专题06 正比例和反比例（专项训练）小升初数学暑假专项提升（苏教版）

**基本信息** 以“体系重建-易错剖析-方法精讲”为主线，系统构建正比例与反比例的概念网络，通过典例错因分析培养推理意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|2个核心概念|定义辨析（商一定vs积一定）、判断两步法（关联量→比值/积一定）|从意义（字母表达式）到判断方法，形成概念生成链| |易错点剖析|4个典型错例|错因归类（非关联量/和一定/图像混淆）、避坑指南|对比正反比例本质区别，强化概念理解| |题型应用|30道综合题|比例方程解法、图像信息提取、实际问题建模|覆盖选择/填空/解答，实现从概念到应用的迁移|

编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 六年级数学暑假专项提升 专题06 正比例和反比例 知识点一：正比例 1、正比例的意义。 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。 （2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，则正比例关系可以表示为=k（一定）。 2、正比例关系的判断方法。 （1）首先判断这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定。比值一定，这两种量成正比例;反之，不成正比例。 3、正比例图像。 （1）表示成正比例的两种量中相对应的各点在同一条直线上，即正比例的图像是一条经过原点的直线。 （2）从图像中可以直观地看出两种量的变化情况。 （3）借助图像，可以由一个量的值找到对应的另一个量的值。 知识点二：反比例 1、反比例的意义。 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫作成反比例关系。 （2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，则反比例关系可以表示为x×y=k（一定）。 2、反比例关系的判断方法。 （1）看这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量中相对应的两个数的积是否一定。积一定，这两种量就成反比例，否则就不成反比例。 易错点1：对正比例关系中两种量理解有误。 【典例1】判断：小明的身高和体重成正比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】小明的身高和体重不是两种相关联的量，它们的比值是不确定的，不成正比例。如人成年后，身高基本不发生变化，体重却发生变化。 【正确答案】错误 易错点2：错误理解反比例的意义。 【典例2】判断：六(1)班出勤人数和缺勤人数成反比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有正确理解反比例的意义。虽然出勤人数与缺勤人数是相关联的量,出勤人数+缺勤人数=全班人数(一定),但是它们只是和一定,不是积一定,所以出勤人数和缺勤人数不成反比例。 【正确答案】错误 易错点3：对正比例图像认识不深刻。 【典例3】填空：在弹簧秤上吊物品时,所吊物品的质量与弹簧长度的变化如下图。 当吊起的物品的质量是5千克时,弹簧伸长了( )厘米。 【错误答案】20 【错解分析】本题错在混淆了“弹簧的长度”和“弹簧伸长的长度”。在没有吊物品时,弹簧长10厘米,所以当吊起的物品的质量是5千克时,弹簧伸长了20-10=10(厘米)。 【正确答案】10 易错点4：比例关系的实际应用错误。 【典例4】判一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达。如果要3小时到达，每小时要行多少千米？（用比例解答） 【错误答案】60×4=240（千米）240÷3=80（千米/时） 答：每小时要行80千米。 【错解分析】计算本身正确，但题目要求用比例知识解答，没有按照比例方法解题。 【正确解答】（用比例知识）： 分析关系：路程一定，速度和时间成反比例 设每小时要行x千米 列比例式： 解比例：3x = 240 x = 80 答：每小时要行80千米。 一、选择题 1．下列各组数量中，成正比例关系的是（    ）。 A．订阅《无锡日报》的份数和总价。 B．圆的面积和半径。 C．路程一定，速度和时间。 D．零件的总数一定，已加工的数量和未加工的数量。 【答案】A 【分析】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；据此解答。 【解答】A．总价÷份数＝单价，《无锡日报》的单价一定，订《无锡日报》报的份数和总价成正比例； B．圆的面积÷半径＝π×半径，半径不是一个定值，圆的面积和半径不成比例； C．路程＝速度×时间，路程一定，速度和时间不成正比例； D．零件的总数＝已加工的数量＋未加工的数量，零件的总数一定，已加工的数量和未加工的数量不成比例。 成正比例关系的是订阅《无锡日报》的份数和总价。 2．买一个冰墩墩要68元，买个冰墩墩花了n元，那么，m和n（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不确定 【答案】A 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值（商）不一定，就不成比例。 【解答】由“单价＝总价÷数量”可知，n÷m＝68（一定），所以m和n成正比例。 3．张叔叔参与了公益乐跑活动，10分钟跑了全程的，照这样计算，如果他要跑完3.5千米全程，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①      ②     ③ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】把全程看作单位“1”， 跑完全程的时间为x分钟，根据张叔叔的速度一定，他跑的总路程与跑的时间成正比例，列式为，再根据比例的基本性质（在比例中，两个内项积等于两个外项积）找出选项中正确选项。 【解答】①，根据比例的基本性质可得：，与不一致，所以①的关系式错误； ②由关系式，得，所以关系式②正确。 ③，表示左边、右边都表示速度，该项关系式正确，根据比例的基本性质可得：； 列式正确的是②③。 4．下列说法正确的有（    ）。 ①圆的面积S和r2成正比例。 ②把24写成几个质数相乘的形式是24＝1×2×2×2×3。 ③通常情况，一组数据的平均数介于最大数和最小数之间。 ④要反映重庆地区7月份的气温变化情况用折线统计图比较好。 ⑤7÷3＝2……1，根据商不变的性质可以推算出0.7÷0.3＝2……1。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①判断两个相关联的量是否成正比例，关键是看这两个量是否是商一定，商一定，成正比例。 ②除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 ③一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。一组数据的平均数最小不会小于最小数，最大不会大于最大数。 ④条形统计图从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于相互比较；折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。 ⑤被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但是余数会跟着乘或除以相同的数。 【解答】①S÷r2＝π，商一定，圆的面积S和r2成正比例，说法正确； ②1既不是质数也不是合数，把24写成几个质数相乘的形式是24＝2×2×2×3，原说法错误； ③平均数＝总数量÷总份数，通常情况，一组数据的平均数介于最大数和最小数之间，说法正确； ④折线统计图能反映出气温变化情况，要反映重庆地区7月份的气温变化情况用折线统计图比较好，说法正确； ⑤7÷3＝2……1，根据商不变的性质可以推算出0.7÷0.3＝2……0.1，原说法错误。 说法正确的有①③④，有3个。 5．某一时刻测得一烟囱在阳光下的影长是16.2米，同时测得一根长4米的竹竿的影长是1.8米，那么烟囱长（    ）。 A．36米 B．30米 C．25米 D．7.29米 【答案】A 【分析】同一时间、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系，烟囱的高度∶烟囱的影长＝竹竿的高度∶竹竿的影长，据此列比例解答。 【解答】解：设烟囱长x米。 x∶16.2＝4∶1.8 1.8x＝16.2×4 1.8x＝64.8 x＝64.8÷1.8 x＝36 烟囱长36米。 6．下面说法正确的有（    ）个。 ①今年水稻比去年增产一成，表示今年的水稻比去年增产10% ②甲数比乙数多25%，则甲数和乙数的比是4∶5 ③车间生产了99个零件，全部合格，合格率是99% ④圆柱的侧面积一定，则它的高和底面半径成反比例关系 ⑤跳绳比赛前采用“石头”、“剪刀”、“布”的游戏方法确定谁先跳，这种游戏规则是公平的 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①几成就是十分之几，一成就是十分之一，等于10%。 ②把乙数看作单位“1”，则甲数＝1＋25%，计算两数的比即可。 ③合格率＝×100% ④圆柱侧面积公式为：，判断r和h的乘积是否是定值，是定值即为反比例关系。 ⑤判断游戏规则是否公平，依据是参与游戏的每个人获胜的可能性是否相等。 【解答】①增产一成，就是增产10%，原说法正确。 ②把乙看作单位“1”，则甲为1＋25%＝1.25，两数之比为： 1.25：1 ＝（1.25×100）：（1×100） ＝125：100 ＝（125÷25）：（100÷25） ＝5：4 不是4：5，原说法错误。 ③合格率＝，不是99%，原说法错误。 ④由，可得，S不变，结果为定值，高和底面半径成反比例关系，原说法正确。 ⑤在石头、剪刀、布的游戏中，每个人出石头、剪刀、布的机会是均等的，每人最终获胜的可能性相等，因此游戏规则公平。原说法正确。 综上①④⑤说法正确。 7．科学课上，同学们用弹簧秤称物体，当物体重450g时，弹簧长9.5cm，当物体重600g时，弹簧长10cm，不称物体时弹簧长度是（    ）cm。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】弹簧秤上所挂物体的质量和弹簧秤伸长的长度是成正比例的，当物体重450g时，弹簧长9.5cm，当物体重600g时，弹簧长10cm，设不称物体时弹簧长度是cm，列方程450∶（9.5－）＝600∶（10－），解方程。 【解答】解：设不称物体时弹簧长度是cm。 450∶（9.5－）＝600∶（10－） （9.5－）×600＝450×（10－） 9.5×600－600＝450×10－450 5700－600＝4500－450 5700－600＋600＝4500－450＋600 5700＝4500＋150 5700－4500＝4500＋150－4500 1200＝150 1200÷150＝150÷150 ＝8 不称物体时弹簧长度是8cm。 8．李爷爷沿着1千米的环形跑道跑步。他从起点出发，3分跑了一圈的，照这样的速度，他跑完一圈共用多少分？如果设他跑完一圈共用x分，下列方程不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设他跑完一圈共用x分，把跑完全程的时间看作单位“1”，已知3分钟跑了一圈的，也就是跑完全程的时间×＝3分钟，据此数量关系列方程即可； 路程和时间成正比例关系，据此列出比例式即可； 根据这两种方法筛选出不正确的方程进行解答。 【解答】根据数量关系：跑完全程的时间×＝3分钟，可列方程，与A选项相符； 根据正比例关系可列： ∶1＝3∶x或x∶3＝1∶，与B、D选项相符； 选项C所列方程与题意不符。 9．x和y是相关联的量，它们的关系可以用如图的图像表示。那么，这个图像可能是（    ）的关系。 A．自行车车轮的周长和转数 B．正方形的面积和周长 C．平行四边形的面积一定，底和高 D．圆柱的高一定，体积和底面积 【答案】D 【分析】两种相关联的量，若这两种量的比值（商）一定，两种量成正比例关系；若这两种量的乘积一定，两种量成反比例关系；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。正比例关系的图像特征是一条过原点的直线。分析每个选项中两个量的关系即可。 【解答】A．自行车行驶的路程＝自行车车轮的周长×转数，当路程一定时，自行车车轮的周长和转数的乘积一定，则自行车车轮的周长和转数成反比例关系，该选项不符合题意； B．根据正方形的面积＝边长×边长、正方形的周长＝边长×4可知，正方形面积÷边长＝边长，边长不一定，就是正方形的面积和它的边长的比值不一定，所以正方形的面积和周长不成正比例关系，该选项不符合题意； C．平行四边形的面积＝底×高，平行四边形的面积一定，是乘积一定，则底和高成反比例关系，该选项不符合题意； D．圆柱的高＝圆柱的体积÷底面积，圆柱的高一定时，圆柱的体积和底面积的比值一定，则体积和底面积成正比例关系，该选项符合题意。 10．如图，用四根吸管串成一个平行四边形，然后用双手捏住平行四边形的两个对角，向相反方向拉。在这个变化过程中，平行四边形的面积和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】A 【分析】看平行四边形的面积和高这两个相关联的量是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例，如果积和商都不一定，就不成比例。 【解答】平行四边形的面积÷高＝底（一定），商一定，所以平行四边形的面积和高成正比例关系。 二、填空题 11．已知3∶a＝4∶b，则a和b成（ ）比例。如果，那么b＝（ ）。 【答案】正 /0.5 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据二者的比例关系，代入求出b即可。 【解答】由3∶a=4∶b可得：4a＝3b，那么＝（一定），比值一定，则a和b成正比例。 由＝可得：b＝a÷； 当a＝时 b＝a÷ ＝÷ ＝× ＝ 12．下表被弄脏了，如果x和y成正比例关系，那么被弄脏处的数是（ ）；如果x和y成反比例关系，那么被弄脏处的数是（ ）。 x 4 5 y 20 【答案】16 25 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 【解答】把被弄脏处的数设为n。 如果x和y成正比例关系，x和y的比值一定。 解：5n＝4×20 5n＝80 5n÷5＝80÷5 n＝16 如果x和y成反比例关系，x和y的乘积一定。 4n＝5×20 解：4n＝100 4n÷4＝100÷4 n＝25 13．古代用“土圭之法”测量日影、判断节气。在同一时间、同一地点，一根高3米的标杆，影长120厘米，同时测得土圭的影长为180厘米。土圭的实际高度是（ ）米。 【答案】4.5 【分析】在同一时间、同一地点，物体的实际高度与影长的比值固定，即每厘米影长对应的实际高度相等。 【解答】3米＝300厘米 300÷120＝2.5（厘米） 2.5×180＝450（厘米） 450厘米＝4.5米 14．如图，一张光盘上刻有100兆的文件（黑色部分），如果每平方厘米的存储量一样大，那么灰色部分可以刻（ ）兆的文件。（兆是表示文件大小的单位） 【答案】540 【分析】利用圆环面积和存储量成正比的关系计算，先求出各部分圆的半径。再根据圆环面积＝外圆面积－内圆面积，求出各颜色部分圆环面积，最后按比例计算灰色部分存储量即可（因为每平方厘米存储量相同，存储量和面积成正比）。 【解答】最内空白圆半径：4÷2＝2cm 黑色环形外圆半径：6÷2＝3cm 整个光盘外圆半径：12÷2＝6cm 黑色环形面积：（cm2） 灰色环形面积：（cm2） 每平方厘米存储量：（兆） 灰色部分存储量：（兆） 15．小芳同学在家尝试自制酸梅汤。经多次试验发现用60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制的酸梅汤口感最佳。她打算给家人配制3600毫升同样口感的酸梅汤，需要酸梅原汁（ ）毫升。 【答案】1080 【分析】由信息“60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制酸梅汤，口感最佳”可知，酸梅原汁与水的比是一定的，根据此列出方程解答。设需要酸梅原汁x毫升，那么水就有（3600－x）毫升，根据酸梅原汁∶水的比一定列出比例并求解即可。 【解答】解：设需要酸梅原汁x毫升，那么水就有（3600－x）毫升。 x∶（3600－x）＝60∶140 140x＝60×（3600－x） 140x＝216000－60x 140x＋60x＝216000－60x＋60x 200x＝216000 x＝216000÷200 x＝1080 16．如表，a和b是两个变化的量。 a 1.5 ？ b 0.6 1.8 （1）如果a和b成正比例，那么“？”处是（ ）。 （2）如果a和b成反比例，那么“？”处是（ ）。 【答案】（1）4.5 （2）0.5 【分析】两种相关联的量，比值一定就是正比例，乘积一定就是反比例，据此计算。 【解答】（1）如果a和b成正比例 则：解：1.5∶0.6＝？∶1.8 0.6×？＝1.5×1.8 0.6×？＝2.7 0.6×？÷0.6＝2.7÷0.6 ？＝4.5 如果a和b成正比例，那么“？”处是4.5。 （2）如果a和b成反比例 则：解：1.5×0.6＝？×1.8 0.9＝？×1.8 ？＝0.9÷1.8 ？＝0.5 如果a和b成反比例，那么“？”处是0.5。 17．已知5x＝8y，（x、y均不为0），那么x和y成（ ）比例；已知（x、y均不为0），那么x和y成（ ）比例。 【答案】正 反 【分析】（1）5x＝8y，两边同时除以y，再同时除以5，得到，比值一定，所以x和y成正比例； （2），交叉相乘得到xy＝40，乘积一定，所以x和y成反比例。 18．如图描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况。 （1）这个进水管的进水量与时间成（ ）关系。 （2）照这样的速度，如果给这个游泳池注水12分钟，能注水（ ）立方米；如果要给这个游泳池注水720立方米，需要（ ）小时。 【答案】（1）正 （2） 120 1.2// 【分析】（1）进水速度＝进水量÷进水时间，两种相关联的量中相对应的两个数，如果比值一定，就成正比例关系。 也可以根据图像，图像是一条经过原点的直线，则两个相关联的量成正比例关系。 （2）根据“进水量＝进水速度×进水时间”计算12分钟的进水量。根据“进水时间＝进水量÷进水速度”计算注水720立方米需要的时间，再将“分钟”换算成“小时”。 【解答】（1）由图可知： 10÷1＝20÷2＝30÷3＝40÷4＝50÷5＝10（立方米/分钟） 即进水量和进水之间的比值一定，所以进水量与时间成正比例关系。 （2）12分钟的注水量为：10×12＝120（立方米） 注水720立方米需要的时间为： 1小时＝60分钟 720÷10＝72（分钟） 72÷60＝1.2（小时） 72分钟＝1.2小时 19．北京绢花亦称“京花”，是流传于北京市的一种传统彩扎艺术。小丽做一种手工绢花，完成的数量与时间关系如图所示。 （1）小丽做手工绢花的数量与时间成（ ）比例。 （2）小丽5小时可以做（ ）个手工绢花；小丽做45个绢花需要（ ）小时。 【答案】（1）正 （2）25 9 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，它们的关系叫作正比例关系；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，它们的关系叫作反比例关系；正比例图象是一条经过原点的直线，反比例图象是一条不经过原点的曲线； （1）根据图象判断这两个相关联的量成什么关系； （2）根据图象可知：6小时可以做30个，先用除法求出1小时可以做几个，再乘5即可得到5小时可以做的数量；再用小丽做的数量45除以1小时做的数量即可得到需要的时间。 【解答】（1）根据给出的图象可知：小丽做手工绢花的数量与时间成正比例。 （2）30÷6＝5（个） 5×5＝25（个） 45÷5＝9（时） 小丽5小时可以做25个手工绢花；小丽做45个绢花需要9小时。 20．下图中线段OM表示购买某种钢笔的数量与所花钱数的关系，点M表示李老师购买的钢笔数量和钱数。根据下图回答下列各问题。 （1）李老师购买了（ ）支钢笔，花了（ ）元。 （2）购买6支钢笔需要（ ）元，花225元能购买（ ）支这种钢笔。 （3）这种钢笔的单价是（ ）元/支。 【答案】（1）16 240 （2）90 15 （3）15 【分析】（1）找到点M，横轴对应数量，纵轴对应钱数。 （2）通过点M对应的钱数和数量可求得钢笔的单价，单价×数量＝总价，总价÷单价＝数量。 （3）通过点M对应的钱数和数量可求得钢笔的单价。 【解答】（1）李老师购买了16支钢笔，花了240元。 （2）240÷16＝15（元） 15×6＝90（元） 225÷15＝15（支） 购买6支钢笔需要90元，花225元能购买15支。 （3）240÷16＝15（元） 这种钢笔的单价是15元/支。 三、解答题 21．一本故事书，小丽每天读16页，10天读完。如果要8天读完，平均每天要读多少页？（用比例解） 【答案】20页 【分析】一本故事书的总页数一定，也就是每天读的页数和天数的乘积一定，即每天读的页数和天数成反比例；设平均每天要读x页，即可列方程解答。 【解答】解：设平均每天读x页。 8x＝16×10 8x＝160 x＝160÷8 x＝20 答：平均每天要读20页。 22．云阳月光草坪是位于重庆市云阳县滨江大道东北部的国家AAA级旅游景区，因形似月亮而得名，占地约500亩（核心草坪300余亩），为西南地区最大的人工草坪及长江三峡最大连片草坪公园。每年夏季都要对草坪清理杂草，今年6月原计划18个工人25天完成清理任务。为了赶工期，需要提前10天完成清理，这样需要安排多少个工人？ 【答案】30个 【分析】根据题意可知，可以把每个工人每天的工作量看作“1”，则工人人数×天数＝工作总量，原计划和实际的工作总量相同（一定），也就是工人人数与天数的乘积相等，所以人数与天数成反比例；设现在需要安排x人，根据原计划和实际的人数与天数的乘积相等列方程，即可解答。 【解答】解：设需要安排x人。 （25－10）x＝18×25 15x＝450 x＝450÷15 x＝30 答：这样需要安排30个工人。 23．空间站在太空中绕地球运行6周需要9小时，运行15周要用多长时间？（用比例解答） 【答案】22.5小时 【分析】先设运行15周需要x小时，因为空间站绕地球运行的速度不变，所以运行时间和运行周数成正比例关系，据此可以列出比例9∶6＝x∶15，再根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）解方程，即可解答。 【解答】解：设运行15周需要x小时。 9∶6＝x∶15 6x＝9×15 6x＝135 6x÷6＝135÷6 x＝22.5 答：运行15周需要22.5小时。 24．学校开展项目化实践学习——“曹冲称象”。一袋薯片放在“小船”上，“小船”下沉0.3厘米，换成一袋饼干，“小船”下沉0.9厘米。已知薯片的质量是120克，这袋饼干的质量是多少克？（用比例解答） 【答案】360克 【分析】根据物体的质量与船下沉的高度的比值一定，可确定物体的质量与下沉的高度成正比例，即一袋薯片重量∶下沉的高度一袋饼干的质量∶下沉的高度，据此可列比例解答。 【解答】解：设这袋饼干的质量是 克。 答：这袋饼干的质量是360克。 25．AI绿植养护机器人4分钟可完成牡丹花海养护，照这样速度，养护花海需要多少分钟？（用比例解答） 【答案】12分钟 【分析】由题意知：机器人养护速度不变，养护面积∶时间＝每分钟养护面积（定值），因此养护面积和时间成正比例，依此解答即可。 【解答】解：设养护花海需要x分钟。 答：养护花海需要12分钟。 26．你知道吗？ 芯片（Chip），又称集成电路，是一种将大量电子元件（如晶体管、电阻、电容等）集成在微小半导体材料上的微型电子器件，是现代电子设备的核心组件。芯片通过半导体工艺将电路小型化，所有元件集成在半导体晶片或介质基片上，封装后形成具有特定功能的微型结构。其核心材料以硅为主，其他包括钴、砷化镓等。芯片的功能与特点：①微型化：元件密度高，体积小。②高性能：低功耗、高可靠性，支持智能化功能。③核心作用：作为电子设备的“大脑”，负责数据处理、信号控制等。 请回答下面的问题。 （1）一种小型无人机，无人机的架数与芯片的总数量的关系如下表。 数量（架） 0 1 2 3 4 5 6 7 … 芯片数量（个） 0 12 24 36 48 60 72 84 … 无人机的架数与芯片的数量这两个量成什么比例关系？请在表格中选出两组数，组成比例。 （2）张叔叔买5架无人机花了6040元，李叔叔的商店想进货30架同样的无人机，需要准备多少钱？（★用两种方法解答） 【答案】（1）正比例关系；12∶1＝24∶2（答案不唯一） （2）36240元 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系；表示两个比相等的式子叫作比例，选出两组数并写出比例即可； （2）方法1：先根据“单价＝总价÷数量”求出1架无人机的钱数，再根据“总价＝单价×数量”求出李叔叔购买30架无人机需要的钱数； 方法2：无人机的单价不变，一共需要的钱数÷购买无人机的数量＝无人机的单价（一定），则购买无人机的数量与所需钱数成正比例关系，李叔叔需要准备的钱数∶购买无人机的数量＝张叔叔一共花的钱数∶购买无人机的数量，据此列比例解答。 【解答】（1）分析可知，（一定），所以无人机的架数与芯片的数量这两个量成正比例关系，12∶1＝24∶2（答案不唯一）。 （2）方法1：6040÷5＝1208（元） 1208×30＝36240（元） 答：需要准备36240元。 方法2：解：设需要准备x元。 x∶30＝6040∶5 5x＝6040×30 5x＝181200 x＝181200÷5 x＝36240 答：需要准备36240元。 27．下边的图象表示实验小学食堂的用煤天数和用煤量的关系。 （1）根据图象，你能判断用煤天数和用煤量成什么比例吗？ （2）如果用x表示用煤的天数，y表示用煤的吨数，k表示每天的用煤量，它们之间的关系可以表示为（ ）。 （3）根据图象判断，5天要用多少吨煤？2.7吨煤可用多少天？ 【答案】（1）成正比例 （2）（一定） （3）1.5吨；9天 【分析】（1）根据两种相关联的量， 一种量变化。另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就是成正比例的量。 （2）由以上分析可知，用煤的吨数∶用煤的天数＝每天的用煤量（一定），据此用字母表示它们之间的关系。 （3）因为每天的用煤量都是0.3吨，用每天的用煤量×用煤的天数＝用煤的吨数，用煤的吨数÷每天的用煤量＝用煤的天数，据此得解。 【解答】（1）（一定） 比值一定，则用煤天数和用煤量成正比例关系。 答：用煤天数和用煤量成正比例关系。 （2）如果用表示用煤的吨数，表示用煤的天数，表示每天的用煤量，因为用煤的吨数∶用煤的天数＝每天的用煤量（一定），所以它们之间的关系可以表示为（一定）。 （3）（吨） （天） 答：5天要用煤1.5吨，2.7吨煤可以用9天。 28．实验与探究。 中国新能源汽车产业迅猛崛起，引领了全球汽车产业的转型升级。苏老师新购买了电动汽车，准备放假时驾驶去旅游。请你根据下表中的相关数据，回答问题。 行驶路程/千米 50 100 150 200 …… 耗电量/千瓦时 7.5 15 22.5 30 …… （1）在如图中描出表示行驶路程和相对应耗电量的点，然后把它们按顺序连起来。 （2）再观察如图，会发现耗电量和行驶路程成_____比例关系。 （3）苏老师电动汽车蓄电总量为67.5千瓦时，可行驶________千米。 【答案】（1） （2）正 （3）450 【分析】（1）根据统计表可画出统计图，在图中描出表示行驶路程和相对应的耗电量的点，然后把它们按顺序连起来。 （2）根据路程耗电量＝每千瓦时跑的路程，它们的比值一定，所以成正比例关系。 （3）根据路程耗电量＝每千瓦时跑的路程（一定），可列出比例进行解答。 【解答】（1）略 （2）因为耗电量和行驶路程的比值一定，所以耗电量和行驶路程成正比例关系。 （3）解：设可以行驶千米。 所以苏老师电动汽车蓄电总量为67.5千瓦时，可行驶450千米。 29．有一批橘子要装箱，下表是每箱的质量与箱数之间的关系。 每箱的质量/千克 5 10 20 50 100 箱数 100 （1）这批橘子的总质量是（ ）千克，请把上表补充完整。 （2）每箱橘子的质量与箱数之间成（ ）比例关系。 （3）每箱橘子的质量为125千克时，需要多少个箱子？ 【答案】（1） 500 每箱的质量/千克 5 10 20 50 100 箱数 100 50 25 10 5 （2）反 （3）4个 【分析】（1）橘子的总质量＝每箱的质量×箱数。利用每箱的质量是5千克，箱数是100箱，求出总质量。再利用总质量÷每箱的质量求出箱数后填表。 （2）两种相关联的量，有相乘的关系，且乘积一定，这两种量就成反比例关系。题目中每箱的质量和箱数有相乘的关系，且乘积为总量是一定的。 （3）根据反比例的特点，总量一定，利用总质量÷每箱的质量求出箱数。 【解答】（1）求总质量： （千克） 求箱数： （箱） （箱） （箱） （箱） （2）因为每箱橘子的质量×箱数＝总质量（一定），所以每箱橘子的质量与箱数之间成反比例关系。 （3）（个） 答：每箱橘子的质量为125千克时，需要4个箱子。 30．某运输公司运输一批水果，下表是这批水果平均每箱装的水果质量与所需要的箱数的关系。 平均每箱装的水果质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需要的箱数/箱 100 75 60 50 （   ） （   ） （1）请将上面的表格补充完整。 （2）判断这批水果平均每箱装的水果质量与所需要的箱数是否成反比例？并说明理由。 （3）当这批水果一共装了24箱时，平均每箱装的水果质量是多少千克？ 【答案】（1）30；20 （2）成反比例；因为平均每箱装的水果质量和所需要的箱数的乘积一定 （3）12.5千克 【分析】（1）先根据平均每箱装的水果质量×所需要的箱数＝水果的总质量用乘法求出水果的总质量，再用水果的总质量除以平均每箱装的水果质量即可得到对应的箱数； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，它们的关系叫作反比例关系；据此判断； （3）平均每箱装的水果质量＝水果的总质量÷所需要的箱数，据此列式计算。 【解答】（1）3×100＝300（千克） 300÷10＝30（箱） 300÷15＝20（箱） 填表如下： 平均每箱装的水果质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需要的箱数/箱 100 75 60 50 30 20 （2）3×100＝4×75＝5×60＝6×50＝300（一定），即平均每箱装的水果质量和所需要的箱数的乘积一定，所以平均每箱装的水果质量和所需要的箱数成反比例关系。 答：这批水果平均每箱装的水果质量与所需要的箱数成反比例，因为平均每箱装的水果质量和所需要的箱数的乘积一定。 （3）3×100÷24 ＝300÷24 ＝12.5（千克） 答：平均每箱装的水果质量是12.5千克。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 六年级数学暑假专项提升 专题06 正比例和反比例 知识点一：正比例 1、正比例的意义。 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。 （2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，则正比例关系可以表示为=k（一定）。 2、正比例关系的判断方法。 （1）首先判断这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定。比值一定，这两种量成正比例;反之，不成正比例。 3、正比例图像。 （1）表示成正比例的两种量中相对应的各点在同一条直线上，即正比例的图像是一条经过原点的直线。 （2）从图像中可以直观地看出两种量的变化情况。 （3）借助图像，可以由一个量的值找到对应的另一个量的值。 知识点二：反比例 1、反比例的意义。 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫作成反比例关系。 （2）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，则反比例关系可以表示为x×y=k（一定）。 2、反比例关系的判断方法。 （1）看这两种量是不是相关联的量。 （2）再看这两种量中相对应的两个数的积是否一定。积一定，这两种量就成反比例，否则就不成反比例。 易错点1：对正比例关系中两种量理解有误。 【典例1】判断：小明的身高和体重成正比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】小明的身高和体重不是两种相关联的量，它们的比值是不确定的，不成正比例。如人成年后，身高基本不发生变化，体重却发生变化。 【正确答案】错误 易错点2：错误理解反比例的意义。 【典例2】判断：六(1)班出勤人数和缺勤人数成反比例。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有正确理解反比例的意义。虽然出勤人数与缺勤人数是相关联的量,出勤人数+缺勤人数=全班人数(一定),但是它们只是和一定,不是积一定,所以出勤人数和缺勤人数不成反比例。 【正确答案】错误 易错点3：对正比例图像认识不深刻。 【典例3】填空：在弹簧秤上吊物品时,所吊物品的质量与弹簧长度的变化如下图。 当吊起的物品的质量是5千克时,弹簧伸长了( )厘米。 【错误答案】20 【错解分析】本题错在混淆了“弹簧的长度”和“弹簧伸长的长度”。在没有吊物品时,弹簧长10厘米,所以当吊起的物品的质量是5千克时,弹簧伸长了20-10=10(厘米)。 【正确答案】10 易错点4：比例关系的实际应用错误。 【典例4】判一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达。如果要3小时到达，每小时要行多少千米？（用比例解答） 【错误答案】60×4=240（千米）240÷3=80（千米/时） 答：每小时要行80千米。 【错解分析】计算本身正确，但题目要求用比例知识解答，没有按照比例方法解题。 【正确解答】（用比例知识）： 分析关系：路程一定，速度和时间成反比例 设每小时要行x千米 列比例式： 解比例：3x = 240 x = 80 答：每小时要行80千米。 一、选择题 1．下列各组数量中，成正比例关系的是（    ）。 A．订阅《无锡日报》的份数和总价。 B．圆的面积和半径。 C．路程一定，速度和时间。 D．零件的总数一定，已加工的数量和未加工的数量。 2．买一个冰墩墩要68元，买个冰墩墩花了n元，那么，m和n（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不确定 3．张叔叔参与了公益乐跑活动，10分钟跑了全程的，照这样计算，如果他要跑完3.5千米全程，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①      ②     ③ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．下列说法正确的有（    ）。 ①圆的面积S和r2成正比例。 ②把24写成几个质数相乘的形式是24＝1×2×2×2×3。 ③通常情况，一组数据的平均数介于最大数和最小数之间。 ④要反映重庆地区7月份的气温变化情况用折线统计图比较好。 ⑤7÷3＝2……1，根据商不变的性质可以推算出0.7÷0.3＝2……1。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．某一时刻测得一烟囱在阳光下的影长是16.2米，同时测得一根长4米的竹竿的影长是1.8米，那么烟囱长（    ）。 A．36米 B．30米 C．25米 D．7.29米 6．下面说法正确的有（    ）个。 ①今年水稻比去年增产一成，表示今年的水稻比去年增产10% ②甲数比乙数多25%，则甲数和乙数的比是4∶5 ③车间生产了99个零件，全部合格，合格率是99% ④圆柱的侧面积一定，则它的高和底面半径成反比例关系 ⑤跳绳比赛前采用“石头”、“剪刀”、“布”的游戏方法确定谁先跳，这种游戏规则是公平的 A．1 B．2 C．3 D．4 7．科学课上，同学们用弹簧秤称物体，当物体重450g时，弹簧长9.5cm，当物体重600g时，弹簧长10cm，不称物体时弹簧长度是（    ）cm。 A．6 B．7 C．8 D．9 8．李爷爷沿着1千米的环形跑道跑步。他从起点出发，3分跑了一圈的，照这样的速度，他跑完一圈共用多少分？如果设他跑完一圈共用x分，下列方程不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 9．x和y是相关联的量，它们的关系可以用如图的图像表示。那么，这个图像可能是（    ）的关系。 A．自行车车轮的周长和转数 B．正方形的面积和周长 C．平行四边形的面积一定，底和高 D．圆柱的高一定，体积和底面积 10．如图，用四根吸管串成一个平行四边形，然后用双手捏住平行四边形的两个对角，向相反方向拉。在这个变化过程中，平行四边形的面积和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 二、填空题 11．已知3∶a＝4∶b，则a和b成（ ）比例。如果，那么b＝（ ）。 12．下表被弄脏了，如果x和y成正比例关系，那么被弄脏处的数是（ ）；如果x和y成反比例关系，那么被弄脏处的数是（ ）。 x 4 5 y 20 13．古代用“土圭之法”测量日影、判断节气。在同一时间、同一地点，一根高3米的标杆，影长120厘米，同时测得土圭的影长为180厘米。土圭的实际高度是（ ）米。 14．如图，一张光盘上刻有100兆的文件（黑色部分），如果每平方厘米的存储量一样大，那么灰色部分可以刻（ ）兆的文件。（兆是表示文件大小的单位） 15．小芳同学在家尝试自制酸梅汤。经多次试验发现用60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制的酸梅汤口感最佳。她打算给家人配制3600毫升同样口感的酸梅汤，需要酸梅原汁（ ）毫升。 16．如表，a和b是两个变化的量。 a 1.5 ？ b 0.6 1.8 （1）如果a和b成正比例，那么“？”处是（ ）。 （2）如果a和b成反比例，那么“？”处是（ ）。 17．已知5x＝8y，（x、y均不为0），那么x和y成（ ）比例；已知（x、y均不为0），那么x和y成（ ）比例。 18．如图描述了一个游泳池进水管打开后的进水情况。 （1）这个进水管的进水量与时间成（ ）关系。 （2）照这样的速度，如果给这个游泳池注水12分钟，能注水（ ）立方米；如果要给这个游泳池注水720立方米，需要（ ）小时。 19．北京绢花亦称“京花”，是流传于北京市的一种传统彩扎艺术。小丽做一种手工绢花，完成的数量与时间关系如图所示。 （1）小丽做手工绢花的数量与时间成（ ）比例。 （2）小丽5小时可以做（ ）个手工绢花；小丽做45个绢花需要（ ）小时。 20．下图中线段OM表示购买某种钢笔的数量与所花钱数的关系，点M表示李老师购买的钢笔数量和钱数。根据下图回答下列各问题。 （1）李老师购买了（ ）支钢笔，花了（ ）元。 （2）购买6支钢笔需要（ ）元，花225元能购买（ ）支这种钢笔。 （3）这种钢笔的单价是（ ）元/支。 三、解答题 21．一本故事书，小丽每天读16页，10天读完。如果要8天读完，平均每天要读多少页？（用比例解） 22．云阳月光草坪是位于重庆市云阳县滨江大道东北部的国家AAA级旅游景区，因形似月亮而得名，占地约500亩（核心草坪300余亩），为西南地区最大的人工草坪及长江三峡最大连片草坪公园。每年夏季都要对草坪清理杂草，今年6月原计划18个工人25天完成清理任务。为了赶工期，需要提前10天完成清理，这样需要安排多少个工人？ 23．空间站在太空中绕地球运行6周需要9小时，运行15周要用多长时间？（用比例解答） 24．学校开展项目化实践学习——“曹冲称象”。一袋薯片放在“小船”上，“小船”下沉0.3厘米，换成一袋饼干，“小船”下沉0.9厘米。已知薯片的质量是120克，这袋饼干的质量是多少克？（用比例解答） 25．AI绿植养护机器人4分钟可完成牡丹花海养护，照这样速度，养护花海需要多少分钟？（用比例解答） 26．你知道吗？ 芯片（Chip），又称集成电路，是一种将大量电子元件（如晶体管、电阻、电容等）集成在微小半导体材料上的微型电子器件，是现代电子设备的核心组件。芯片通过半导体工艺将电路小型化，所有元件集成在半导体晶片或介质基片上，封装后形成具有特定功能的微型结构。其核心材料以硅为主，其他包括钴、砷化镓等。芯片的功能与特点：①微型化：元件密度高，体积小。②高性能：低功耗、高可靠性，支持智能化功能。③核心作用：作为电子设备的“大脑”，负责数据处理、信号控制等。 请回答下面的问题。 （1）一种小型无人机，无人机的架数与芯片的总数量的关系如下表。 数量（架） 0 1 2 3 4 5 6 7 … 芯片数量（个） 0 12 24 36 48 60 72 84 … 无人机的架数与芯片的数量这两个量成什么比例关系？请在表格中选出两组数，组成比例。 （2）张叔叔买5架无人机花了6040元，李叔叔的商店想进货30架同样的无人机，需要准备多少钱？（★用两种方法解答） 27．下边的图象表示实验小学食堂的用煤天数和用煤量的关系。 （1）根据图象，你能判断用煤天数和用煤量成什么比例吗？ （2）如果用x表示用煤的天数，y表示用煤的吨数，k表示每天的用煤量，它们之间的关系可以表示为（ ）。 （3）根据图象判断，5天要用多少吨煤？2.7吨煤可用多少天？ 28．实验与探究。 中国新能源汽车产业迅猛崛起，引领了全球汽车产业的转型升级。苏老师新购买了电动汽车，准备放假时驾驶去旅游。请你根据下表中的相关数据，回答问题。 行驶路程/千米 50 100 150 200 …… 耗电量/千瓦时 7.5 15 22.5 30 …… （1）在如图中描出表示行驶路程和相对应耗电量的点，然后把它们按顺序连起来。 （2）再观察如图，会发现耗电量和行驶路程成_____比例关系。 （3）苏老师电动汽车蓄电总量为67.5千瓦时，可行驶________千米。 29．有一批橘子要装箱，下表是每箱的质量与箱数之间的关系。 每箱的质量/千克 5 10 20 50 100 箱数 100 （1）这批橘子的总质量是（ ）千克，请把上表补充完整。 （2）每箱橘子的质量与箱数之间成（ ）比例关系。 （3）每箱橘子的质量为125千克时，需要多少个箱子？ 30．某运输公司运输一批水果，下表是这批水果平均每箱装的水果质量与所需要的箱数的关系。 平均每箱装的水果质量/千克 3 4 5 6 10 15 所需要的箱数/箱 100 75 60 50 （   ） （   ） （1）请将上面的表格补充完整。 （2）判断这批水果平均每箱装的水果质量与所需要的箱数是否成反比例？并说明理由。 （3）当这批水果一共装了24箱时，平均每箱装的水果质量是多少千克？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $