第8章整式乘法与因式分解 期末综合复习训练题 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 以“整式乘法与因式分解”为核心，通过概念辨析、运算应用、方法迁移与综合探究，系统整合知识逻辑，提炼整体思想、数形结合等解题方法，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|7题|因式分解定义、公式辨析|从整式乘法到因式分解的概念生成| |运算应用|12题|幂的运算、公式逆用、因式分解步骤|运算规则到化简求值的递进| |方法迁移|3题|整体思想、整除证明|知识方法向新情境迁移| |综合探究|1题|数形结合|代数与几何的关联应用|

2025-2026学年沪科版七年级数学下册《第8章整式乘法与因式分解》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到米．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若，且是完全平方式，则为（     ） A． B．或 C．或 D． 5．已知边长为a、b的长方形的周长为18，面积为20，则的值为（     ） A．360 B．180 C．35 D．84 6．若a、b是正整数，且满足（左右都是9个），则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．=在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．计算：________． 9．分解因式：（1）________；（2）______________． 10．若，则的值为_____． 11．计算： _________． 12．已知的展开式中不含和项，则______，______． 13．若（且是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： （1）如果的值是_____； （2）如果，则的值是_____． 14．已知，则的值是____________． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3) (4) (5)； 16．分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．先化简，再求值： (1)．其中，． (2)已知：，求的值． 18．如图，公园中间有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划在空地中间正方形区域内修建两座小亭子，正方形区域的边长为米，其余阴影部分进行绿化． (1)求绿化区域的面积；（用含的式子表示） (2)当，时，求绿化区域的面积． 19．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：． 20．【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 21．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 参考答案 1．解：． 2．解：A选项：是整式乘法，从积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； B选项：，将多项式化为两个整式的积，符合因式分解的定义，符合题意； C选项：是整式乘法，从积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D选项：，右边是和的形式，不是整式的积，不属于因式分解，不符合题意． 3．解：A、与不是同类项，不能合并，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、，运算错误，不符合题意． 4．解：∵ ， ∴ 配方得，解得， ∵ 是完全平方式， ∴ ，解得或， 当时，， 当时，， ∴ 为或， 故选：C. 5．解：∵边长为，的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴ ∴． 6．解：∵（左右都是9个）， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．解：根据题意得：． 8．解：原式 ． 9．解：（1） ， 故答案为：； （2） 故答案为：． 10．解：， ， ∴， ∴． 11．解：． 12．解： ， ∵的展开式中不含和项， ∴且， 解可得， 将代入可得， 解得． 13．解：（1）， 由同底数幂的乘法法则得， 即， 根据题中结论得， 解得． （2）， ， ， 等式两边同除以，得 ， 即， 根据题中结论得， 解得． 14．解：设 ，则 ，， 将其代入原方程得： 由完全平方公式展开得： 合并同类项得： 整理得 ，即 . 15．（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： （5）解： 17．（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 17．（1）解：原式=， 当时，原式=； （2）解：∵ ∴ ∴ ． 18．（1）解： ， ∴绿化区域的面积为平方米； （2）解：当，时， ， ∴绿化区域的面积为平方米． 19．（1）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式． （2）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“m”还原，得原式． 20．（1） 解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； （2）证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； （3）解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 21．（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 学科网（北京）股份有限公司 $