2025-2026学年沪科版数学七年级下册期末高频考点分类训练（41考点）

**基本信息** 本专项聚焦七年级下册41个期末高频考点，以题组形式系统覆盖实数、不等式、整式与分式、几何初步等核心模块，通过基础辨析、性质应用到综合拓展的递进设计，培养数学抽象与推理能力，构建完整知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数|7考点|概念辨析+性质应用+实际情境|从方根概念到实数运算及应用| |不等式|6考点|定义判断+解集运算+含参综合|从不等式性质到组解及实际应用| |整式与分式|16考点|幂运算+公式应用+分式方程|从整式乘除到分式化简及应用| |几何初步|12考点|线角识别+平行证明+平移计算|从相交线性质到平行判定及综合应用|

期末高频考点分类训练2025-2026学年沪科版 七年级下册（41考点） 考点1：方根、算术平方根、立方根 1.36的平方根是（　　） A．﹣6 B．36 C．± D．±6 2.的平方根是（　　） A． B．3 C．±3 D．± 3.（﹣7）2的算术平方根是（　　） A．7 B．﹣7 C．±7 D． 4.下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根 5.的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 考点2：平方根、算术平方根的性质 1. 一个正数的两个平方根是2m﹣4和3m﹣1，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．无法确定 2．若，为实数，且，则（   ） A．1 B． C． D．2023 3.若，则的值为 ． 考点3：实数概念与性质 1．在下列实数，－3.1415，，1.212212221…（相邻两个1之间一次多一个2）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．|﹣2|与2 C．﹣2与 D．﹣2与 3. ， ． 4.把下列各数填入相应的集合里． +3，﹣9，，π﹣4，﹣4.2，0，，﹣10，﹣3，120%，0.26，﹣0.21201200120001…， （1）整数集合{            }； （2）负分数集合{           }； （3）非负数集合{           }； （4）无理数集合{           }． 考点4：实数的估算与大小比较 1．在实数﹣1，，，0中，最小的实数是（　　） A． B．0 C．﹣1 D． 2．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．估算的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．1到2之间 D．4到5之间 4．比较大小： 5（填、或） 5.若，且、为连续正整数，则= 6．式子值的整数部分是 ． 考点5：实数的相关运算 1.求下列各式中x的值： （1）；（2）（x﹣1）2﹣9＝0． 2.（1）计算：；（2）． 3.计算： （1）（）2（）3． （2）﹣12026|2| 4.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3． （1）求a，b的值； （2）求a+b的算术平方根． 考点6：流程图、定义新运算、规律探究 1.已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326 2．若，，则 ． 3．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 4．如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 5．观察下列数据：0，，，，，，，…．根据数据排列的规律，第个数据是 ． 考点7：实数的实际应用 1．小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 2．物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h＝5t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间． （1）把这个公式变形成用h表示t的公式． （2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）？ 3.某同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为6：5，请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片． 考点8：不等式与不等式的基本性质 1.．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，则 ．（填“”或“”） 考点9：不等式与不等式组的解集 1.下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 2.下列各数中，是不等式解的是（ ） A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．不等式组的解集是 ． 考点10：整数解问题 1．不等式的最小整数解为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的正整数解是 3．不等式的最小整数解为 ． 4．一元一次不等式组的最大整数解是 ． 考点11：一元一次不等式与一元一次不等式组的定义 1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 2.下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 3.当时 ______时，不等式 是一元一次不等式. 考点5：解一元一次不等式组与一元一次不等式组 1．解下列不等式． （1）； （2）． 2．解不等式：，并写出最大整数解． 3．解不等式组：． 4．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． 考点12：一元一次不等式组含参问题 1．若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 ． 4．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 5．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 6.若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 考点13：一元一次不等式（组）应用题 1.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 2．某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（    ） A． B． C． D． 3.某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共20道竞赛题，选对得6分，不选或错选扣2分，得分不低于80分获奖，那么同学们要获奖至少应选对 道题． 4.小慧用80元钱到商店购买钢笔和笔记本共20件．已知该店钢笔为7元/支，笔记本为2元/本，则小慧最多能买 支钢笔． 5.学校为开展“课后延时服务”，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于副，购买费用不超过2580元，有几种购买方案，怎么购买省钱？ 考点14：幂的运算 1.下面运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为（   ） A． B． C． D． 3.计算： ． 4.计算： (1)；(2)；(3)． 考点15：幂的运算逆用 1．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．计算（    ） A． B． C．1 D． 3．若，，则的值是 ． 考点3：整式的乘法 1.计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2.计算（x2﹣2）•（﹣2x）2的结果是（　　） A． B．﹣x4+4x2 C．x4﹣8x2 D．x4+4x2 3．如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 4.若x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6对任意x都成立，则a+b＝　 　． 5．计算： （1）（3x﹣4y）（x+2y）； （2）（x2﹣1）（2x+1）； （3）（2x﹣1）（4x2+2x+1）； （4）（a﹣2）（a+4）+2a（a﹣1）． 考点16：平方差公式 1.下列各式，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（）（） 2.计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 3．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 4.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 5．利用乘法公式计算下列各题： (1)；(2)； (3)；(4)． 考点17：完全平方公式 1.下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 2.若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（　　） A．﹣12xy B．12xy C．24xy D．﹣24xy 3.如果，那么a、b的值分别为（ ） A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25 4.如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________． 5.计算： (1)；(2)；(3)； 考点18：整式乘法与化简求值 1.已知x（x﹣3）＝2，那么多项式﹣2x2+6x+9的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2.若关于x，y的多项式（x2﹣mx+3）x﹣x2（4mx2+3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣5 3.先化简，再求值：，其中x＝﹣3，． 4.已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6． （1）求m，n的值． （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 考点19：整式乘法的应用 1.一个长方体的长，宽，高分别是3m，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 2.现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．18 3．有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 4.如图所示，吉安市青原区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长均为（a﹣b）米的小正方形空地，政府计划将阴影部分进行绿化． （1）用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（结果写成最简形式） （2）若a＝20，b＝10，预计每平方米绿化成本80元，请你计算绿化这块空地所需成本． 考点20：因式分解 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式 的公因式是(　　) A． B． C． D． 3．已知a、b、c是的三条边，且满足，则是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．已知是多项式的因式，则 ， ． 5．因式分解： （1） （2） 考点21：分式的定义与分式的意义 1．下列各式中，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3.无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A． B． C． D． 4.若分式的值为0，则_____________． 5.若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 考点22：分式的基本性质 1．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A． B． C． D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（ ） A． B． C．- D．- 3．下面四个等式： 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．填空： 考点23：最简分式与化简 1.下列分式，，，中，最简分式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 3．化简的结果是（ ） A． B． C． D． 4．化简的正确结果是（ ） A． B． C． D． 考点24：最简公分母与通分 1．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ） A．与的最简公分母是6x B．与最简公分母是3a2b3c C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是m2－n2 2.分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 考点25：零指数幂与负整数指数幂 1.飞秒是标衡时间长短的一种计量单位． 1飞秒等于秒或等于皮秒． 则皮秒用科学记数法表示为（ ） A. 皮秒 B. 皮秒 C. 皮秒 D. 皮秒 2.石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米．数字用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 3.把写成（，为整数）的形式，则为（    ） A． B． C． D． 4.下列各式中正确的有（ ） ①②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 考点26：分式的运算 1．计算等于（ ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 3．等于（ ) A． B． C． D． 4.分式与的最简公分母是_______． 5.计算 (1) (2) 考点27：分式的化简求值 1.先化简，再求值：，其中． 2.先化简，再求值：其中，满足． 3.先化简，再求值：，其中m满足． 4.已知 （1）化简； （2）请在，，，中选择一个你喜欢的数作为的值，并求的值． 考点28：分式方程的概念与解法 1．下列关于的方程中，是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 2.方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 3.若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）， A. B. 且 C. D. 月 4．下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程＝0的根为2； ③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+＝1+是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．0或1或2 6.若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是 ． 7.解方程：． 考点29：分式方程应用题 1．甲队修路与乙队修路所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修，设乙队每天修路．依题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 3.在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 4.甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 5.王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 6.某文化用品商店用元采购一批书包，上市后发现供不应求，很快销售完了.商店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一次高元，商店用了元，所购数量是第一次的倍. （1）求第一批采购的书包的单价是多少元？ （2）若商店按售价为每个书包元，销售完这两批书包，总共获利多少元？ 考点30：对顶角、邻补角的识别 1．下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2.下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   3.如图，图中的对顶角共有（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 4.下列说法正确的是（　　） A.互补的两个角是邻补角；B．相等的角必是对顶角； C．对顶角一定相等；D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等. 5．如图所示，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是__________，∠1的对顶角是__________. 考点31：垂直的定义与性质 1．如图所示，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是 A．过两点有且只有一条直线 B．过一点只能作一条直线 C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 2.点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（　　） A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm 3.下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 4.如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 5．如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长． 考点32：相交线相关的角度计算 1．如图，直线AB、CD相交于点O．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝68°，则∠BOD的度数为（    ） A．22° B．32° C．68° D．112° 3．直线AB，CD相交于点O，OE是的角平分线，若，则的度数为(   ) A．36° B．72° C．108° D．144° 4．如图，直线AB、CD、EF交于点O，则∠1+∠2+∠3=_____． 5.如图，平分，平分．若． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 考点33：同位角、内错角、同旁内角的识别 1.如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 2.下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，下列各对角中，属于同旁内角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．图中的和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 5.如图，直线a，b被直线c所截，下列说法中不正确的是（　　） A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠4是同位角 C．∠2与∠5是同旁内角 D．∠2与∠4是内错角 考点34：探究两直线平行的条件 1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3 2.如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 3．将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 4．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 5.如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．．求证：． 考点35：利用平行的性质求角的度数 1.如图，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 2.如图，已知直线AD∥BC，BE平分∠ABC交直线DA于点E，若∠DAB＝54°，则∠E等于（　　） A．25° B．27° C．29° D．45° 3.已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 4．如图所示，AB//CD，G为AB上方一点，E、F分别为AB、CD上两点，∠AEG=4∠GEB，∠CFG=2∠GFD，∠GEB和∠GFD的角平分线交于点H，求∠G+∠H的值． 考点36：通过阅读推理过程填空 1.已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 2.如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由． 解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知） ∴∠1＝∠2（ 　 　）； ∴AC∥BD（ 　 　）； 又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知）， ∴　 　（垂直的定义）； ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（ 　 　）； 即∠　 　＝∠　 　； ∴　 　∥　 　（同位角相等，两直线平行）． 3.如图，，．试说明：． 请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为，（已知） 所以 ．（ ） 因为，（已知） 所以 ，（ ） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 考点37：利用平行线的性质解决实际问题 1.如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是 ． 2.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 3.如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 4．图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC，使用打孔器时，AD，DE，DC分别移动到AD′，D′E′，D′C．此时D′E′∥BC，DD′平分∠ADC，若∠DD′E′＝62°，则∠DCB＝ 　 °． 考点38：平行线的判定与性质综合 1．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1和∠2什么关系?并说明理由． 2.已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A； (1)求证：DE∥BA． (2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数． 3.如图，已知，． （1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 4.已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． (1)求证：DEAC； (2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数． 考点39：平行线中的拐点问题 1.如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．110° 2.如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　） A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1 3.如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 4.一大门的栏杆如图所示，垂直于地面于，平行于地面，则　 　度． 5．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°． 问题迁移： （1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由： （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明． 考点40：平移的识别 1.下列现象中属于平移的是(    ) ①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动 A．①② B．②③ C．①②④ D．② 2.下列车标的设计于与平移有关的是（　　） A． B． C． D． 3.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 考点41：根据平移的性质求解 1．如图，沿射线方向平移到（点E在线段上），如果，，那么平移距离为（　　） A． B． C． D． 2.如图，将周长为18的沿边向右平移5，得到，则四边形的周长是（    ） A．23 B．28 C．33 D．35 3.如图，将沿的方向平移到的位置，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（   ） A．35 B．40 C．56 D．64 4．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 ．    5.如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米． 【答案】 期末高频考点分类训练2025-2026学年沪科版 七年级下册（41考点） 考点1：方根、算术平方根、立方根 1.36的平方根是（　　） A．﹣6 B．36 C．± D．±6 【答案】D 2.的平方根是（　　） A． B．3 C．±3 D．± 【答案】D 3.（﹣7）2的算术平方根是（　　） A．7 B．﹣7 C．±7 D． 【答案】A． 4.下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根 【答案】D 5.的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 考点2：平方根、算术平方根的性质 1. 一个正数的两个平方根是2m﹣4和3m﹣1，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．无法确定 【答案】C 2．若，为实数，且，则（   ） A．1 B． C． D．2023 【答案】B 3.若，则的值为 ． 【答案】6 考点3：实数概念与性质 1．在下列实数，－3.1415，，1.212212221…（相邻两个1之间一次多一个2）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 2．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．|﹣2|与2 C．﹣2与 D．﹣2与 【答案】C． 3. ， ． 【答案】 4.把下列各数填入相应的集合里． +3，﹣9，，π﹣4，﹣4.2，0，，﹣10，﹣3，120%，0.26，﹣0.21201200120001…， （1）整数集合{            }； （2）负分数集合{           }； （3）非负数集合{           }； （4）无理数集合{           }． 【答案】（1）+3，﹣9，0，﹣10； （2）﹣4.2，﹣3； （3）+3，，0，，120%，0.26； （4）π﹣4，﹣0.21201200120001…． 考点4：实数的估算与大小比较 1．在实数﹣1，，，0中，最小的实数是（　　） A． B．0 C．﹣1 D． 【答案】A． 2．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 3．估算的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．1到2之间 D．4到5之间 【答案】A 4．比较大小： 5（填、或） 【答案】 5.若，且、为连续正整数，则= 【答案】 6．式子值的整数部分是 ． 【答案】 考点5：实数的相关运算 1.求下列各式中x的值： （1）；（2）（x﹣1）2﹣9＝0． 【答案】解：（1）∵， ∴x3， ∴x； （2）∵（x﹣1）2﹣9＝0， ∴（x﹣1）2＝9， ∴x﹣1＝±3， ∴x1＝4，x2＝﹣2． 2.（1）计算：；（2）． 【答案】解：（1） ＝5﹣2+2 ＝5． （2） ＝2+（）﹣（2） 2 ． 3.计算： （1）（）2（）3． （2）﹣12026|2| 【答案】 解：（1）（）2（）3 ＝2﹣3﹣9+4 ＝﹣6． （2）﹣12026|2| ＝﹣1+2﹣3+2 ． 4.已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3． （1）求a，b的值； （2）求a+b的算术平方根． 【答案】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3， ∴2a﹣1＝9， ∴a＝5， ∵3a+b+10的立方根是3， ∴3a+b+10＝27， ∴15+b+10＝27， ∴b＝2； （2）把a＝5，b＝2代入a+b得：a+b＝5+2＝7， a+b的算术平方根是． 考点6：流程图、定义新运算、规律探究 1.已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326 【答案】A 2．若，，则 ． 【答案】17.32 3．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 4．如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【答案】 5．观察下列数据：0，，，，，，，…．根据数据排列的规律，第个数据是 ． 【答案】 考点7：实数的实际应用 1．小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 2．物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h＝5t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间． （1）把这个公式变形成用h表示t的公式． （2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）？ 【答案】解：（1）∵h＝5t2， ∴t2， ∴t； （2）当h＝54.5时，t3.3（秒）， 答：落到地面约需3.3秒． 3.某同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为6：5，请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【答案】解：设长方形纸片的长为6x （x＞0）cm，则宽为5x cm，依题意得 6x⋅5x＝300， 30x2＝300， x2＝10， ∵x＞0， ∴x， ∴长方形纸片的长为6cm， 由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20cm， ∵618.974，即长方形纸片的长小于20cm， ∴长方形纸片的长小于正方形纸片的边长． 答：能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 考点8：不等式与不等式的基本性质 1.．有下列数学表达式：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 2．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．用不等式的性质说明下图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 4．已知，则 ．（填“”或“”） 【答案】 考点9：不等式与不等式组的解集 1.下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 2.下列各数中，是不等式解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 4．不等式组的解集是 ． 【答案】 考点10：整数解问题 1．不等式的最小整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．不等式的正整数解是 【答案】1、2、3 3．不等式的最小整数解为 ． 【答案】-1 4．一元一次不等式组的最大整数解是 ． 【答案】2 考点11：一元一次不等式与一元一次不等式组的定义 1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【答案】A 2.下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.当时 ______时，不等式 是一元一次不等式. 【答案】-2 考点5：解一元一次不等式组与一元一次不等式组 1．解下列不等式． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）∵， ∴， ， ， 则； （2）∵， ∴， ， ， ， 则． 2．解不等式：，并写出最大整数解． 【答案】不等式最大的整数解为0 【解析】解：， ， ， ， ， 故不等式最大的整数解为0． 3．解不等式组：． 【答案】 【解析】【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 4．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． 【答案】，作图见解析 【解析】解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为， 把其解集表示在数轴上如图： 考点12：一元一次不等式组含参问题 1．若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 ． 【答案】 4．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 5．若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 6.若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 考点13：一元一次不等式（组）应用题 1.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2．某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共20道竞赛题，选对得6分，不选或错选扣2分，得分不低于80分获奖，那么同学们要获奖至少应选对 道题． 【答案】15 4.小慧用80元钱到商店购买钢笔和笔记本共20件．已知该店钢笔为7元/支，笔记本为2元/本，则小慧最多能买 支钢笔． 【答案】8 5.学校为开展“课后延时服务”，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于副，购买费用不超过2580元，有几种购买方案，怎么购买省钱？ 【答案】(1)乒乓球拍的单价为60元/副，羽毛球拍的单价为45元/副 (2)共有3种购买方案．购买20副乒乓球拍，30副羽毛球拍；方案二：购买21副乒乓球拍，29副羽毛球拍；方案三：购买22副乒乓球拍，28副羽毛球拍；方案一购买省钱 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价为x元/副，羽毛球拍的单价为y元/副， 依题意，得， 解得， 答：乒乓球拍的单价为60元/副，羽毛球拍的单价为45元/副． （2）解：设购买乒乓球拍m副，则购买羽毛球拍副，且， 依题意，得， 解得． ． m可取的值为20，21，22，对应的值为30，29，28． 共有3种购买方案．方案一：购买20副乒乓球拍，30副羽毛球拍；方案二：购买21副乒乓球拍，29副羽毛球拍；方案三：购买22副乒乓球拍，28副羽毛球拍． 方案一费用：元， 方案二费用：元， 方案三费用∶元． ． 方案一最省钱 考点14：幂的运算 1.下面运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．若一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.计算： ． 【答案】 4.计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点15：幂的运算逆用 1．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2．计算（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 3．若，，则的值是 ． 【答案】6 考点3：整式的乘法 1.计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 2.计算（x2﹣2）•（﹣2x）2的结果是（　　） A． B．﹣x4+4x2 C．x4﹣8x2 D．x4+4x2 【答案】C． 3．如果，那么m、n的值分别是（    ） A．，12 B．11，12 C．， D．11， 【答案】A 4.若x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6对任意x都成立，则a+b＝　 　． 【答案】1． 5．计算： （1）（3x﹣4y）（x+2y）； （2）（x2﹣1）（2x+1）； （3）（2x﹣1）（4x2+2x+1）； （4）（a﹣2）（a+4）+2a（a﹣1）． 【答案】 解：（1）（3x﹣4y）（x+2y） ＝3x2+6xy﹣4xy﹣8y2 ＝3x2+2xy﹣8y2； （2）（x2﹣1）（2x+1） ＝2x3+x2﹣2x﹣1； （3）（2x﹣1）（4x2+2x+1） ＝8x3﹣4x2+4x2﹣2x+2x﹣1 ＝8x3﹣1； （4）（a﹣2）（a+4）+2a（a﹣1） ＝a2+4a﹣2a﹣8+2a2﹣2a ＝3a2﹣8． 考点16：平方差公式 1.下列各式，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（）（） 【答案】B． 2.计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 【答案】B． 3．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 【答案】D 4.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（　　） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D． 5．利用乘法公式计算下列各题： (1)；(2)； (3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 考点17：完全平方公式 1.下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 【答案】B． 2.若（3x+2y）2＝（3x﹣2y）2+A，则代数式A是（　　） A．﹣12xy B．12xy C．24xy D．﹣24xy 【答案】C． 3.如果，那么a、b的值分别为（ ） A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25 【答案】D． 4.如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________． 【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2 5.计算： (1)；(2)；(3)； 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； 考点18：整式乘法与化简求值 1.已知x（x﹣3）＝2，那么多项式﹣2x2+6x+9的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B． 2.若关于x，y的多项式（x2﹣mx+3）x﹣x2（4mx2+3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣5 【答案】D． 3.先化简，再求值：，其中x＝﹣3，． 【答案】解： ＝（5y2+x2+4y2﹣4xy﹣9y2）•2y ＝（x2﹣4xy）•2y ＝2x2y﹣8xy2 当x＝﹣3，时，原式＝． 4.已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6． （1）求m，n的值． （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【答案】解：（1）原式＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n ＝2x3+2mx2+nx2+mnx﹣6x﹣3n ＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n， 由于展开式中不含x2项，常数项是﹣6， 则2m+n＝0且﹣3n＝﹣6， 解得：m＝﹣1，n＝2； （2）由（1）可知：m＝﹣1，n＝2， ∴原式＝m3+n3＝（﹣1） 3+23， ＝﹣1+8 ＝7． 考点19：整式乘法的应用 1.一个长方体的长，宽，高分别是3m，，，这个长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2.现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（　　） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】C． 3．有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 【答案】C 4.如图所示，吉安市青原区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，角上有四个边长均为（a﹣b）米的小正方形空地，政府计划将阴影部分进行绿化． （1）用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（结果写成最简形式） （2）若a＝20，b＝10，预计每平方米绿化成本80元，请你计算绿化这块空地所需成本． 【答案】解：（1）绿化的面积是：（2a﹣b）（2a+3b）﹣4（a﹣b）2 ＝4a2+6ab﹣2ab﹣3b2﹣4（a2﹣2ab+b2） ＝4a2+4ab﹣3b2﹣4a2+8ab﹣4b2 ＝（12ab﹣7b2）平方米， 答：绿化的面积是（12ab﹣7b2）平方米； （2）当a＝20，b＝10时， （12×20×10﹣7×102）×80 ＝136000（元）， 答：绿化这块空地所需成本136000元． 考点20：因式分解 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2．多项式 的公因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 3．已知a、b、c是的三条边，且满足，则是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 4．已知是多项式的因式，则 ， ． 【答案】 5．因式分解： （1） （2） 【答案】解：（1）； （2）． 考点21：分式的定义与分式的意义 1．下列各式中，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 2.若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3.无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 4.若分式的值为0，则_____________． 【答案】4 5.若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】且 考点22：分式的基本性质 1．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2．下列分式中与的值相等的分式是（ ） A． B． C．- D．- 【答案】B 3．下面四个等式： 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 4．下列变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 5．填空： 【答案】（1）－；（2）＋； 考点23：最简分式与化简 1.下列分式，，，中，最简分式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 2．下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3．化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 4．化简的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 考点24：最简公分母与通分 1．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（ ） A．与的最简公分母是6x B．与最简公分母是3a2b3c C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是m2－n2 【答案】C 2.分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 【答案】C 考点25：零指数幂与负整数指数幂 1.飞秒是标衡时间长短的一种计量单位． 1飞秒等于秒或等于皮秒． 则皮秒用科学记数法表示为（ ） A. 皮秒 B. 皮秒 C. 皮秒 D. 皮秒 【答案】B 2.石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米．数字用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 3.把写成（，为整数）的形式，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4.下列各式中正确的有（ ） ①②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 考点26：分式的运算 1．计算等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3．等于（ ) A． B． C． D． 【答案】A 4.分式与的最简公分母是_______． 【答案】 5.计算 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 考点27：分式的化简求值 1.先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ， 当时， 原式． 2.先化简，再求值：其中，满足． 【答案】， 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴原式． 3.先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】，2 【详解】解：原式 ； ∵， ∴． 4.已知 （1）化简； （2）请在，，，中选择一个你喜欢的数作为的值，并求的值． 【答案】（1） （2）当时， 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵，，， ∴不能为，，， ∴可取0或， 当时，． 考点28：分式方程的概念与解法 1．下列关于的方程中，是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2.方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.若关于的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）， A. B. 且 C. D. 月 【答案】B 4．下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程＝0的根为2； ③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+＝1+是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 5．若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．0或1或2 【答案】C 6.若关于的分式方程有正整数解，则整数的值是 ． 【答案】或 7.解方程：． 【答案】解： 方程两边同乘以（x＋2）（x﹣2）得： （x＋2）2﹣x（x﹣2）＝16， 整理得：x＝2， 检验：当x＝2时，（x＋2）（x﹣2）＝0， 故此方程无解． 考点29：分式方程应用题 1．甲队修路与乙队修路所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修，设乙队每天修路．依题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 4.甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 5.王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 【答案】(1)48千米/小时 (2)千克 【解析】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时． （2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时）， 则（千克）， 答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量． 6.某文化用品商店用元采购一批书包，上市后发现供不应求，很快销售完了.商店又去采购第二批同样款式的书包，进货单价比第一次高元，商店用了元，所购数量是第一次的倍. （1）求第一批采购的书包的单价是多少元？ （2）若商店按售价为每个书包元，销售完这两批书包，总共获利多少元？ 【答案】（1）设第一批采购的书包的单价是x元，则第二批采购的书包的单价是（x+4）元， 依题意，得：， 解得：x=80， 经检验，x=80是所列分式方程的解，且符合题意． 答：第一批采购的书包的单价是80元． （2）第一批购进书包的数量为2000÷80=25（个）， 第二批购进书包的数量为25×3=75（个）． 120×（25+75）-2000-6300=3700（元）． 答：销售完这两批书包，总共获利3700元． 考点30：对顶角、邻补角的识别 1．下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 3.如图，图中的对顶角共有（　　） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】A． 4.下列说法正确的是（　　） A.互补的两个角是邻补角；B．相等的角必是对顶角； C．对顶角一定相等；D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等. 【答案】C． 5．如图所示，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是__________，∠1的对顶角是__________. 【答案】∠2和∠4；∠3 考点31：垂直的定义与性质 1．如图所示，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是 A．过两点有且只有一条直线 B．过一点只能作一条直线 C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】C 2.点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（　　） A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm 【答案】C 3.下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 5．如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长． 【答案】/ 考点32：相交线相关的角度计算 1．如图，直线AB、CD相交于点O．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝68°，则∠BOD的度数为（    ） A．22° B．32° C．68° D．112° 【答案】A 3．直线AB，CD相交于点O，OE是的角平分线，若，则的度数为(   ) A．36° B．72° C．108° D．144° 【答案】C 4．如图，直线AB、CD、EF交于点O，则∠1+∠2+∠3=_____． 【答案】180°##180度 5.如图，平分，平分．若． (1)求出的度数； (2)判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1) (2)与互补．理由见解析 （2）先利用角平分线的定义求出，，再根据，即可得答案． 【详解】（1）解：∵平分．， ∴， ∵， ∴； （2）解：与互补．理由： ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 故与互补． 考点33：同位角、内错角、同旁内角的识别 1.如图，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，下列各对角中，属于同旁内角是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 4．图中的和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．同旁内角 D．内错角 【答案】B 5.如图，直线a，b被直线c所截，下列说法中不正确的是（　　） A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠4是同位角 C．∠2与∠5是同旁内角 D．∠2与∠4是内错角 【答案】C． 考点34：探究两直线平行的条件 1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3 【答案】A． 2.如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A． 3．将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 4．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①③④ 5.如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．．求证：． 【答案】证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵∠CAE＝∠CEA， ∴∠BAE＝∠CEA， ∴AB∥CD． 考点35：利用平行的性质求角的度数 1.如图，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 【答案】A． 2.如图，已知直线AD∥BC，BE平分∠ABC交直线DA于点E，若∠DAB＝54°，则∠E等于（　　） A．25° B．27° C．29° D．45° 【答案】B 3.已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 【答案】 4．如图所示，AB//CD，G为AB上方一点，E、F分别为AB、CD上两点，∠AEG=4∠GEB，∠CFG=2∠GFD，∠GEB和∠GFD的角平分线交于点H，求∠G+∠H的值． 【答案】∠G+∠H=36°． 【详解】解：设，， 由题意可得，，， 由，，解得，； 由靴子图AEGFC知，，即 由靴子图AEHFC知，，即 即，， 考点36：通过阅读推理过程填空 1.已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 2.如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由． 解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知） ∴∠1＝∠2（ 　 　）； ∴AC∥BD（ 　 　）； 又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知）， ∴　 　（垂直的定义）； ∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（ 　 　）； 即∠　 　＝∠　 　； ∴　 　∥　 　（同位角相等，两直线平行）． 【答案】等量代换；同位角相等，两直线平行；∠EAC＝∠FBD＝90°；等式的性质；EAB；FBM；AE；BF． 3.如图，，．试说明：． 请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为，（已知） 所以 ．（ ） 因为，（已知） 所以 ，（ ） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；；同旁内角互补，两直线平行 考点37：利用平行线的性质解决实际问题 1.如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是 ． 【答案】 2.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 【答案】 3.如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】/66度 4．图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC，使用打孔器时，AD，DE，DC分别移动到AD′，D′E′，D′C．此时D′E′∥BC，DD′平分∠ADC，若∠DD′E′＝62°，则∠DCB＝ 　 °． 【答案】56． 考点38：平行线的判定与性质综合 1．如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C，则∠1和∠2什么关系?并说明理由． 【答案】相等，理由见解析 【详解】．理由如下： ,， ， (同位角相等，两直线平行)， (两直线平行，同位角相等)， ， (同位角相等，两直线平行)， (两直线平行，内错角相等)， (等量代换)． 2.已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A； (1)求证：DE∥BA． (2)若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数． 【答案】(1)见解析 (2)36° （1） 证明：∵DF∥CA， ∴∠DFB=∠A， 又 ∵∠FDE=∠A， ∴∠DFB=∠FDE， ∴DE∥AB； （2） 解：设∠EDC=xº， ∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC， ∴∠BFD=∠BDF=2xº， 由（1）可知∠DFB=∠FDE=2xº， ∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2xº+2xº+xº=180º， ∴x=36， 又∵DE∥AB， ∴∠B=∠EDC=36 º． 3.如图，已知，． （1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【详解】解：， 理由如下： ，   ，   ，   ，   ，   ； ，，   ，   ，，   ，   ． 4.已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． (1)求证：DEAC； (2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数． 【答案】(1)见解析 (2) （1） 解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠EAD=∠EDA， ∴∠EDA=∠CAD， ∴； （2） 解：∵EF⊥BD， ∴∠EFD=90°， ∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°， ∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°， ∵， ∴∠BAC=∠BED=95°． 考点39：平行线中的拐点问题 1.如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．110° 【答案】C 2.如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　） A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1 【答案】D． 3.如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 【答案】C 4.一大门的栏杆如图所示，垂直于地面于，平行于地面，则　 　度． 【答案】270． 5．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°． 问题迁移： （1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由： （2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明． 【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，证明见解析；（2）当P在A左侧时，∠β=∠α+∠CPD；当P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD；证明见解析． 【详解】解：（1）如图3：∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 过P作PE∥AD，交CD于E， ∵AD∥BC， ∴PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）如图，当P在A左侧时，∠β=∠α+∠CPD． ∵AD∥BC， ∴∠β=∠COD， ∵∠COD是△POD的外角， ∴∠COD=∠CPD+∠ADP， ∴∠β=∠α+∠CPD； 如图，当P在B、O之间时，∠α=∠β+∠CPD． ∵AD∥BC， ∴∠α=∠BEP， ∵∠BEP是△PEC的外角， ∴∠BEP=∠PCB+∠CPD， ∴∠α=∠β+∠CPD． 考点40：平移的识别 1.下列现象中属于平移的是(    ) ①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动 A．①② B．②③ C．①②④ D．② 【答案】D 2.下列车标的设计于与平移有关的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 考点41：根据平移的性质求解 1．如图，沿射线方向平移到（点E在线段上），如果，，那么平移距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，将周长为18的沿边向右平移5，得到，则四边形的周长是（    ） A．23 B．28 C．33 D．35 【答案】B 3.如图，将沿的方向平移到的位置，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（   ） A．35 B．40 C．56 D．64 【答案】D 4．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 ．    【答案】 5.如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯，其侧面如图所示，则需地毯 __米． 【答案】8 学科网（北京）股份有限公司 $