； 当时，，两种方案效果相同； 当时，，即“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”效果好. 20. 给定函数与，若为减函数且值域为（为常数），则称对于具有“确界保持性”. （1）证明：函数对于不具有“确界保持性”； （2）判断函数对于是否具有“确界保持性”； （3）若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）具有 （3）3 【解析】 【分析】（1）令，以特殊值说明函数不满足值域为，即可证明结论； （2）根据对于具有“确界保持性”的定义，说明满足定义中的条件，即可得出结论； （3）根据的结构特点，先确定时，函数符合题意，再分别说明和时，函数值域不符合题意，即可确定答案. 【小问1详解】 证明：令， 因为，不满足函数值域为， 故函数 对于不具有“确界保持性”； 【小问2详解】 函数对于具有“确界保持性”； 理由如下： 令， 在上单调递减，且当时，， 故函数对于具有“确界保持性”； 【小问3详解】 令， 根据“确界保持性”定义可知在上单调递减， 故，即的值域为； 由于 ， 可以看到，若当，即时， 则可化简为，且在上均单调递减， 故先证明符合题意； 当时，， 先证明在上单调递减， 设， 则 当时，， 故，， ， 则， 即， 故，即， 所以在上单调递减； 故， 又因为， 当x趋向于无限大时，均无限接近于0，且大于0， 即，且无限接近于0， 故的值域为， 故函数对于具有“确界保持性”， 当时，， 取，则，不满足函数值域为， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， 则， 取，则，不满足函数值域为， 此时，不符合题意，舍去； 综上，当时，函数对于具有“确界保持性”. 【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义问题，解答时要理解“确界保持性”.的含义，依据定义去解答，难点在于（3）中根据函数对于具有“确界保持性”，求解参数的值，解答时要根据函数的结构特点，确定a的值，说明其符合题意，然后分类说明其它情况不符合题意，即可解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $泉州市培元中学高一数学期末模拟卷（一) 本试卷共19题，满分150分，共4页.考试用时120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A=1,3,4},B={x|1<x<4),则A∩B=() A.{3} B.{红，3}， c.{3,4} D.{1,2,3,4} 2己知角a&终边上有一点P(-V3,1),则tama=() B.-3 C.5 D.-√5 3 3 3.已知a>b>0>c,则下列结论正确的是() A.√a<B B.ac>bc C.c<b b-cb a-c a-b a-c a 4.若函数g(x)与函数f(x)=2+1的图象关于直线y=x对称，则g(x)的大致图象是() 5.下列函数中，既是奇函数又是增函数是() A.y=e B.y=x C.y=-xx D.y=2*-2-x ππ】 6已知1-sina=V5cosa,ae（2)则a=（） A. B.、 C.22 D.-2√2 4 第1页/共4页 log1（x2+2a,x< 7.若函数f(x)= 存在最大值，则实数a的取值范围为() 1-34-x,x≥1 117 c.2 D. 02 &将函数f(y)=2simx+刀 图象所有点的横坐标变为原来的上（ω>0），纵坐标不变，得到函数g(x) 的图象.若对于任意x∈0，。 总存在唯一的，∈0,2 使得f(x)=g(x2)+2,则@的取值范围 是( A B 23 c. D. 23 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得满分，有选错的得0分，部分选对的得部分 9.生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量y在8月份随时间t(单位：日，t∈N)的变化近似地 满足函数y=As(ot+p)+B(A>0,@>0),且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月7 日达到最高数量900，则() A Q=I 6 B.A=450 C.8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少 D.8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天 10.定义在R上的奇函数f(x)满足f(-3x)=f(2+3x),则下列结论一定成立的是() A.f(0)=0 B.2是f(x)的一个周期 C.（2,0)是f(x)的一个对称中心 D.f(3x+1)为偶函数 11.已知x>0,y>0,2x+y=1,则() A.4+2y的最小值为2√ B.1og2x+1og2y的最大值为-3 C.y-x-y的最小值为-1 2父+y二的最小值为 x+2y+1 6 第2页/共4页 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分将答案填在答题卡相应位置， 12.已知1g2=a,lg3=b,则1og23= (结果用a,b表示) 1西数)=冬(k>0)的专点个数为 14.对于任意a>0且a≠1，函数f(x)=adm++b的图象恒过定点(1,2).若f(x)的图象也过点 (-1,10),则f(x)= 四、解答题：本大题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.集合A={x|x2+x-2<0,B={x|a-2<x<a+2} (1)若a=1,求CA,AUB; (2)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围. 16.我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构 是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全 面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对RB500高强钢筋的现场加工难 题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y (单位：mm)关于滚道径向方位角x(单位：rad)的函数y=f(x)近似地满足 f(x)=Asin(ax+p)+B(A>0,o>0,0<p<π)，其图象的一部分如图所示 A y/mm 0.02 4 x/rad (1)求函数f(x)的解析式： (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015m且不高于0.02m的钢筋，若 这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例。 第3页/共4页 17.已知函数f(x)=V5asin2x+2cos2x-1的图象关于点 ，0对称 12 (1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程： 18已知f(x)=1g-xg(x)=4+a-2* 1+x (1)证明f(x)是奇函数，并说出f(x)在其定义域上的单调性： (2)若存在实数m和n,使得f(m)+f(n)=0,且g(m)+g(n)≤0，求a的取值范围 19.某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，∫(x)表示用x个单位量的洗涤溶液漂洗一次 以后，残留污渍量与原污渍量之比，已知用1个单位量的洗涤溶液藻洗一次，可洗摔该物品原污渍量号 (1)写出f(0),f1)值，并对f(0)的值给出一个合理的解释： (2)已知f()=+1' t ①求t,k; ②用m(m>0)个单位量的洗涤溶液漂洗一次与“用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效 2 果更好？ (英才班)20.给定函数f(x)(x≥0)与g(x),若h(x)=f(x)-g(x)为减函数且值域为(0，M(M为 常数)，则称8(x)对于f(x)具有“确界保持性” 男效-号时于/)-目 (x≥0)不具有“确界保持性”： 2》为新西效g1对于/八✉≥0)是香民有买限特性 (3)若函数g(x)=r对于f(x)=x+√x2+1+Vx2+4(x≥0)具有“确界保持性”，求实数a的值. 第4页/共4页