专题06 长方体和正方体（专项训练）五升六年级数学暑假专项提升（苏教版）

**基本信息** 以“体系重建-易错剖析-方法精讲”为主线，系统构建长方体和正方体知识网络，通过典型错例与解题套路培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念认知|2类展开图/3特征对比|观察法（三维转二维）|从棱-面-体特征到展开图空间还原| |公式应用|表面积/体积公式推导|公式法（含变式）+单位换算规律|从度量意义到公式推导，形成“长×宽×高”统一模型| |易错突破|6个典型错例|避坑指南（如无盖表面积少算面）|针对棱长关系/表面积变化/体积容积混淆等核心易错点| |综合实践|12道解答题|转化法（如排水法求体积）|从数学问题到生活应用，培养几何直观与应用意识|

编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 五年级数学暑假专项提升 专题06 长方体和正方体 知识点一：长方体和正方体的认识 1、长方体的认识 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 （4）长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2、正方体的认识 （1）正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 （2）正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 （3）长方体和正方体的特征的异同。 3、正方体、长方体的展开图 （1）把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 （2）沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 知识点二：长方体和正方体的表面积 1、长方体的表面积 （1）长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 （3）有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 2、正方体的表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 3、利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 知识点三：体积和容积及单位的认识及换算 1、体积的意义。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。 2、容积的意义。 能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 3、体积单位。 计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 4、容积单位。 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 5、相邻体积单位间的进率。 每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 6、高级体积单位和低级体积单位之间的换算。 单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 7、体积单位换算的简便方法。 相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。 知识点四：长方体和正方体的体积 1、长方体体积计算公式。 长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2、正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 3、运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 4、体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 易错点1：概念与棱长关系混淆。 【典例1】用一根铁丝刚好可以焊成一个棱长6厘米的正方体框架。如果用这根铁丝焊成一个长8厘米，宽5厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？ 【错误答案】6×12=72（厘米）（正方体棱长总和） 72 ÷ (8+5) = 72 ÷ 13 ≈ 5.54（厘米） 【错解分析】错误地理解了长方体棱长总和公式。长方体棱长总和 = (长+宽+高)×4。错误答案在第二步只除以了“长+宽”，没有除以4。应该先用棱长总和除以4，得到“长+宽+高”的和，再减去长和宽，得到高。 【正确解答】铁丝长度（正方体棱长总和）：6 × 12 = 72（厘米） 长方体“长+宽+高”的和：72 ÷ 4 = 18（厘米） 长方体的高：18－8－5 = 5（厘米） 易错点2：概念与棱长关系混淆。 【典例2】用一根铁丝刚好可以焊成一个棱长6厘米的正方体框架。如果用这根铁丝焊成一个长8厘米，宽5厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？ 【错误答案】6×12=72（厘米）（正方体棱长总和） 72 ÷ (8+5) = 72 ÷ 13 ≈ 5.54（厘米） 【错解分析】错误地理解了长方体棱长总和公式。长方体棱长总和 = (长+宽+高)×4。错误答案在第二步只除以了“长+宽”，没有除以4。应该先用棱长总和除以4，得到“长+宽+高”的和，再减去长和宽，得到高。 【正确解答】铁丝长度（正方体棱长总和）：6 × 12 = 72（厘米） 长方体“长+宽+高”的和：72 ÷ 4 = 18（厘米） 长方体的高：18－8－5 = 5（厘米） 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 【典例3】一个长方体的无盖水箱，长4分米，宽3分米，高5分米，制作这个水箱至少需要多少铁皮? 【错误答案】 (4×3+4×5+3×5)×2=47×2=94 (平方分米) 答:制作这个水箱至少需要94平方分米铁皮。 【错解分析】水箱是没有盖的，也就是少一个上面，计算表面积时应少算一个上底面。 【正确答案】 4×3+(4×5+3×5)×2=12+35×2=82 (平方分米) 答:制作这个水箱至少需要82平方分米铁皮。 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【典例4】把两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积是多少？ 【错误答案】4 × 4 × 6 × 2 = 192（平方厘米） 【错解分析】未考虑拼接后减少的两个面的面积，直接计算了两个独立正方体的表面积总和。 【正确解答】 减少的面积：4 × 4 × 2 = 32（平方厘米） 长方体表面积：192 - 32 = 160（平方厘米） 或直接计算长方体表面积： 长8厘米、宽4厘米、高4厘米 → (8×4 + 8×4 + 4×4) × 2 = 160（平方厘米） 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【典例5】判断：两个体积单位之间的进率是1000。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有掌握体积单位之间的进率,不相邻的两个体积单位之间的进率不是1000,如立方厘米和立方米之间的进率是1000000。只有两个相邻的常用的体积单位（立方厘米、立方分米和立方米）之间的进率才是1000,如立方厘米和立方分米,立方分米和立方米之间的进率是1000。 【正确解答】错误。 易错点6：体积与容积混淆。 【典例6】一个长方体油箱从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，求它的容积（升）。 【错误答案】6×5×4 = 120（立方分米）= 120升 【错解分析】虽然计算正确，但未说明“1立方分米=1升”的换算关系，容易在单位转换时出错。 【正确解答】容积 = 6 ×5 ×4 = 120（立方分米） ∵ 1立方分米 = 1升 ∴ 容积为120升。 一、选择题 1．如图，5个棱长都是20cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面的面积是（    ）cm2。 A．1000 B．2000 C．4000 D．4400 【答案】D 【分析】露在外面的面积＝一个面的面积×露在外面的面的个数，先分别数出从上面、前面、右面看到的面的个数，再相加即可得到露在外面的个数，再根据正方体一个面的面积＝棱长×棱长求出一个面的面积，最后根据公式求出面积即可。 【解答】4＋4＋3 ＝8＋3 ＝11（个） 11×（20×20） ＝11×400 ＝4400（cm2） 露在外面的面的面积是4400cm2。 2．用含有字母的式子表示：一个长方体长x米，宽y米，高z米（其中0＜y＜x＜z）。它的底面周长是（    ）米，左面的面积是（    ）平方米，把它切成两个长方体，表面积最多将增加（    ）平方米。 A．2yz；2xz；yz B．2xz；yz；2x＋2yC．yz；2x＋2y；2yz D．2x＋2y；yz；2xz 【答案】D 【分析】长方体底面由长x和宽y构成，根据周长公式可得底面周长＝2（x＋y）＝2x＋2y；左面由宽y和高z构成，根据面积公式可得左面面积＝y×z＝yz；切开长方体时，增加的面积是切开面的两倍，各面面积：前后面：xz（面积最大，因为0＜y＜x＜z），左右面：yz，上下面：xy，最多增加面积为2xz。 【解答】根据分析可知，一个长方体长x米，宽y米，高z米（其中0＜y＜x＜z）。它的底面周长是（2x＋2y）米，左面的面积是yz平方米，把它切成两个长方体，表面积最多将增加2xz平方米。 3．如图，把长方体沿虚线切开，表面积增加（    ）。 A．27 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】把长方体沿虚线切开，表面积增加了2个切面，切面的大小与上下面相同，长×宽×2＝增加的表面积，据此列式计算。 【解答】12×3×2 ＝36×2 ＝72（cm2） 表面积增加72cm2。 4．下面图形折叠后，不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体展开图的11种特征判断即可： ①“1﹣4﹣1”型，中间4个一连串，两边各一随便放（共6种）； ②“2﹣3﹣1”型，二三紧连错一个，三一相连一随便（共3种）； ③“2﹣2﹣2”型，两两相连各错一（共1种）； ④“3﹣3”型，三个两排一对齐（共1种）。 【解答】A．不符合正方体展开图的任一特征，不能折成正方体； B．属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能折成正方体； C．属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能折成正方体； D．属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能折成正方体。 5．神木市秧歌《忠勇杨家鼓》起源于古麟州边塞战场的杨家将战鼓，历经岁月，融入了多种艺术元素，诠释了杨家将文化中的忠勇精神与家国情怀。如图，是一个正方体的展开图，将它围成一个正方体后，与“勇”相对面上的字是“（    ）”。 A．忠 B．杨 C．家 D．鼓 【答案】C 【分析】根据正方体的展开图，它属于类型，并且根据相对的面不相邻，会隔行或隔列，可知家与勇相对，忠与图案相对，杨与鼓相对。 【解答】根据分析，与勇相对面上的字是家。 6．把一个长是8cm、宽是6cm、高是5cm的长方体沿一个面切成两个长方体，增加的表面积最少是（    ）cm2。 A．96 B．80 C．60 D．30 【答案】C 【分析】把一个长方体切成两个长方体，会增加两个切面的面积。要使增加的表面积最少，需要平行于最小的面进行切割。分别计算出长方体三个不同面的面积，找出最小的面，再乘2即可得到增加的最小表面积。 【解答】长方体三个不同面的面积分别为： 长乘宽： 长乘高： 宽乘高： 因为，所以最小面的面积是。 要使增加的表面积最少，应平行于最小的面切割。 增加的表面积为： 7．一辆卡车的长方体油箱从里面量长0.8米，宽0.6米，高0.5米，若每升汽油可使卡车行驶7.8千米，则这辆卡车的油箱装满油后可行驶（    ）千米。 A．1.872 B．18.72 C．187.2 D．1872 【答案】D 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，求出油箱的容积，根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，把单位换算成升，再乘每升汽油可行驶的距离，就是这辆卡车的油箱装满油后可行驶的距离。 【解答】0.8×0.6×0.5 ＝0.48×0.5 ＝0.24（立方米） 0.24立方米＝240立方分米＝240升 240×7.8＝1872（千米） 这辆卡车的油箱装满油后可行驶1872千米。 8．将一根长8dm的长方体木料切成两部分（如图），得到一个棱长3dm的正方体和一个长方体，原来长方体木料的体积是（    ）dm3。 A．24 B．30 C．72 D．9 【答案】C 【分析】分析题目，根据切开之后右边的正方体的棱长是3dm可知：原来的长方体木料的宽和高都是3dm，长方体的体积＝长×宽×高，据此列式求出木料的体积。 【解答】8×3×3 ＝24×3 ＝72（dm3） 原来长方体木料的体积是72dm3。 9．如下图，要包装一个长方体礼盒（六个面都要包，接头处忽略不计），下面包装纸的尺寸合适的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入计算出礼盒的表面积。根据长方形的面积＝长×宽，计算出四个选项的面积。那么包装纸的面积要大于礼盒的表面积，且接近礼盒表面积。 【解答】（10×8＋10×2＋8×2）×2 ＝（80＋20＋16）×2 ＝（100＋16）×2 ＝116×2 ＝232（cm2） A．18×10＝180（cm2），180cm2＜232cm2，不适合，不符合题意。 B．28×8＝224（cm2），224cm2＜232cm2，不适合，不符合题意。 C．24×12＝288（cm2），288cm2＞232cm2，适合，符合题意。 D．36×10＝360（cm2），360cm2＞232cm2，但是比232cm2多得多，不适合。不符合题意。 10．一根铁丝长，用它围成的正方体框架的表面积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，正方体的棱长总和是60cm，正方体的棱长总和＝棱长×12，据此可以先求出棱长，再根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”计算表面积。 【解答】60÷12＝5（cm） 5×5×6＝150（） 一根铁丝长，用它围成的正方体框架的表面积是150cm2。 11．《西游记》分上、中、下三册，每册都是长16厘米，宽10厘米，厚0.5厘米。如果把这三册书包装在一起，最多可节省（    ）平方厘米的包装纸。（接口处不计） A．800 B．640 C．320 D．240 【答案】B 【分析】要节省最多的包装纸，就要把书最大的面重叠起来，这样减少的表面积最大。长方形面积＝长×宽，确定最大面的面积。三册书叠在一起，会形成2个重叠处，每个重叠处会遮住2个最大面，总共减少2×2＝4个最大面的面积。 【解答】16×10＝160（平方厘米） 16×0.5＝8（平方厘米） 10×0.5＝5（平方厘米） 160＞8＞5 2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 160×4＝640（平方厘米） 最多可节省640平方厘米的包装纸。 12．笑笑买了四个长方体形状的礼盒，每个礼盒长10cm、宽4cm、高1cm。把它们包装在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确包装纸面积对应拼接后长方体的表面积，因为拼接时重合面面积越大，总表面积越小，所以解题突破口是找到重合面总面积最大的拼接方式。 先计算单个长方体三种不同面的面积，确定面积最大的面的尺寸。 分别分析每个选项的拼接方式，计算对应重合面的总面积，比较后选择重合面积最大的选项。 【解答】A． （cm2） B． （cm2） C．（cm2） D． （cm2） C选项包装重合面积最大，所以最省包装纸。 13．为了测量一个不规则水晶矿石的体积，科学小组将其完全浸没在一个长方体玻璃水缸中，水面上升了4厘米（水未溢出），已知水缸从里面量长30厘米，宽2分米，初始水深11厘米，这块矿石的体积为（    ）。 A．420立方厘米 B．240立方厘米 C．4200立方厘米 D．2400立方厘米 【答案】D 【分析】矿石完全浸没且水未溢出，所以矿石的体积等于水面上升部分的水的体积。计算上升部分水的体积，上升部分的水是长等于水缸长、宽等于水缸宽、高等于水面上升高度的长方体，所以用长方体体积公式计算即可。 【解答】2分米＝20厘米 30×20×4 ＝600×4 ＝2400（立方厘米） 二、填空题 14．一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米，它的棱长总和是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 60 120 【分析】根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和；再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，求出长方体的体积。 【解答】（6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（厘米） 6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方厘米） 所以，它的棱长总和是60厘米，体积是120立方厘米。 15．在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些体积是的小正方体（如图），这个玻璃容器的容积是______。 【答案】60 【分析】先根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，确定小正方体的棱长；再通过观察图形中摆放的小正方体，准确数出长方体容器的长、宽、高各包含多少个小正方体的棱长，进而确定容器的长、宽、高数值，再根据长方体容积＝长×宽×高，求出玻璃容器的容积。 【解答】因为1＝1×1×1，所以小正方体的棱长为1cm。 观察图形，沿着容器的长边方向数，可以看到底面排列了5个小正方体，所以容器的长是：5×1＝5（cm） 沿着容器的宽边方向排列了4个小正方体，所以容器的宽是：4×1＝4（cm） 沿着容器的高边方向排列了3个小正方体，所以容器的高是：3×1＝3（cm） 容积为： 5×4×3 ＝20×3 ＝60（cm3） 16．用一根36分米长的铁丝焊成一个正方体框架，它的棱长是（ ）分米，再用铁皮将它焊成一个无盖的铁盒，至少需要（ ）平方分米的铁皮。 【答案】 3 45 【分析】正方体有12条相等的棱长和6个相等的面，首先用“棱长总和÷12”求出正方体的棱长；再用“棱长×棱长”算出一个面的面积，最后再用“这个面的面积×5”即可求出无盖正方体表面积。 【解答】36÷12＝3（分米） 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 17．奇思想把三盒饼干包在一起。每个饼干盒的长是25厘米，宽4厘米，高3厘米，最少需要（ ）平方厘米的包装纸。 【答案】722 【分析】包装纸面积等于组合大长方体的表面积，拼接贴合的面会被遮盖，不再计入表面积，贴合面面积越大，总表面积就越小，长方体三个不同面的面积有大小区分：最大面＝长×宽，中等面＝长×高，最小面＝宽×高，想要用纸最少，就要把面积最大的面互相重合叠放，根据总表面积＝所有小长方体表面积之和－重合遮盖面的总面积，求出需要最少的包装纸的面积。 【解答】25×4＝100（平方厘米） 25×3＝75（平方厘米） 4×3＝12（平方厘米） 3×2×（25×4＋25×3＋4×3） ＝3×2×（100＋75＋12） ＝3×2×187 ＝1122（平方厘米） 4×100＝400（平方厘米） 1122－400＝722（平方厘米） 18．一个长方体玻璃缸，从里面量长4.2分米，宽2.5分米，里面水深2分米，放入一块长3分米、宽2分米、高0.7分米的长方体大理石后（全部淹没水中，水未溢出），水面升高了（ ）分米。 【答案】0.4 【分析】升高部分的水的体积等于长方体大理石的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，求出大理石的体积，再除以玻璃缸的底面积，即可求出水面上升的高度。 【解答】3×2×0.7÷（4.2×2.5） ＝3×2×0.7÷10.5 ＝4.2÷10.5 ＝0.4（分米） 19．一根3.5米长的长方体木料沿与长垂直的面平均截成4段，表面积比原来增加了1.5平方米，原来这根长方体木料的体积是（ ）立方米。 【答案】0.875 【分析】将长方体木料沿与长垂直的面平均截成4段，需要截3次，每截一次表面积比原来会增加2个侧面的面积，截3次会增加3×2＝6（个），即这6个侧面的面积之和是1.5平方米，由此可知一个侧面面积为1.5÷6＝0.25（平方米）；最后根据“长方体体积＝侧面积×长”，代入数据即可解答。 【解答】3×2＝6（个） 1.5÷6＝0.25（平方米） 0.25×3.5＝0.875（立方米） 20．如图，一块长4cm、宽2cm、高2cm的长方体木料，如果截成四段，表面积增加了（ ）cm，如果截成n段，表面积增加了（ ）cm。 【答案】 24 8n－8 【分析】截成2段增加2个横截面，截成3段增加4个横截面，截成4段增加6个横截面，以此类推，每多截1段就会多增加2个横截面，截成n段增加[2（n－1）]个横截面。根据长方形的面积＝长×宽，可知每个横截面是（2×2）平方厘米，据此求出截成四段增加的横截面积，进而求出截成n段增加的面积。 【解答】2×2＝4（cm2） 截成4段增加的表面积： 2×（4－1）×4 ＝2×3×4 ＝6×4 ＝24（cm2） 截成n段增加的表面积： 2（n－1）×4＝（8n－8）cm2。 21．淘气想用铁丝制作一个长9分米，宽6分米，高10分米的长方体灯笼框架，这个灯笼最大面的面积是（ ），制作这个灯笼框架至少需要铁丝（ ）。 【答案】 90平方分米/90dm2 100分米/100dm 【分析】先比较出较长的两条棱作为最大面的长与宽，再计算这个面的面积；根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答即可。 【解答】9×10＝90（平方分米） （9＋6＋10）×4 ＝25×4 ＝100（分米） 22．如图是一个长方体框架的三条棱。 （1）制作这样一个长方体框架，至少需要（ ）cm的铁丝。 （2）如果在框架外面糊上一层纸，至少需要（ ）cm2的纸。 【答案】（1）120 （2）592 【分析】（1）用铁丝制作长方体框架，铁丝的长度至少等于长方体的棱长总和，即（长＋宽＋高）×4。从图中可知，长方体的长是12cm，宽是10cm，高是8cm； （2）在长方体外面糊上一层纸，至少需要纸的面积就是长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽 ＋长×高＋宽×高）×2。 【解答】（1）（12＋8＋10）×4 ＝30×4 ＝120（cm） （2）（12×10＋12×8＋10×8）×2 ＝（120＋96＋80）×2 ＝296×2 ＝592（cm2） 23．把一张长20厘米、宽12厘米的硬纸板（如图）从四个角各剪去一个正方形，再折成一个高2厘米的长方体无盖纸盒。这个纸盒的底面积是（ ）平方厘米，容积是（ ）立方厘米。 【答案】 128 256 【分析】长为20厘米，两边各减去一个边长为2厘米的正方形，求出长方体的长； 宽为12厘米，两边各减去一个边长为2厘米的正方形，求出长方体的宽； 长乘宽即可求出底面积，再乘高，即可求出长方体的容积。 【解答】（20－2×2）×（12－2×2） ＝（20－4）×（12－4） ＝16×8 ＝128（平方厘米） 128×2＝256（立方厘米） 这个纸盒的底面积是128平方厘米，容积是256立方厘米。 24．光明小学新建了一个长8m、宽2.75m、深6dm的长方体跳远沙坑，沙坑底层用黄土和沙石填充，上层填充4dm厚的细沙。这个跳远沙坑的占地面积是（ ），需要填充（ ）的细沙。 【答案】 22 // 【分析】①求沙坑的占地面积，也就是求这个长方体的底面积，即求这个沙坑的长和宽所围成的长方形的面积，长方形的面积＝长×宽。 ②求需要填充细沙的体积，就是求这个长方体的占地面积和细沙填充的高度的乘积，长方体的体积公式：，细沙填充的厚度是，需要统一单位。，低级单位转化成高级单位要除以进率。 【解答】①长：，宽： ② 高：dm 25．淘气在桌面上摆棱长为2cm的小正方体，摆1个正方体露在外面的面有5个（如图），照这样摆下去，摆4个小正方体时露在外面的面是（ ）个；摆n个小正方体时露在外面的面是（ ）个；摆n个小正方体时露在外面的面积是（ ）。 【答案】 14 2＋3n 8＋12n 【分析】观察图形可知，摆1个正方体露在外面的面有（2＋3×1）个，摆2个正方体露在外面的面有（2＋3×2）个，摆3个正方体露在外面的面有（2＋3×3）个……则摆n个正方体露在外面的面有（2＋3×n）个，再根据正方体一个面的面积＝棱长×棱长求出一个面的面积，最后乘露在外面的面的个数即可得到露在外面的面积。 【解答】2＋3×4 ＝2＋12 ＝14（个） 2＋3×n＝（2＋3n）（个） （2×2）×（2＋3n） ＝4×（2＋3n） ＝4×2＋4×3n ＝（8＋12n）cm2 摆4个小正方体时露在外面的面是14个；摆n个小正方体时露在外面的面是（2＋3n）个；摆n个小正方体时露在外面的面积是（8＋12n）cm2。 26．用一根长76厘米的铁丝做成一个长方体框架，这个长方体的长是8厘米，宽是7厘米，那么它的高是（ ）厘米。如果在这个长方体的表面糊上一层包装纸，需要（ ）平方厘米的包装纸。 【答案】 4 232 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用76厘米除以4算出一组长宽高的和，再减去长减去宽即可算出高；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式中求解。 【解答】高：76÷4－8－7 ＝19－8－7 ＝4（厘米） 表面积：（8×7＋8×4＋7×4）×2     ＝（56＋32＋28）×2 ＝116×2 ＝232（平方厘米） 三、计算题 27．计算下面图形的表面积和体积。     【答案】长方体：表面积600cm2，体积900cm3； 挖空几何体：表面积216dm2，体积204dm3； 【分析】第一个长方体（长15cm、宽10cm、高6cm），表面积公式＝（长×宽＋长×高＋宽×高），体积＝长×宽×高。 第二个挖空几何体（棱长6dm，挖去2dm×2dm×3dm小长方体），表面积＝原正方体表面积，因为挖去小方块后凹少了小长方体的前面、右面、上面3个面，同时又新增加了小长方体少的3个面，所以新的几何体表面积和原来正方体表面积相等。体积＝大正方体体积−挖去小长方体体积。 【解答】（1）第一个长方体（长15cm、宽10cm、高6cm）： 表面积： 2×（15×10＋15×6＋10×6） ＝2×（150＋90＋60） ＝2×300 ＝600（cm2） 体积：15×10×6＝900（cm3） 长方体：表面积600cm2，体积900cm3。 （2）第二个挖空几何体： 表面积： 6×6×6－（22＋23＋2×3）＋（2×2＋2×3＋2×3） ＝216－16＋16 ＝216（dm2） 体积： 6×6×6−2×2×3 ＝216−12 ＝204（dm3） 挖空几何体：表面积216dm2，体积204dm3。 28．计算下面立体图形的体积。       【答案】147cm3；86.4m3 【分析】（1）组合体体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。代入数值即可解答。 （2）先利用梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2算出横截面面积，再用横截面面积乘高，求出体积。 【解答】（1）6×4×5＋3×3×3 ＝120＋27 ＝147（cm3） （2）（2＋2.8）×1.8÷2×20 ＝4.8×1.8÷2×20 ＝8.64÷2×20 ＝4.32×20 ＝86.4（m3） 四、作图题 29．方格纸中每个小正方形边长都是1cm，下图是一个长方体展开图，请画出其余2个面，这个长方体的表面积是（    ） 【答案】 ；22 【分析】长方体的展开图，相邻的两个面之间要间隔1个面，据此补充完整其余的2个面，观察图可知，这个长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1厘米，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式解答。 【解答】画图略； （3×2＋3×1＋2×1）×2 ＝（6＋3＋2）×2 ＝11×2 ＝22（） 即这个长方体的表面积是22。 五、解答题 30．一个长方体鱼缸，从里面量长6分米，宽14分米，高5分米，水深3分米。如果放入一块棱长为3分米的正方体石头，水面会上升多少分米？ 【答案】分米 【分析】根据长方体的容积＝长×宽×高，算出长方体鱼缸空的部分的容积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体石头的体积，再比较判断水是否会溢出。如果水没有溢出，根据排水法原理，把正方体石头完全浸没在水中，水面上升的那部分水的体积就是正方体石头的体积；根据长方体体积＝底面积×高，用正方体石头的体积除以长方体底面积即可算出水面上升的高度。 【解答】正方体石头的体积：（立方分米） 长方体空的部分的体积：6×14×（5－3） ＝6×14×2 ＝168（立方分米） 168＞27，把正方体石头浸入水中，水不会溢出。 27÷（6×14） ＝27÷84 ＝（分米） 答：水面会上升分米。 31．小华为了计算一个土豆的体积，做了以下的实验。请你根据实验中测量到的数据，计算这个土豆的体积。 【答案】160立方厘米 【分析】根据题意可知，水面上升部分体积＝土豆的体积，土豆的体积＝容器的长×容器的宽×水面上升的高度，据此解答。 【解答】10×8×（7－5） ＝10×8×2 ＝160（立方厘米） 答：土豆的体积是160立方厘米。 32．海夜叉是动画电影《哪吒》系列中的重要角色，他机智又狡猾。在一次大战中，海夜叉躲进一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的装有水的长方体容器中，水面上升了2分米（完全浸没，水未溢出），则海夜叉的体积是多少立方分米？ 【答案】48立方分米 【分析】物体完全浸没在水中且水未溢出时，物体的体积等于上升部分水的体积。根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入容器的长、宽和水面上升的高度计算即可。 【解答】6×4×2 ＝24×2 ＝48（立方分米） 答：海夜叉的体积是48立方分米。 33．向底面积是600平方厘米，高是30厘米的长方体容器中放入一些水，测得水面高15厘米，再放入3个相同大小的小正方体，小正方体完全浸入水中，此时水面高15.5厘米，一个小正方体的体积是多少立方厘米？（容器壁厚度忽略不计） 【答案】立方厘米 【分析】先用底面积600平方厘米乘高（水上升的高度，即）可以算出水上升的体积；三个小正方体的体积等于水上升的体积，接着除以即可算出一个小正方体的体积。 【解答】 （立方厘米） （立方厘米） 答：一个小正方体的体积是立方厘米。 34．一块表面涂有红漆的长方体木块，如下图那样挖掉一个长10厘米、宽4厘米、深6厘米的小长方体。求挖掉后的木块没有涂红漆的面的总面积是多少平方厘米？ 【答案】208平方厘米 【分析】原来的大长方体中挖掉一个小长方体，没有涂红漆的面实际上是小长方体的四个侧面加上后面，其中对应的两个面的面积是相等的，将五个面的面积求出后再相加解答即可。 【解答】6×10×2＋4×6×2＋10×4 ＝60×2＋24×2＋40 ＝120＋48＋40 ＝208（平方厘米） 答：挖掉后的木块没有涂红漆的面的总面积是168平方厘米。 35．如图，鱼缸里有两条一模一样的小鱼。求出一条小鱼的体积是多少立方分米？ 【答案】1.35立方分米 【分析】由图可知两条小鱼的体积和等于下降部分水的体积，下降部分水的底面积等于鱼缸的底面积，下降部分水的高等于两个鱼缸的水位差，根据由此可以算出下降的水的体积，即两条鱼的体积，再除以2就是一条鱼的体积。 【解答】 （立方分米） 答：一条小鱼的体积是1.35立方分米。 36．一张长方形铁皮（如图），长40厘米，宽20厘米，从四个角分别剪去边长是5厘米的小正方形，然后把四周折起来，做成一个无盖的铁皮容器。这个容器的容积是多少升？ 【答案】1.5升 【分析】通过观察图形可知，做成铁盒的长是厘米，宽是厘米，高是5厘米，根据长方体的容积公式：，代入数据计算即可；注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【解答】铁皮容器的长是：（厘米） 铁皮容器的宽是：（厘米） 铁皮容器的高是：5厘米， 这个容器的容积是： （立方厘米） 1500立方厘米＝1500毫升＝1.5升 答：这个铁盒的容积是1.5升。 37．葫芦岛市位于辽宁省西南部，被称为“关外第一市”，缘临渤海，拥有众多海滨浴场，吸引了八方游客。某海滨浴场计划在靠近沙滩的位置增设一个冲洗池，方便游客游玩后洗掉脚上的泥沙。冲洗池内壁长30分米，宽12分米，深5分米，内壁上两个换水孔的总面积为2.5平方分米。 （1）要将这个冲洗池的底面和内壁抹上水泥（换水孔不抹），需要抹水泥的面积是多少平方分米？ （2）要将这个冲洗池的底面铺上防滑砖，要求使用的防滑砖都是整块的，选择下面哪种规格的防滑砖合适？请说明你的理由。 规格一 5分米×5分米 规格二 6分米×6分米 规格三 8分米×8分米 【答案】（1）777.5平方分米 （2）选规格二；理由：只有边长6分米是两者的公因数，能保证地砖整块铺设，因此选择规格二。 【分析】（1）根据题意，抹水泥的面积是冲洗池底面加四个内壁的面积，再减去换水孔面积。先根据无盖长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，先代入冲洗池的长、宽、高，求出底面和四个内壁的总面积，再减去换水孔的总面积，即可求出抹水泥的面积。 （2）要让防滑砖整块铺满底面，防滑砖的边长必须是底面长和宽的公因数，需分别判断三种规格的边长是否同时为30分米和12分米的公因数，符合条件的即为合适的防滑砖。 【解答】（1）30×12＋（30×5＋12×5）×2－2.5 ＝360＋（150＋60）×2－2.5 ＝360＋210×2－2.5 ＝360＋420－2.5 ＝780－2.5 ＝777.5（平方分米） 答：需要抹水泥的面积是777.5平方分米。 （2）30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30； 12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有1，2，3，4，6，12； 所以30和12的公因数有1，2，3，6。 答：选择规格二。理由：只有边长6分米是两者的公因数，能保证地砖整块铺设，因此选择规格二。 38．聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈生日那天，聪聪从超市买来两个同样大小的礼品。通过测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。聪聪想给妈妈一个惊喜，准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上“妈妈生日快乐！”。 （1）请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的总空间是多大？ （2）如果按最节省彩纸的方法包装，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】（1）480立方厘米 （2）376平方厘米 【分析】（1）长方体的体积＝长×宽×高，据此算出1个礼品的体积，再乘2即可得到两个礼品所占的空间； （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分析题目，把2个小长方体拼成一个大长方体会减少2个相同的面，要节省彩纸，需要使拼成的大长方体的表面积最小，即把最大的面重叠，礼品最大的面是长×宽的面，据此可知，拼成的大长方体的长和宽都等于原来小长方体的长和宽，高等于小长方体高的2倍，据此代入公式求出彩纸的面积。 【解答】（1）10×6×4×2 ＝60×4×2 ＝240×2 ＝480（立方厘米） 答：这两个礼品所占的总空间是480立方厘米。 （2）4×2＝8（厘米） （10×8＋10×6＋8×6）×2 ＝（80＋60＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方厘米） 答：至少需要376平方厘米的彩纸。 39．某市体育中心新建了一个游泳池，长50米、宽25米、深3米。 （1）现在要将游泳池的四周和底面贴上大理石瓷砖，贴瓷砖的面积一共是多少平方米？ （2）如果往游泳池里注入2.5米深的水，这些水有多少吨？（1立方米的水重1吨） 【答案】（1）1700平方米 （2）3125吨 【分析】（1）游泳池是一个长方体，贴瓷砖的部分包括底面和四周的侧面，一共5个面，根据“”求出贴瓷砖的面积； （2）先根据“”求出水的体积，再乘1立方米水的重量求出水的总重量。 【解答】（1）50×25＋（50×3＋25×3）×2 ＝50×25＋（150＋75）×2 ＝50×25＋225×2 ＝1250＋450 ＝1700（平方米） 答：贴瓷砖的面积一共是1700平方米。 （2）50×25×2.5 ＝1250×2.5 ＝3125（立方米） 3125×1＝3125（吨） 答：这些水有3125吨。 40．小娅周末在家想学习自制珍珠奶茶。 步骤①：准备一个长方体的杯子，从里面量，长厘米，宽厘米，高厘米； 步骤②：将毫升的牛奶倒入杯子里； 步骤③：在杯子里放入颗大小相同的“珍珠”，浸没，此时正好满杯。 （1）没放“珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是多少？ （2）每颗“珍珠”的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）厘米 （2）立方厘米 【解答】（1）先进行单位换算，因为毫升和立方厘米是等量单位，所以毫升可直接转换为立方厘米，作为牛奶的体积，根据长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式就可以求出牛奶的高度。 （2）先计算杯子的总容积，因为放入珍珠后正好满杯，所以所有珍珠的总体积等于杯子总容积减去牛奶的体积，再用珍珠总体积除以珍珠数量，即可得到单颗珍珠的体积。 【解答】（1）毫升立方厘米 （厘米） 答：没放“珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是厘米。 （2） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：每颗“珍珠”的体积是立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 编者的话 当蝉鸣响起，暑假如约而至，这本讲义将是你最特别的暑期伙伴。这不仅仅是一本练习册，而是一份为你量身定制的成长地图，一场关于知识、方法与思维的深度探索，一次让你在假期中悄然超越、开学惊艳的宝贵机会。 为什么需要暑假专项提升？ 暑假，是时间的礼物——它不是学习的暂停键，而是调整节奏、巩固根基、拓展视野的黄金期。 对上学期：它是你查漏补缺的“放大镜”，帮你将那些似懂非懂的知识点，变成扎实稳固的基石。 对下学期：它是你预习探索的“望远镜”，让你带着准备和信心，从容面对新一程的学习挑战。 对你自己：它更是一个培养自主学习力、时间管理力和深度思考力的绝佳训练场。在这里，你获得的不仅是分数，更是受益一生的学习能力。 这套讲义将如何帮助你？ 我们坚信，真正的提升，不是重复刷题，而是系统的梳理、方法的掌握与思维的升级。因此，我们为你设计了这样的学习路径： 体系重建，让知识“连成线、织成网” 我们针对每个单元进行知识点梳理及易错点讲解，帮你巩固知识，打破易错，做到没有错题。 易错点剖析，让学习“抓要害、提效率” 我们深入分析每个知识板块的高频错题，为你揭示错误背后的思维陷阱与概念盲区。不仅指出“哪里容易错”，更讲透“为什么错”及“如何避免再错”，让你在精准排雷中实现高效学习，从容避坑。 方法精讲，让解题“有套路、有章法” 每个习题，我们都提炼了最核心的解题方法、最易错的避坑指南和最实用的应试技巧。我们不止告诉你“是什么”，更告诉你“为什么”和“怎么做”，让你从“听懂”到“会做”，再到“精通”。 在这个暑假结束时，当你合上这本讲义，你收获的将不仅是： ✅对上学期知识的全面掌握与深刻理解​ ✅一套属于自己的、高效实用的学习方法论​ ✅更重要的是，那份对学习的掌控感、对挑战的自信力，以及“我可以通过规划与努力实现目标”的成长心态。 现在，就让我们翻开第一页，从你最想点亮的那一个知识点开始。用笔尖思考，用汗水灌溉，用整个夏天的专注，兑换一个更从容、更强大、更令自己骄傲的新学期。 这个暑假，超越不止于成绩，成长发生在每一天。 五年级数学暑假专项提升 专题06 长方体和正方体 知识点一：长方体和正方体的认识 1、长方体的认识 （1）从不同的角度观察同一个长方体。 把长方体放在桌面上，无论从哪个角度观察，最多只能同时观察到长方体的三个面。 （2）长方体的棱和顶点。 长方体两个面相交的线叫作长方体的棱，三条棱相交的点叫作长方体的顶点。 （3）长方体长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 （4）长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2、正方体的认识 （1）正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等，有8个顶点。 （2）正方体的长、宽、高相等，都叫正方体的棱长。 （3）长方体和正方体的特征的异同。 3、正方体、长方体的展开图 （1）把一个正方体沿一条棱剪开，如下图所示。 正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的，可以通过观察、折叠找到3组相对的面。 （2）沿长方体的棱把长方体剪开，展开图中有3组相对的面，相对的面完全相同，相对的面完全隔开。 知识点二：长方体和正方体的表面积 1、长方体的表面积 （1）长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 （2）长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 （3）有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 2、正方体的表面积 正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 3、利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 知识点三：体积和容积及单位的认识及换算 1、体积的意义。 物体所占空间的大小叫作物体的体积。 不同物体所占空间的大小不一样，体积也不一样大；相同物体所占空间的大小一样，体积也一样大。 2、容积的意义。 能盛装其他的物体的物体都可以称为容器。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 3、体积单位。 计量物体的体积需要统一的标准，这个统一的标准就是体积单位。常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。 4、容积单位。 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升做单位。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。 5、相邻体积单位间的进率。 每相邻两个体积单位间的进率是1000。1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 由“1立方分米=1升”及学过的“1立方米=1000立方分米”，可以得出“1立方米=1000升”；由“1立方厘米=1毫升”及学过的“1立方分米=1000立方厘米”，可以得出“1立方分米=1000毫升”。 6、高级体积单位和低级体积单位之间的换算。 单位换算的一般规律：高级单位换算成低级单位要乘它们之间的进率，低级单位换算成高级单位要除以它们之间的进率。 7、体积单位换算的简便方法。 相邻的两个体积单位间的进率是1000，高级单位化成低级单位时，只要把小数点想向右移动3位（相邻）或6位（不相邻，1立方米=1000000立方厘米，有6个0，要向右移动6位）即可。 知识点四：长方体和正方体的体积 1、长方体体积计算公式。 长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2、正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 3、运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 4、体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 易错点1：概念与棱长关系混淆。 【典例1】用一根铁丝刚好可以焊成一个棱长6厘米的正方体框架。如果用这根铁丝焊成一个长8厘米，宽5厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？ 【错误答案】6×12=72（厘米）（正方体棱长总和） 72 ÷ (8+5) = 72 ÷ 13 ≈ 5.54（厘米） 【错解分析】错误地理解了长方体棱长总和公式。长方体棱长总和 = (长+宽+高)×4。错误答案在第二步只除以了“长+宽”，没有除以4。应该先用棱长总和除以4，得到“长+宽+高”的和，再减去长和宽，得到高。 【正确解答】铁丝长度（正方体棱长总和）：6 × 12 = 72（厘米） 长方体“长+宽+高”的和：72 ÷ 4 = 18（厘米） 长方体的高：18－8－5 = 5（厘米） 易错点2：概念与棱长关系混淆。 【典例2】用一根铁丝刚好可以焊成一个棱长6厘米的正方体框架。如果用这根铁丝焊成一个长8厘米，宽5厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？ 【错误答案】6×12=72（厘米）（正方体棱长总和） 72 ÷ (8+5) = 72 ÷ 13 ≈ 5.54（厘米） 【错解分析】错误地理解了长方体棱长总和公式。长方体棱长总和 = (长+宽+高)×4。错误答案在第二步只除以了“长+宽”，没有除以4。应该先用棱长总和除以4，得到“长+宽+高”的和，再减去长和宽，得到高。 【正确解答】铁丝长度（正方体棱长总和）：6 × 12 = 72（厘米） 长方体“长+宽+高”的和：72 ÷ 4 = 18（厘米） 长方体的高：18－8－5 = 5（厘米） 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 【典例3】一个长方体的无盖水箱，长4分米，宽3分米，高5分米，制作这个水箱至少需要多少铁皮? 【错误答案】 (4×3+4×5+3×5)×2=47×2=94 (平方分米) 答:制作这个水箱至少需要94平方分米铁皮。 【错解分析】水箱是没有盖的，也就是少一个上面，计算表面积时应少算一个上底面。 【正确答案】 4×3+(4×5+3×5)×2=12+35×2=82 (平方分米) 答:制作这个水箱至少需要82平方分米铁皮。 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【典例4】把两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积是多少？ 【错误答案】4 × 4 × 6 × 2 = 192（平方厘米） 【错解分析】未考虑拼接后减少的两个面的面积，直接计算了两个独立正方体的表面积总和。 【正确解答】 减少的面积：4 × 4 × 2 = 32（平方厘米） 长方体表面积：192 - 32 = 160（平方厘米） 或直接计算长方体表面积： 长8厘米、宽4厘米、高4厘米 → (8×4 + 8×4 + 4×4) × 2 = 160（平方厘米） 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【典例5】判断：两个体积单位之间的进率是1000。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有掌握体积单位之间的进率,不相邻的两个体积单位之间的进率不是1000,如立方厘米和立方米之间的进率是1000000。只有两个相邻的常用的体积单位（立方厘米、立方分米和立方米）之间的进率才是1000,如立方厘米和立方分米,立方分米和立方米之间的进率是1000。 【正确解答】错误。 易错点6：体积与容积混淆。 【典例6】一个长方体油箱从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，求它的容积（升）。 【错误答案】6×5×4 = 120（立方分米）= 120升 【错解分析】虽然计算正确，但未说明“1立方分米=1升”的换算关系，容易在单位转换时出错。 【正确解答】容积 = 6 ×5 ×4 = 120（立方分米） ∵ 1立方分米 = 1升 ∴ 容积为120升。 一、选择题 1．如图，5个棱长都是20cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面的面积是（    ）cm2。 A．1000 B．2000 C．4000 D．4400 2．用含有字母的式子表示：一个长方体长x米，宽y米，高z米（其中0＜y＜x＜z）。它的底面周长是（    ）米，左面的面积是（    ）平方米，把它切成两个长方体，表面积最多将增加（    ）平方米。 A．2yz；2xz；yz B．2xz；yz；2x＋2y C．yz；2x＋2y；2yz D．2x＋2y；yz；2xz 3．如图，把长方体沿虚线切开，表面积增加（    ）。 A．27 B．36 C．48 D．72 4．下面图形折叠后，不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C．D． 5．神木市秧歌《忠勇杨家鼓》起源于古麟州边塞战场的杨家将战鼓，历经岁月，融入了多种艺术元素，诠释了杨家将文化中的忠勇精神与家国情怀。如图，是一个正方体的展开图，将它围成一个正方体后，与“勇”相对面上的字是“（    ）”。 A．忠 B．杨 C．家 D．鼓 6．把一个长是8cm、宽是6cm、高是5cm的长方体沿一个面切成两个长方体，增加的表面积最少是（    ）cm2。 A．96 B．80 C．60 D．30 7．一辆卡车的长方体油箱从里面量长0.8米，宽0.6米，高0.5米，若每升汽油可使卡车行驶7.8千米，则这辆卡车的油箱装满油后可行驶（    ）千米。 A．1.872 B．18.72 C．187.2 D．1872 8．将一根长8dm的长方体木料切成两部分（如图），得到一个棱长3dm的正方体和一个长方体，原来长方体木料的体积是（    ）dm3。 A．24 B．30 C．72 D．9 9．如下图，要包装一个长方体礼盒（六个面都要包，接头处忽略不计），下面包装纸的尺寸合适的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 10．一根铁丝长，用它围成的正方体框架的表面积是（    ）。 A． B． C． D． 11．《西游记》分上、中、下三册，每册都是长16厘米，宽10厘米，厚0.5厘米。如果把这三册书包装在一起，最多可节省（    ）平方厘米的包装纸。（接口处不计） A．800 B．640 C．320 D．240 12．笑笑买了四个长方体形状的礼盒，每个礼盒长10cm、宽4cm、高1cm。把它们包装在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 13．为了测量一个不规则水晶矿石的体积，科学小组将其完全浸没在一个长方体玻璃水缸中，水面上升了4厘米（水未溢出），已知水缸从里面量长30厘米，宽2分米，初始水深11厘米，这块矿石的体积为（    ）。 A．420立方厘米 B．240立方厘米 C．4200立方厘米 D．2400立方厘米 二、填空题 14．一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米，它的棱长总和是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 15．在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些体积是的小正方体（如图），这个玻璃容器的容积是______。 16．用一根36分米长的铁丝焊成一个正方体框架，它的棱长是（ ）分米，再用铁皮将它焊成一个无盖的铁盒，至少需要（ ）平方分米的铁皮。 17．奇思想把三盒饼干包在一起。每个饼干盒的长是25厘米，宽4厘米，高3厘米，最少需要（ ）平方厘米的包装纸。 18．一个长方体玻璃缸，从里面量长4.2分米，宽2.5分米，里面水深2分米，放入一块长3分米、宽2分米、高0.7分米的长方体大理石后（全部淹没水中，水未溢出），水面升高了（ ）分米。 19．一根3.5米长的长方体木料沿与长垂直的面平均截成4段，表面积比原来增加了1.5平方米，原来这根长方体木料的体积是（ ）立方米。 20．如图，一块长4cm、宽2cm、高2cm的长方体木料，如果截成四段，表面积增加了（ ）cm，如果截成n段，表面积增加了（ ）cm。 21．淘气想用铁丝制作一个长9分米，宽6分米，高10分米的长方体灯笼框架，这个灯笼最大面的面积是（ ），制作这个灯笼框架至少需要铁丝（ ）。 22．如图是一个长方体框架的三条棱。 （1）制作这样一个长方体框架，至少需要（ ）cm的铁丝。 （2）如果在框架外面糊上一层纸，至少需要（ ）cm2的纸。 23．把一张长20厘米、宽12厘米的硬纸板（如图）从四个角各剪去一个正方形，再折成一个高2厘米的长方体无盖纸盒。这个纸盒的底面积是（ ）平方厘米，容积是（ ）立方厘米。 24．光明小学新建了一个长8m、宽2.75m、深6dm的长方体跳远沙坑，沙坑底层用黄土和沙石填充，上层填充4dm厚的细沙。这个跳远沙坑的占地面积是（ ），需要填充（ ）的细沙。 25．淘气在桌面上摆棱长为2cm的小正方体，摆1个正方体露在外面的面有5个（如图），照这样摆下去，摆4个小正方体时露在外面的面是（ ）个；摆n个小正方体时露在外面的面是（ ）个；摆n个小正方体时露在外面的面积是（ ）。 26．用一根长76厘米的铁丝做成一个长方体框架，这个长方体的长是8厘米，宽是7厘米，那么它的高是（ ）厘米。如果在这个长方体的表面糊上一层包装纸，需要（ ）平方厘米的包装纸。 三、计算题 27．计算下面图形的表面积和体积。     28．计算下面立体图形的体积。       四、作图题 29．方格纸中每个小正方形边长都是1cm，下图是一个长方体展开图，请画出其余2个面，这个长方体的表面积是（    ） 五、解答题 30．一个长方体鱼缸，从里面量长6分米，宽14分米，高5分米，水深3分米。如果放入一块棱长为3分米的正方体石头，水面会上升多少分米？ 31．小华为了计算一个土豆的体积，做了以下的实验。请你根据实验中测量到的数据，计算这个土豆的体积。 32．海夜叉是动画电影《哪吒》系列中的重要角色，他机智又狡猾。在一次大战中，海夜叉躲进一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的装有水的长方体容器中，水面上升了2分米（完全浸没，水未溢出），则海夜叉的体积是多少立方分米？ 33．向底面积是600平方厘米，高是30厘米的长方体容器中放入一些水，测得水面高15厘米，再放入3个相同大小的小正方体，小正方体完全浸入水中，此时水面高15.5厘米，一个小正方体的体积是多少立方厘米？（容器壁厚度忽略不计） 34．一块表面涂有红漆的长方体木块，如下图那样挖掉一个长10厘米、宽4厘米、深6厘米的小长方体。求挖掉后的木块没有涂红漆的面的总面积是多少平方厘米？ 35．如图，鱼缸里有两条一模一样的小鱼。求出一条小鱼的体积是多少立方分米？ 36．一张长方形铁皮（如图），长40厘米，宽20厘米，从四个角分别剪去边长是5厘米的小正方形，然后把四周折起来，做成一个无盖的铁皮容器。这个容器的容积是多少升？ 37．葫芦岛市位于辽宁省西南部，被称为“关外第一市”，缘临渤海，拥有众多海滨浴场，吸引了八方游客。某海滨浴场计划在靠近沙滩的位置增设一个冲洗池，方便游客游玩后洗掉脚上的泥沙。冲洗池内壁长30分米，宽12分米，深5分米，内壁上两个换水孔的总面积为2.5平方分米。 （1）要将这个冲洗池的底面和内壁抹上水泥（换水孔不抹），需要抹水泥的面积是多少平方分米？ （2）要将这个冲洗池的底面铺上防滑砖，要求使用的防滑砖都是整块的，选择下面哪种规格的防滑砖合适？请说明你的理由。 规格一 5分米×5分米 规格二 6分米×6分米 规格三 8分米×8分米 38．聪聪非常喜欢研究数学问题。妈妈生日那天，聪聪从超市买来两个同样大小的礼品。通过测量，他发现每个礼品的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。聪聪想给妈妈一个惊喜，准备将这两个礼品重叠起来，再用彩纸给表面包装起来写上“妈妈生日快乐！”。 （1）请帮聪聪算一算，这两个礼品所占的总空间是多大？ （2）如果按最节省彩纸的方法包装，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 39．某市体育中心新建了一个游泳池，长50米、宽25米、深3米。 （1）现在要将游泳池的四周和底面贴上大理石瓷砖，贴瓷砖的面积一共是多少平方米？ （2）如果往游泳池里注入2.5米深的水，这些水有多少吨？（1立方米的水重1吨） 40．小娅周末在家想学习自制珍珠奶茶。 步骤①：准备一个长方体的杯子，从里面量，长厘米，宽厘米，高厘米； 步骤②：将毫升的牛奶倒入杯子里； 步骤③：在杯子里放入颗大小相同的“珍珠”，浸没，此时正好满杯。 （1）没放“珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是多少？ （2）每颗“珍珠”的体积是多少立方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $