几何解答压轴题期末训练（海南）2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

**基本信息** 以几何图形动态变换为载体，系统整合三角形内外角、角平分线、折叠等知识，通过递进式设问提炼转化、方程思想，培养逻辑推理与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形综合|8题|内角和与外角转化、角平分线模型|从静态角度计算到动态规律探究，构建“已知角→未知角”推理链| |四边形与折叠|7题|折叠性质应用、整体思想|折叠前后角等量关系→四边形内角和→综合角度关系推导| |平行线与旋转|6题|平行性质迁移、分类讨论|平行线判定与性质→旋转动态变化→多位置角关系分析|

几何解答压轴题期末训练（海南） 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 1．如图①，在中，平分且与的外角的平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） (3)若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 2．如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 3．如图1，直线与直线分别交于点E、F，且． (1)与有什么数量关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，说明理由． 4．问题情景：如图1，中，有一块直角三角板放置在上（P点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点B和点C，试问与是否存在某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则_________度， _________度， _________度． (2)类比探索：请探究与的关系； (3)类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置：使P点在外，三角板的两条直角边仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 5．直线于点O，点A、B分别在射线、上（不与点O重合）． (1)如图1，、分别是和．的角平分线，求的度数； (2)如图2，延长至点G，、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点C、H，若，求的度数； (3)如图3，点D在上，过点O作，交的延长线于点E，作于点F． ①若，判断与是否相等，并说明理由； ②若，平分，求的度数． 6．已知，如图，直线与直线、分别交于、两点，射线平分交直线于点，．    （图1）                        （图2） (1)试说明：； (2)如图，已知点是线段上一个动点，连接，的平分线交直线于． ①若，，求的度数； ②若，请直接写出与的数量关系（用含代数式表示）； ③若点运动到射线上，当时，则此时与的数量关系为______（用含代数式表示）． 7．已知点A在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，垂足为B，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作交射线于点F，当时，求的度数． 8．将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，，），并能绕C点自由旋转． (1)写出与的数量关系，并说明理由； (2)当且点E在直线的上方时，固定直角三角尺，将直角三角尺绕C点自由旋转． ①当时， °； ②要使，则的度数为 °，请说明理由； ③直接写出分别使得的的度数，不必写出理由． 9．如图，在中，是的平分线，为线段上一个动点，于点，交的延长线于点．    (1)若，，则，_____； (2)若，，求的度数； (3)若，，，求，用含的式了表示) 10．在中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC边所在的直线上，点E在射线AC上，且始终保持∠ADE＝∠AED． (1)如图1，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数； (2)如图2，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数； (3)如图3，当点D在BC边的延长线上时，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由． 11．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°． (1)如图1，若∠B=∠C，求∠C的度数； (2)如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BEAD，求∠C的度数； (3)如图3． ①若BE、CF分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，BE、CF交于点O，求∠BOC的度数，并探究∠BOC与∠A，∠D之间的数量关系，写出你的结论．（不必写理由） ②若BE⊥DC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF交于点O，探究∠BOC与∠A，∠D之间的数量关系，写出你的结论．（不必写理由） 12．将一张长方形纸片按如图所示方式进行折叠，使点落至点处，点落至点处，且与在同一直线上，折痕分别为，． (1)证明：； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由； (3)请直接写出与之间的数量关系． 13．数学活动课上，学生利用折纸可以作出角平分线，具体操作如图1，在纸上画出，经过折叠使和重合，则折痕为的平分线． 在长方形纸片中，点P在边上，点M在边上，以为折痕进行折纸，使点C落在点，点D落在点，折纸过程中，学生发现有如图2和图3两种情况： (1)如图2，①若，则的度数是______；若，则的度数是_____； ②与的数量关系为_____，说明理由． (2)如图3，若，则______．（用含的式子表示） 14．已知点A，B分别是锐角（）的边，上的点，先将沿着折叠，折叠后点P的对应点为Q， (1)如图1，若折叠后点Q落到的内部，且，与相等吗？若相等说明理由？ (2)如图2，若折叠后，试说明； (3)在（2）的条件下，过点Q作交于点C，当时，求度数？ 15．在中，，点是边上一点，将沿直线翻折得到，与交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，连接，的平分线交直线于点，且，若，请说明； (3)在（2）的条件下，若，在平面内将绕点逆时针方向旋转一个角度得到．在旋转的过程中，直线与的一边所在直线相交于点．当为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 16．数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示，在旋转过程中，小明发现的大小发生了变化，但它们的和不变，即 ； (2)若分别位于的上方和下方，如图所示，则之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线分别是的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 17．贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究：在中，，．    (1)如图1，若点D为线上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小． (2)如图2，将沿翻折得到．探究、之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，若D点为直线上一动点，连接，将沿进行翻折后得到连接，若中存在的内角时，此时的值为 18．如图1，三角形中，．点E是边上的定点，点D在边上运动．沿折叠三角形，点C落在点G处． （1）如图2，若，求的度数． （2）如图3，若，求的度数． （3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出的度数 19．（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 20．如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 21．发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 几何解答压轴题期末训练（海南） 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 1．(1) (2)不变， (3)，理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）延长交于点A，将问题转化为（2）即可． 【详解】（1）解：，平分， ， 又， ， 平分， ， ， （2）解：不变化，理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即； （3）解：，理由如下： 如图，延长、交于点， ∴ ， 由（2）可得， ． 2．(1)的度数为； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为； （2）解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （3）解：∵和的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键． 3．(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的大小不会发生变化，其值为，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理的应用． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据，可得，再由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （3）根据三角形内角和定理可得，从而得到，再由平分，可得，即可． 【详解】（1）∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的大小不会发生变化，其值为． 4．(1)140，90，50 (2) (3)不成立， 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题． （2）结论：．利用三角形内角和定理即可证明． （3）不成立；存在结论：．利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴； （2）解：结论：． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：不成立； 存在结论：． 设交于O． ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 5．(1) (2) (3)①，理由见解析 ② 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角性质，角平分线的定义，解决本题的关键是综合运用三角形内角和及外角的关系； （1）利用三角形内角和定义和角平分线的定义求的度数，再根据三角形内角和定义即可解答； （2）根据平角的定义和角平分线的定义得由，可知，再证，由三角形外角的性质得 ，从而得 ，即可求出； （3）①先由同角的余角得，有等量代换得； ②先根据等角的余角相等，及角平分线的定义可得， 再求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图 ∵、分别是和的角平分线， ∵， ∴， ， 在中， ， ． （2）如图： ， ∵、分别是和的角平分线， ，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ， ， ∴． （3）如图 ①， 理由如下： ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴； ② 在中， ∵， ∴． ∵． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 6．(1)见解析 (2)①；②；③． 【分析】（）首先由角平分线得到，然后结合题意得到，进而得到； （）①根据平行线的性质得到，根据角平分线的概念得到，，进而求解即可； ②过点作，根据平行线的性质得到，，然后结合角平分线的概念得到，．然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可． ③过点作，根据平行线的性质得到，，然后结合角平分线的概念得到．然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵射线平分 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：①∵， ∴ ∵平分 ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴； ②如图所示，过点作    ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴． ∴． ③如图所示，过点作    ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴． ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 7．(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，可得，再根据，即可得到，即可得证； （2）．根据平行线的性质，得出， 再结合进行角的等量代换，即可得到与的数量关系； （3）设，则，根据，即可得到，再根据，即可得到，求得α的值，即可运用三角形内角和定理得到的度数． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ （2）解： 理由如下：如图： 过点作交于一点F ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （3）解：设， 则 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴在中，， ∴的度数为． 8．(1)，理由见解析 (2)① ②，理由见解析  ③当时，的度数为；当时，的度数为；当时，的度数为 【分析】此题主要考查了平行线的性质，理解题意，准确识图，熟练掌握行线的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． （1）依题意得，进而得，，由此得，据此得与的数量关系； （2）①当时，根据平行线的性质得； ②要使，根据平行线的性质得，则，由此可求出的度数； ③当时，根据平行线的性质得，由此可得的度数；当时，根据平行线的性质得，由此可得的度数；当时，延长交于点H，根据平行线的性质得，则，，由此可得的度数． 【详解】（1）解：与的数量关系是：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①当时，如图1所示： ∵， ∴， 故答案为：． ②要使，则的度数为， 如图3所示： ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ③当时，如图5所示： ∵， ∴， ∴； 当时，如图8所示： ∵， ∴， ∴， 当时， 如图10所示： 延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的度数为，的度数为，的度数为． 9．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的意义得出，根据三角形内角和定理即可求得； （2）三角形内角和定理得出，，等量代换得出，根据是的平分线，得出，根据即可求解； （3）根据三角形内角和定理得出，根据是的平分线得出，则，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解： 是的平分线， （3）解：, ， ∵是的平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的意义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 10．(1)40° (2)30° (3)∠BAD＝2∠CDE，理由见解析 【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠ADC，根据三角形内角和定理求出∠BAC，进而求出∠ADE，然后根据角的和差可得∠CDE的度数； （2）根据三角形外角的性质可得∠ACB＝∠AED＋∠CDE＝∠AED＋15°＝70°，然后可求出∠ADE＝∠AED＝55°，进而可得∠ADC的度数，再利用三角形外角的性质求出∠BAD度数即可； （3）设∠ABC＝∠ACB＝x，∠ADE＝∠AED＝y，∠CDE＝α，∠BAD＝β，根据三角形内角和定理求出x＋y－α＋β＝180°①，y＋x＋α＝180°②，用②减①消去x与y得到α与β的关系，即可得证． 【详解】（1）解：∵∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝80°， ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝110°，∠BAC＝180°−（∠B＋∠C）＝180°−60°＝120°， ∴∠DAE＝∠BAC−∠BAD＝120°−80°＝40°， ∵∠ADE＝∠AED， ∴∠ADE＝×（180°−40°）＝70°， ∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝110°−70°＝40°； （2）∵∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°， ∴∠ACB＝∠AED＋∠CDE＝∠AED＋15°＝70°， ∴∠ADE＝∠AED＝55°， ∴∠ADC＝∠ADE−∠CDE＝55°－15°＝40°， ∴∠BAD＝∠ABC－∠ADC＝70°－40°＝30°； （3）∠BAD＝2∠CDE； 理由：如图3，设∠ABC＝∠ACB＝x，∠ADE＝∠AED＝y，∠CDE＝α，∠BAD＝β， ∴∠ADC＝y−α，∠ECD＝∠ACB＝x， 在△ABD中，∠ABD＋∠BDA＋∠BAD＝180°， ∴x＋y－α＋β＝180°①， 在△CDE中，∠E＋∠ECD＋∠CDE＝180°， ∴y＋x＋α＝180°②， ②−①得：2α−β＝0，即2α＝β， ∴∠BAD＝2∠CDE． 故答案为：∠BAD＝2∠CDE． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和是180°，三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键． 11．(1)70°， (2)60°， (3)①110°，∠BOC=(∠A+∠D)；②∠BOC=360°-∠A-∠D 【分析】（1）由四边形内角和定理得∠A +∠B+∠C+∠D=360°，又由∠A=140°，∠D=80°，得到∠B＋∠C＝140°，由∠B=∠C，得到∠C的度数； （2）BE∥AD 得到∠BEC=∠D=80°，∠ABE=40°，又由BE平分∠ABC，得到∠EBC=∠ABE=40°．由 BE平分∠ABC，得到∠EBC=∠ABE=40°，在△EBC中，由三角形内角和定理得到∠C=60°； （3）①由四边形内角和可得∠ABC+∠BCD=360°-(∠A +∠D)=140°．由BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD．在△OBC中，由三角形内角和定理得到∠BOC＝110°；按照同样的方法可得∠BOC与∠A，∠D之间的数量关系； ②由四边形内角和得到∠ABC+∠BCD＝360°－∠A－∠D，由BE⊥DC于点E，CF⊥AB于点F，得到∠EBC＋∠BCD＝90°，∠FCB＋∠ABC＝90°，则∠EBC＋∠BCD＋∠FCB＋∠ABC＝180°，进一步得到∠EBC＋∠FCB＝∠A＋∠D－180°，得出∠BOC与∠A，∠D之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵∠A +∠B+∠C+∠D=360°，∠A=140°，∠D=80°， ∴∠B＋∠C＝360°－∠A－∠D＝360°－14O°－80°＝140°， ∵∠B=∠C， ∴∠C=∠B=(360°-∠A -∠D)=(360°-140°-80°)=70°． （2）解：∵ BE∥AD ， ∴ ∠BEC=∠D=80°，∠ABE=180°－∠A=180°－140°=40°． ∵ BE平分∠ABC， ∴ ∠EBC=∠ABE=40°． ∴ 在△EBC中，∠C=180°－(∠EBC +∠BEC) =180°－(40°+80°) =60°． （3）解：①在四边形ABCD中， ∠ABC+∠BCD=360°-(∠A +∠D) =360°-(140°+80°) =140°． ∵ BO平分∠ABC，CO平分∠BCD， ∴ ∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD． ∴ 在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC +∠OCB) =180°-(∠ABC +∠BCD) =180°－×140° =110°．                            结论是∠BOC=(∠A+∠D)， 理由是：在四边形ABCD中， ∠ABC+∠BCD=360°-(∠A +∠D)， ∵ BO平分∠ABC，CO平分∠BCD， ∴ ∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD． ∴ 在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC +∠OCB) =180°－[360°-(∠A +∠D)] ＝（∠A＋∠D）, 即∠BOC＝（∠A＋∠D）．            ②解：∠BOC=360°-∠A-∠D． 理由是：∵∠A +∠ABC+∠BCD+∠D=360°， ∴∠ABC+∠BCD＝360°－∠A－∠D， ∵BE⊥DC于点E，CF⊥AB于点F， ∴∠EBC＋∠BCD＝90°，∠FCB＋∠ABC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCD＋∠FCB＋∠ABC＝180°， ∴∠EBC＋∠FCB＋360°－∠A－∠D＝180°， ∴∠EBC＋∠FCB＝∠A＋∠D－180°， ∴∠BOC＝180°－（∠EBC＋∠FCB）＝180°－（∠A＋∠D－180°）＝360°－（∠A＋∠D ）， ∴∠BOC＝360°－∠A－∠D． 【点睛】此题考查四边形的内角和、三角形的内角和定理、直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质和定理是解决问题的关键． 12．(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查折叠的性质，邻补角的性质以及垂直的定义，正确理解折叠的性质是解答此题的关键． （）由折叠得性质即可得证； （），，利用，得到，说明，即可得到结论． （）由折叠得：，，， 先证，再根据平行线的性质得，从而由即可得解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴ （2）解：，理由如下： 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∵与在同一直线上， ∴， ∴． （3）解：由折叠得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴． 13．(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，角的和差计算，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． （1）①由折叠可得，，而，得到，即可得到，再代入以及即可求解； ②由①即可求解； （2）由折叠可得，，，设，，由，可得，再回代即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当时，； 时，， 故答案为：，； ②与的数量关系为，理由见① 由①即可得到，， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，，， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 14．(1)；理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，即可得出结论； （2）根据三角形内角和得出，根据三角形外角的性质得出，根据折叠得出，即可得出结论； （3）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据，求出，根据折叠得出，即可得出，从而求出结果． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． 15．(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据三角和的内角等于可以得出，再根据平行线的性质即可得出答案． （2）设，由得，因，结合三角形内角和得，由折叠可知，，，进而得，在中利用内角和得，由角平分线知，最后在中用内角和算出，故． （3）已知，由（2）得、，旋转后利用对应角相等及三角形内角和、外角性质，算出旋转角． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是由沿直线翻折得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， 则，， ∴， ∵的平分线交直线于点， ∴， 在中，， ， ， ， ∴． （3）解：∵在（2）的条件下，， ∴，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 则， ∴， 即旋转角的度数为． 【点睛】题目主要考查三角形的内角和等于和平行线的性质，折叠的性质、角平分线的性质，旋转的性质、三角形内角和定理及外角性质，熟练掌握旋转前后对应角相等的性质，以及灵活运用三角形内角和与外角定理进行角度计算和转化是解题的关键． 16．(1) (2)不成立，，理由见解析； (3)是， 【分析】本题考查角的和差计算及角平分线的定义，题目难度不大，掌握相关概念正确推理论证是解题关键． （1）根据平角和直角的概念分析求解； （2）根据平角和直角的概念及角的和差关系分析求解； （3）根据角平分线的定义及角的和差关系分析求解 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴当三角板在的上方， 故答案为：． （2）解：由题意可得：，， 若、分别位于的上方和下方， ∴，即， 故（1）中的关系不成立，之间的数量关系为． （3）射线、分别是的角平分线， ∴， ， ∴， ∵三角板始终在的上方，由（1）已得 ∴， 即的度数是一个定值为． 17．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据，求出，根据折叠得出，求出，最后根据平角定义求出结果即可； （2）根据折叠得出，，，求出，根据得出即可； （3）分情况讨论：当点D在线段上， 当点D在线段延长线上时，当点D在线段延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将沿着进行翻折后得到， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． （3）解：根据折叠可知，，，， ∴，； 当点D在线段上，时，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴； 当点D在线段上，时，如图所示：    ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段延长线上时，如图所示：    ∵， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴， ∴此时中的角不存在的角； 当点D在线段延长线上，时，如图所示：    根据折叠可知，， ∴， ∴； 当点D在线段延长线上，时，如图所示：    ∵， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 18．（1）64°；（2）26°；（3）58°或148°或154°或122°或116°或26°． 【分析】（1）根据折叠的性质得到∠CDE=∠A=∠GDE=58°，即可求出∠ADG； （2）根据GE∥AB，得到∠BEG=90°，算出∠BFD，利用四边形内角和即可求出∠ADG； （3）找出其他所有情况，画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可知： ∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE， ∵DE∥AB，AB⊥BC， ∴DE⊥BC，则G在BC上， ∴∠CDE=∠A=∠GDE=58°， ∴∠ADG=180°-58°×2=64°； （2）由折叠可知：∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，∠DEC=∠DEG， ∵GE∥AB， ∴∠B=∠CEG=∠BEG=90°， ∴， ∴∠ADE=45°+32°=77°，∠GDE=180°-45°-32°=103°， ∵∠A=58°，∠B=90°， ∴∠ADG=∠GDE -∠ADE =103°-77°=26°； （3）如图，DG∥AB， 则∠CDG=∠A=58°； 如图，DG∥BC， ∠ADG=∠C=32°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =148°； 如图，EG∥AC， ∠ADG=∠G=∠C=32°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =148°； ； 如图，EG∥AB， ∴∠A=∠CFE=58°，∠B=∠CEG=90°， 由折叠可知：∠DEG=∠DEC=45°， ∴∠CDE=180°-45°-32°=103°=∠EDG， ∴∠EDF=180°-103°=77°， ∴∠ADG=103°-77°=26°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =154°； 如图，DG∥AB， ∴∠ADG=∠A=58°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =122°； 如图，DE∥AB， ∴∠ADG=2∠C=64°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =116°； 如图，GE//AB， ∴∠CEG=∠B =90°， ∴∠CDG=∠CEG -∠C-∠G =26°； 综上：其他所有情况下∠CDG的度数为58°或148°或154°或122°或116°或26°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠问题，解题的难点在于找出所有符合题意的情况，得到角的关系． 19．（1）；（2）；（3）；（4），的位置关系不变，即． 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案； （4）如图，平分，平分，可得，，由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即，证明，可得． 【详解】解：（1）结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ，， 由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即 ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 20．(1)； (2)见解析 (3)或．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，折叠的性质． （1）利用平行线的性质求得，再利用折叠的性质求解即可； （2）利用折叠的性质结合三角形内角和定理求得，推出，据此求解即可； （3）分点在内部和点在外部时，两种情况讨论，利用三角形的外角性质结合折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：若与点C重合，如图， ，， ∴， ∴； （3）解：或．理由如下， 连接， 当点在内部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 当点在外部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 综上，或． 21．（1），见解析 （2） （3），见解析 【分析】本题主要考查三角形的折叠问题，熟知三角形的内角和定理的折叠的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，结合整体思想即可解决问题． （2）根据（1）中结论求出的度数，再根据三角形内角和定理得出的度数，最后用整体思想即可解决问题． （3）根据与及与的关系即可解决问题． 【详解】解：．理由如下： 由折叠可知， ，，． ， ，， ． ， ， ． 故与的关系是：． ，， ， ， ． 平分，平分， ，， ， ． ． 证明：，， ，． ， ， ， ， 即． 又， ， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $