易错章测(7)[范围：第四章]（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

易错章测（七》 （范围：第四章时间：40分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题4分，共24分） A.24十2π B.16+4π 1.把一个正六棱柱按如图所示的方式摆放， C.16+8π D.16+12π 光线由上向下照射此正六棱柱时的正投 二、填空题（每小题4分，共16分） 影为 7.陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在太阳光下 的影子属于 投影.（填“平行”或 “中心”) 8.写出一个三视图形状都相同的几何体： 2.下列几何体中，主视图为三角形的是( 9.如图，正方形ABCD的边长为3cm,以直 线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几 何体的左视图的面积为 cm. 3.一根空心方管的示意图如图所示，它的俯 视图是 ⊙⊙ (第9题图) (第10题图) 10.商店货架上摆放某品牌方便面，它们的 三视图如图所示，则货架上的方便面至 少有盒、 三、解答题（共60分） 11.(10分)如图，画出该几何体的三视图. 正面 (第3题图) (第6题图) 4.小红拿着一块矩形木框在阳光下做投影 试验，这块矩形木框在地面上的投影不可 能是 B D 5.在下列各图中，两根木棒的影子是在同 时刻、同一盏灯下形成的投影的是( 12.(12分)小明和小丽在操场上玩耍，小丽 少少安 突然高兴地对小明说：“我踩到你的‘脑袋冫 了.”此时小明和小丽的位置如图所示 (1)请画出此时小丽在阳光下的影子； 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何 (2)若小明的身高为1.60m,小明和小 体的表面积是 ( 丽之间的距离为2m,而小丽的影子 ·15 长为1.75m,求小丽的身高. (1)请在图②中画出这个几何体的主视 图和左视图； (2)如果现在你还有一些大小相同的小 正方体，要求保持主视图和左视图都 小明 小丽 不变，那么最多可以再添加 个小正方体， 15.(14分)如图，小明同学在晚上由路灯 AC走向路灯BD,当他走到P处时发 现，他在路灯BD下的影长为2m,且恰 好位于路灯AC的正下方，接着他又走 了6.5m到Q处，此时他在路灯AC下 的影子恰好位于路灯BD的正下方.已 知小明身高1.8m,路灯BD高9m. 13.（12分)如图，这是一个几何体的三视图， (1)求小明站在Q处时，在路灯AC下的 其俯视图为菱形. 影长QD; (1)这个几何体是 (2)求路灯AC的高度. (2)求这个几何体的体积. 14.(12分)用10个大小相同的小正方体搭 成的几何体的俯视图如图①所示，其中 小正方形中的数字表示在该位置的小正 方体的个数. 2 1 322 俯视图 主视图 左视图 图① 图② ·16.AB=AD=12.∠A0D=90.:E是AD的中点，∴OE=AE=合AD=6.由(1)知四 边形OEFG是矩形，∴.FG=OE=6.,EF⊥AB,∴∠EFA=90°.∴AF=√AE-EF =2...BG=AB-AF-FG-4. 易错章测（二） 1.C2.D 3.C【易错点拨】判定矩形、菱形、正方形时，不要忽略基本条件“平行四边形”. 4.D 5.D【易错点拔】利用公式S=6(@,6为两条对角线的长)进行计算时，漏掉号 而致错. 6.B。【易错点拨】弄清平行四边形成为矩形、菱形时边或角需满足的条件是解题的关键. 7.AB=AD(答案不唯一)8.45°9.4√310.7.8 11.证明："DM∥AB,.∠BAM=∠AMD.由折叠的性质，得∠BAM=∠DAM,AB= AD,BM=DM.'.∠DAM=∠AMD..AD=DM..AB=AD=BM=DM..四边形 ABMD是菱形. 12.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC.∴.∠F=∠BCE.E是AB的中 「∠F=∠BCE, 点，.AE=BE.在△AEF和△BEC中，∠AEF=∠BEC,∴.△AEF≌△BEC(AAS). AE=BE, (2)解：，四边形ABCD是矩形，∴.∠D=90°，AD=BC=2.△AEF≌△BEC,AF =BC=2..DF=AD+AF=4..CF=√CD3+DF=4√2. 13.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,AC⊥BD,AD=BC..BE=BC, AD=BE.∴.四边形AEBD是平行四边形.∴AE∥BD.,BF∥AC,.四边形AFBO 是平行四边形.，AC⊥BD,∠AOB=90°.∴四边形AFBO是矩形.(2)解：四边形 AFBO是矩形，.∠AFB=∠OAF=90°，OF=AB.∴.∠BFE=180°-∠AFB=90. :∠E=30°，BF=1,BE=2BF=2.在Rt△AEC中，BE=BC,∴AB=2CE=BE= 2.∴.OF=AB=2. 14.证明：(1)：四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,∠BAD=2∠CAD,∠ABC= 2∠DBC.∴.∠BAD+∠ABC=180°.：∠CAD=∠DBC,∴.∠BAD=∠ABC. .2∠BAD=180°.∴∠BAD=90°..四边形ABCD是正方形.(2)，四边形ABCD是 正方形，ACLBD,.AC=BD,0C=号AC,0D=号BD.∴∠COB=∠DOC=90,OC =OD.:DH⊥CE,.∠DHE=90..∠EDH+∠DEH=90°.：∠ECO+∠DEH= 1∠ECO=∠FDO, 90°，.∠ECO=∠EDH.在△ECO和△FDO中，OC=OD, '.△ECO≌ ∠COE=∠DOF, △FDO(ASA).∴.OE=OF. 阶段小测（三） 1.B2.C3.D4.D5.A6.A7.-38.号9.直角三角形10.-4068 11.解：(1)整理，得(2x-1)2=9.两边开平方，得2x-1=±3，即2x-1=3,或2x-1= -3.x1=2,x2=-1.(2)这里a=2,b=-7,c=4.b-4ac=(-7)2-4×2×4=17 >0,x=二（二亚_生亚，即=十亚，=？二厘.(3)原方程可变 2×2 4 4 形为(8x十2+2x)3x十2-2a)=0.5z十2=0，或x+2=0.∴函=-号=-2. 12.解：(1)配方法二(2)公式法：这里a=1,b=8,c=一9.，b-4ac=82-4×1× 9)=100>0,÷x=810=二810，即x4=1,4=-9. 2 13.解：(1)，该方程有两个不相等的实数根，.△=22一4×1×(3一k)=一8十4k>0, -55 解得k>2.(2)方程的两个根为a,B,∴8=3一k..b2=3一十3k,解得k1=3,k2= -1.由(1)知k>2,∴.k的值为3. 14.解：(1)根据题意，得x(70-2x十2)=640，解得x1=16,x2=20.当x=16时，72- 2x=40.当x=20时，72-2x=32.答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽 为20m时，能围成一个面积为640m的羊圈.(2)不能.理由如下：根据题意，得x(70一 2x十2)=650.整理，得x2-36x十325=0.4=(-36)2-4X325=-4<0,∴.该方程 没有实数根.，∴.羊圈的面积不能为650m2. 15.解：(1)0(2)分两种情况讨论：①当x一1≥0，即x≥1时，原方程化为x2+x一1一 1=0,即x2+x一2=0，解得x1=1,x2=-2(不合题意，舍去)；②当x-1<0,即x<1 时，原方程化为x2+1一x一1=0，即x2-x=0,解得x=0,x2=1(不合题意，舍去).综 上所述，原方程的根为x1=1,x2=0. 易错章测（四） 1.A 2.A【易错点拨】一元二次方程化成一般形式时，需要把各项移至等号左边. 3.C 4.D【易错点拨】本题易对等式两边同时除以x一2而致错. 5.B 6.C【易错点拨】利用根与系数的关系解题时，要注意△≥0. 7.x1=2,x2=-28.x2十x-6=0(答案不唯一) 9.一2【易错点拨】易忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错. 10.1或5 11.解：(1)原方程可变形为5x(x一1)十2(x一1)=0..(x一1)(5x十2)=0.∴.x一1= 0,或5x+2=0.=1,m=-号.(2)这里a=3,6=-7,c=2.-40c=（-7)2 4X3X2=25>0=二《一-装压-7告.=2，=专(3)整理得士-红 2X3 =-3.配方，得x2-4x十4=-3十4，即(x-2)2=1.两边开平方，得x一2=士1，即x 2=1,或x-2=-1..=3,x2=1. 12.解：把x=3代入x2-mx十m-3=0,得9-3m十m-3=0,解得m=3.设方程的另 一个根为t,则3十t=m=3,解得t=0..m=3,方程的另一个根为x=0. 13.解：设锦缎边饰的宽度为xm.根据题意，得(6十2x)(4十2x)=48,解得x1=1,x2= 一6（不合题意，舍去）.答：锦缎边饰的宽度为1m. 14.解：(1)：方程有两个实数根，.△=[一2(k-1)]2-4k2=4k2一8k十4一4k2=一8k 十4>0，解得≤分.(2)根据题意，得十x=2(k-1),1x=.由(1)可知≤2， 2(k-1)<0,即x1十x2<0.|x1+x2|=-(x1十x2)=x1x2-1..-2(k-1)= -1,解得1=1（不合题意，舍去），k2=-3..=-3. 15.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b.把(50,500)，(60,400)代人，得 /50士6二50，解得二-10，y关于工的函数表达式为y=-10z+100.(2)根 (60k+b=400, b=1000. 据题意，得(x-40)(-10x十1000)=8000，解得x1=60,x2=80.要让利于顾客， ∴x=60.答：该茶叶的销售价格应定为60元/kg. 阶段小测（五） 1.B2.D3.B4.B5.D6.B7.∠A=∠C(答案不唯-)8号9.510.5 1.解：2a=36,号=号.(1-322=号.(2)2a-2X3+2=4 b 2 b 2 12证明：BD平分∠ABC,∠DBE=∠CBD,BD=BC·BE,S-=0 △BCDn△BDE. 13.解：(1)甲乙(2)答案不唯一，如图丙中，长为10的边缩短为3.理由如下：：图 -56 丙中，长为10的边缩短为3，∴号=是=2.又：矩形的四个角都是902.“矩形甲0矩 形丙.又矩形甲∽矩形乙，.矩形甲∽矩形乙∽矩形丙. 14.证明：(1)五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=∠AED=(5-2)×180°÷5= 108,AB=AE=DE.·∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=号×(180-108)= 3S.△AMB∽△AED(②由(I)知△AMEO△AED,￥-盖：∠DME= ∠DAE+∠AEM=72°，∠DEM=∠AED-∠AEM=72°.∴∠DME=∠DEM.∴.DE =DMAE=DM微-器M是AD的黄金分制点 15.解：(1)2t(5-t)(2),∠POQ=∠AOB=90°，.△POQ与△AOB相似分两种 情况讨论.①当△P0Q△A0B时，贺-8器，即号-5号，解得1=号 2;②当△P0Qn △BOA时，8器-器，即号-5日，解得：=1擦上所述，当△P0与△A0B相似时，d 的值为号或1. 阶段小测（六） 1.A2.D3.D4.D5.B6,D7,三边成比例的两个三角形相似8,729.吾 10.(4-3a,-3b) 1L.解，AB=6,BC-10,AC=AB+BC=16,直线马/么/∴是-B器即是 -2票DE=, 12.解：(1)如图，△OBC即为所求.(2)点B的坐标是(-6,2)，点C的坐标是(-4，一2). 13.(1)证明：：AF⊥DE,AG⊥BC,∴∠AFE=∠AGC=90°.∴∠AED=90°- ∠EAF,∠C=90°-∠GAC.'∠EAF=∠GAC,∠AED=∠C.∠DAE=∠BAC, ÷△ADED△ABC,(2)解：号 14.证明：(1：0D-20A,0c-20B,÷8器-8咒-子又：∠A0B-∠D0C ∴.△AOB∽△DOC.(2)由(1)得△AOB∽△DOC,∴.∠AB0=∠DCO.AB∥DE,. ∠AB0=∠ED0.∠Dc0=∠ED0.:∠D0C=∠E0D,△D0C∽△EOD.÷8器 -8%0D=0E0C 15.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD.∴∠AEF=∠CDF, ∠EAF=∠DCR△AEF△CDR.:AE:EB=2:3,荒-=号∴甍-能- 号.△AEF与△CDF的周长之比为2：5.(2)：Sam=20,Sm=8,Sx S△cDF十S△ADF=28.,四边形ABCD是平行四边形，.S△ABc=S△ADC=28.由(1)知 △AEF∽△CDF,.= CD =是5aMs=20X若-5Saae=S 124 一SAAEF=5· 易错章测（七） 1.A2.D3.C 57 4.B【易错点拨】物体在太阳光下的投影与物体的摆放方式有关系，因此A,C,D选项 都有可能，此题容易误选D项. 5.B。【易错点拨】在由投影判断光源时，混淆平行投影和中心投影的特征而致错，平行 投影的光线互相平行，中心投影的光线交于一点. 6.D7.平行8.正方体（答案不唯一）9.1810.7 11.解：如图所示. 主视图 左视图 俯视图 12.解：(1)如图，CA即为所求.(2)设小丽的身商为xm由题意，得-污，解得x =1.4.答：小丽的身高为1.4m 、C 小明 小丽 主视图 左视图 (第12题图) (第14题图) 13.解：(1)四棱柱(2)由这个几何体的三视图，得四棱柱的底面为对角线长分别为4 和②的菱形.“这个几何体的底面积为之×4X2=2巨.“这个几何体的体积为2厄 X4=8√2. 14.解：(1)如图所示.(2)3 15.解：I由题意，得R△CEPRt△CBD,部-品即号=2升6+QD∴0D 2 =1.5m.答：小明站在Q处时，在路灯AC下的影长QD为1.5m.(2)由题意，得 R△DFQR△DAG器-8器即2L585+3AC=12m答：路灯AC 1.5 的高度为12m. 阶段小测（八） 1.B2.D3.B4.C5.B6.C7.-28y>%9.1或-号10.①@③ 11.解：把(5,0)代人y=-x2+(k+1)x-k,得0=-52+5(k+1)-k,解得k=5.∴.抛 物线的函数表达式为y=一x2+6x一5=一(x一3)2+4.∴.抛物线的对称轴为直线x=3. 12.解：(1)二次函数的表达式为y=(x-2)2-1=x2-4x十3.(2)如图所示.(3)一1≤y<3 3 2 1 2345x -2 13.解：(1)(1,1)(2)不经过，理由如下：由题意得抛物线C的函数表达式为y=2(x -1+1)2+1+2=2x2+3.当x=2时，y=2×22+3=11≠3..抛物线C1不经过点 P(2,3) 14.解：(1)：抛物线y=一x2十bx十c经过点A(-1,0),B(5,0),∴.对称轴为直线x= b 2.一2×-=2，解得6=4.六y=一t+4x+.把A(-1,0)代入，得0=-1-4+ c,解得c=5.(2)由(1)，得抛物线的表达式为y=-x2+4x+5=-(x-2)2十9.∴.点P 的坐标为2,9).Sap=2AB·p=名×[5-(-1D]X9=27. 15.(1)解：将(-1,0)代入y=x2十bx+3,得1-b十3=0，解得b=4.(2)证明：由(1)知 y=x2+4x十3，：点A(m,y),B(m十1，y2)都在该抛物线上，∴.y=m2+4m十3，y2= —58 (m+1)2+4(m+1)+3.∴.2y1-y2=2m2+8m+6-(m+1)2-4(m+1)-3=m2+2m -2=(m+1)2-3.(m+1)2-3≥-3，.2y-2≥-3.…21≥y%-3.(3)解：·y= x2+4x十3=(x十2)2一1，.抛物线开口向上，对称轴为直线x=一2.分以下两种情况 讨论：当n≤-1，n-2≤x≤n时，在x=n-2时，y有最大值，最大值为y=(n一2+2)2 一1=5，解得m=一√6，n2=√6（舍去）.当n>-1,n一2≤x≤n时，在x=n时，y有最 大值，最大值为y=(n十2)2-1=5，解得n3=√6-2，n4=一√6-2（舍去）.综上所述，n 的值为一√6或√6-2. 应用专练（二）二次函数的实际应用 1.解：1)设抛物线的表达式为y=ar,将(4，-5)代人，得-5=16a,解得a=一6 该抛物线的表达式为)一是2.(2)当x=2时y=一最×2=一是·号+1.25 =2.5(m).答：水面与拱顶至少相距2.5m. 2.解：(1)由题意知y=x(30-x)=-x2+30x.(2)由(1)知，y=-x2+30x=-(x一 15)2十225，∴.当x=15时，y取最大值，最大值为225.答：当x=15时，种植月季的面积 最大，最大面积为225m2. c=43, 1 3.解：1)把(0,43)，(6,55)代人y=-0x2+bx+c,得 -六×36+60+c=5 解得 13 6-号y与之同的丽数表达式为y=02+号+银.②)y=一02+号 c=43. 十43=一0（x一13)十59.9，当x=13时，学生对新知识的接受能力最强。“重难点 的部分需要讲l2min,∴.王老师应将重难点放在上课7min到19min的时候讲最好. 4.解：(1)8-6=2，.抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物线的表达式为y=a(x-2)2 十3.把A(8,0)代人，得36a十3=0，解得a=一立抛物线的表达式为)y=一（红 2)+3.当=0时=一立×4+3=号>24，球不能射进球门.(2)设小明带球向 正后方移动力m,则移动后的抛物线的表达式为y=一立(x一2-p)2十3.把(0,2.25) 代人，得2.25=一立0-2-p2+3,解得A=-5(含去)，=1.答：当他带球向正后 方移动1m时射门，才能让球经过点O正上方2.25m处. 5.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为(x一15)人.根据题 意，得四9=5，解得=60经检验=60是原分式方程的解，且符合题意，上 15=45.答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人.(2)，租用A 型客车m辆，∴.租用B型客车(10-m)辆.根据题意，得60m十45(10一m)≥530.解得 m≥号“<m<8,设本次研学活动学校的租车总费用为w元，根据慝意，得w (320-50mm+300X0.810-m）=-50(m-8y2+2720.:-50<0,号≤m≤ 8,且m为正整数，.当m=6时，w取得最小值，最小值为一50×(6一8)2十27200= 27000.答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 易错章测（九） 1,A【易错点拨】忽略二次函数表达式中二次项系数不为0而致错. 2.A【易错点拨】审题不仔细，误以为本题求解内容为与x轴的交点个数而致错， 3.A【易错点拨】平移坐标轴正好与“左加右减，上加下减”相反. 4.C5.A6.D7.y=x2-4x十3（答案不唯一）8.> 9.52【易错点拨】在解决二次函数有关的实际问题时，未考虑自变量的取值范围而致错. 10.1或号 一 59 11.解：把(0,0)代入y=(a-1)x2+a2-2a-3,得a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1. 函数图象开口向下，.a-1<0,解得a<1.a=-1. 12,解：1)把A(1,-2,B(0,-5)代入y=2+x十6，得+6+c=-2, 解得 lc=-5, b-2,.六二次函数的表达式为y=2+2z-5=(x+1)2-6.顶点坐标为（-1， c=-5. -6).(2)当y≤-2时，x的取值范围是一3≤x≤1. 13.解：(1)二次函数的图象经过A(-2,0),B(1,0),y=-(x+2)(x-1)=-x2一 x十2..b=一1，c=2.(2)由(1)知二次函数的表达式为y=一x2-x+2.设点P的坐标 为(m,-m-m+2).:Sag=7AB·加，AB=1-(-2)=3,2×3X-m2- m十2|=6，解得m1=-3,m2=2.此时-m2一m十2=一4.∴点P的坐标为（一3，-4） 或(2，-4) 14.解：(1)，BO=4m,.B(0,4).设抛物线L1的函数表达式为y=ax2十4.AC= 16m,A(-8,0),C(8,0).将C(8,0)代人y=ax2+4,得0=64a+4,解得a=一6 1 抛物线L的函数表达式为y=-x+4.(2)MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC, NQ-忘2+4-[-是c-]-号解得4==6.MN=2X6=12m. 易错章测（十） 1.C2.B3.C4c5.D6.C7.0.428.号9.号10. 1 11.解：列表如下： 2 3 4 2 (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,2) (4,3) (4,4) 共有9种等可能的结果，其中两次抽到的编号都是偶数的结果有4种，两次抽到的编 号都是偶数的概率为台， 12.解：(1) (2)画树状图如下： 开始 虎 兔 龙 蛇 兔龙蛇虎龙蛇虎兔蛇虎兔龙 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有2种，.抽 取的两聚郎票恰好是皮“和“龙”的概率为品一=日· 13.解：(1)0.6(2)0.6(3)由题意知，白球有40×0.6=24（个），.黑球有40一24= 16(个). 14.解：将转盘B的黄色区域等分成黄1，黄2.画树状图如下： 开始 转盘A 蓝 转盘B红黄1黄2红黄1黄2 共有6种等可能的结果，其中配成紫色的结果有1种，配不成紫色的结果有5种，，∴.配 成紫色的概率是日，配不成紫色的概率是吾“日×2<号，这个游戏对双方不公 平.修改规则不唯一，如：若配成紫色，小颖得2分；若转出的颜色都是红色，小明得2分. 60