精品解析：福建省泉州第五中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

泉州五中2024－2025学年第一学期期末考试试卷 高一数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题只有一个正确选项，每题5分，共40分） 1 （ ） A B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 对任意角和，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数图象可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最小值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 7. 中，下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题至少有两个答案，每题6分，每题部分答对得部分分，全对得6分，共18分） 9. 在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：“”的否定是“” B. 函数恒过定点 C. 函数的值域为 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数． B. 的图象关于直线对称． C. 当且时，在内恰有2025个零点． D. ，，则的最大值为． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为______．（用弧度制） 13. 若指数函数的反函数过，则______． 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 设集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知， （1）求最小正周期和单调递增区间； （2）解不等式； （3）若为锐角，且，求的值． 17. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数）．该款冰雪运动装备的日销售量（套）与时间的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 （套） 12 13 14 15 已知第24天该商品日销售收入为32400元． （1）求的值． （2）给出以下三种函数模型：①；②；③．请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量与时间的关系，说明你选择的理由．根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）（元）在哪一天达到最低． 18. 已知函数， （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2），，求实数的取值范围； （3）已知函数，若恰有一个零点，求实数的取值范围． 19. 已知奇函数， （1）求的值； （2），，，求实数的取值范围； （3），，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州五中2024－2025学年第一学期期末考试试卷 高一数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题只有一个正确选项，每题5分，共40分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简求值即可． 【详解】 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 3. 对任意角和，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，结合必要不充分的定义即可求解. 【详解】由可得或者， 故不能得到， 但，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解. 【详解】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 6. 函数的最小值为（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的计算化简函数，令并求出取值范围，由配方法求得函数的最小值. 【详解】， 令，则, 当,即时取等号， 所以 故选：B. 7. 中，下列结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，由诱导公式可得；B选项，由余弦函数单调性可得B正确；C选项，举出反例；D选项，平方，求出，并得到，求出，开方得到答案. 【详解】A选项，由诱导公式得，结论正确； B选项，在上单调递减，又，， 则，结论正确； C选项，若，则，故，结论错误； D选项，若两边平方得， 即， 因为，，所以，， ， 所以，结论正确 故选：C 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，得到，根据得到，而，从而比较出大小. 【详解】因为， 所以，， 故，，， 又， 所以，， 故，，， 因为，， 所以，， 故，，， ， 结合正弦函数图象，的正弦值，随着角度的增加， 正弦值可约等于也在成比例的增加， 其中， ， 故， 事实上，查阅正弦表，可知， 故， 综上， 故选：A 【点睛】关键点点睛：得到，，而，利用中间值比较出大小 二、多选题（每题至少有两个答案，每题6分，每题部分答对得部分分，全对得6分，共18分） 9. 在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对所给的函数注意判断即可. 【详解】对A：是偶函数，在上递减，排除A； 对B：为偶函数，在上递增，故B正确； 对C：为偶函数，在上递增，故C正确； 对D：为奇函数，排除D. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：“”的否定是“” B. 函数恒过定点 C. 函数的值域为 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A：命题：“”的否定是“”，故A正确； 对于B：由时，，故函数恒过定点，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以函数的值域为，故C错误. 对于D：因为函数的定义域为，对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为，故D正确； 故选：ABD 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数． B. 的图象关于直线对称． C. 当且时，在内恰有2025个零点． D. ，，则的最大值为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，当时，，A错误；B选项，，B正确；C选项，令得，又，解得或，的解个数为1013个，的解个数为1012个，故C正确；D选项，令，则在上恒成立，分，和三种情况，得到的最大值为，D正确. 【详解】A选项，，定义域为R， 若，则，满足， 此时为偶函数， 若，则， 此时不为偶函数，A错误； B选项，， 故的图象关于直线对称，B正确； C选项，当且时，， 令得，又，解得或， ，解得，又， 故，有1013个解， ，在上，有两个解，设为， 又，故或，， 故此时有个解， 综上，或，共有个解， 在内恰有2025个零点，C正确； D选项，，， 令，则在上恒成立， 令，对称轴， 若，即时，在上单调递增， 故只需，，，， 故，当时，等号成立， 若，即时，在上最小值， 故只需，即， 故， 当且仅当时，等号成立， 若，即时，在上单调递减， 故只需，，，故， ，当且仅当时，等号成立， 综上，的最大值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】知识点点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知一个扇形的面积和周长均为16，则该扇形的圆心角大小为______．（用弧度制） 【答案】2 【解析】 【分析】设出圆心角和半径，根据弧长和面积公式得到周长，得到答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 故扇形的弧长为，周长为， 扇形的面积，解得. 故答案为：2 13. 若指数函数的反函数过，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反函数性质得到过点，代入求出答案. 【详解】由题意得过点，即， 又且，解得. 故答案为：2 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，并得到函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性得到不等式，解得范围. 【详解】∵，∴ 函数的定义域为， ， 令函数，即， 则函数定义域为， 则， 即函数为奇函数， 又∵中， 在上单调递减，在上递增，∴在上单调递减； 在上单调递减；在上单调递减； ∴函数在上单调递减， ∵，∴， 即，即， ∴. 故答案为：. 【点睛】方法点睛，本题是利用函数的奇偶性和单调性求不等式，本题的关键是构造新的函数，利用函数的奇偶性整理不等式，利用函数单调性建立不等式，即可求得范围. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤） 15. 设集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，，利用交集概念求出答案； （2），分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ，解得， 所以， ， 则； 【小问2详解】 ， ，故， 当时，，解得， 当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知， （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）解不等式； （3）若为锐角，且，求的值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式得到，根据求出最小正周期，整体法求出单调递增区间； （2）在（1）基础上，得到不等式，数形结合得到解集； （3）在（1）基础上，得到，由同角三角函数关系和角的范围求出，凑角法，结合余弦差角公式求出答案. 【小问1详解】 ， 故的最小正周期， 令， 解得， 故的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，，即， 故，解得， 所以的解集为； 【小问3详解】 由（1）得，即， 因为为锐角，所以，故， 当时，， 而，故，所以， 则， . 17. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数）．该款冰雪运动装备的日销售量（套）与时间的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 （套） 12 13 14 15 已知第24天该商品的日销售收入为32400元． （1）求的值． （2）给出以下三种函数模型：①；②；③．请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量与时间的关系，说明你选择的理由．根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）（元）在哪一天达到最低． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将代入即可得出答案； （2）根据表中数据结合三个模型应选模型③，将，代入模型③，求得对应模型解析式，检验即可得出结论，再根据结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 解：由题意，得，解得； 【小问2详解】 解：表格中对应的数据递增的速度较慢，排除模型①． 因为表示在两侧“等距”的函数值相等（或叙述为函数图象必然关于直线对称），而表格中的数据并未体现此规律（），排除模型②． 对于模型③，将，代入模型③，解得 此时，，经验证，，均满足，故选模型③， ， 当且仅当时，等号成立，故日销售收入在第3天达到最低． 18. 已知函数， （1）若的定义域为，求实数的取值范围； （2），，求实数的取值范围； （3）已知函数，若恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）由对数函数真数大于0得到，由根的判别式得到不等式，求出答案； （2）转化为在上恒成立，令，对称轴为，分，和三种情况，结合函数单调性和最小值，得到不等式，求出答案； （3）分析出当时，的定义域为，转化为在只有1个解，换元后得到，，由对勾函数单调性和值域得到或，当，分析得到的定义域为，转化为在只有1个解，结合根的判别式得到，故时，满足要求，从而求出的取值范围 【小问1详解】 由题意得恒成立， 故，解得， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 ，， 故在上恒成立， 即上恒成立， 令，对称轴为， 当时，在上单调递增， 只需，解得， 与取交集得； 当时，的最小值为， 故只需，解得； 当时，在上单调递减， 只需，解得， 与取交集得， 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 需满足，故， 恰有一个零点， 由（1）知，若，此时的定义域为， 若，的两根为， ， 其中，故，， 故，所以的定义域为， 若，此时定义域为， 综上，当时，的定义域为， 令在只有1个解， 变形得到，令， 则，， 下面证明在上单调递减，在上单调递增， 设， 则， 因为，所以， 故，， 所以在上单调递减， 同理可证在上单调递增， 其中，， 要想在只有1个解，需满足或， 又，所以或， ，的两根为，， 其中，故，， 故，所以定义域为， 则的定义域为， 故在只有1个解， 令，其中， 故需满足，即， 化简得，显然，当时，上式恒成立， 故时，满足要求， 综上，实数的取值范围为或. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 19. 已知奇函数， （1）求的值； （2），，，求实数的取值范围； （3），，，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数在0处有定义则建立方程，然后求得； （2）由简单复合函数的单调性求得函数单调性，并求出时，的值域.由三角函数的性质求得当时的值域，然后由题意得到不等式，解得实数的取值范围； （3）由函数的性质作出函数大致图象，然后由函数的对称性，找到的最大值，由函数图像增长趋势知道，随着的增大而增大，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 函数定义域为，且为奇函数， 所以，即经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 函数， ∵上单调递增， ∴在上单调递减， ∴函数在上单调递增， ∴当时，， 当时，， ∴， 由题意可知，即， ∴； 【小问3详解】 因为，∴， 由函数的性质得到函数的大致图象： 由函数的对称性可知，当，满足的的差最小， 即，即，， ∴， 由函数图象可知，函数在上增长速度变慢，∴当时，随着变大而变大 当无限趋近于时，无限接近于1，此时趋近于无穷大，此时趋近于无穷大，故. 【点睛】方法点睛，本题是函数的综合，在解决在两个区间内，不等式存在解的问题，只需要转化为求不等式两边的最值问题即可，再由题意得到不等式，即可求得范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$