阶段小测(3)[范围：2.1-2.3]（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

阶段小测（三） （范围：2.1~2.3时间：40分钟满分：100分) 一、选择题（每小题4分，共24分） 二、填空题（每小题4分，共16分） 1.将方程7x一3=2x2化为一般形式后，常 7.若关于x的方程(m-3)xm2-1-2x-3=0 数项为3，则一次项系数为 是一元二次方程，则m的值是 A.7 B.-7C.7x D.-7x 8.已知关于x的方程4x2一6x+m=0有两 2.下列方程用因式分解法求解较为简便 个相等的实数根，则m的值为 的是 ) 9.已知某三角形的两边长分别是3和5，第 A.x2-5x+1=0 B.x2-2x-1=0 三边的长满足方程x2一5x十4=0，则这 C.5x2=x D.(x+2)(x-1)=3 个三角形的形状是 3.下列方程中，无实数根的是 ( )10.方程x2-2034x一2035=0的两个根分 A.x2+3x=0 B.x2+2x-1=0 别是m,n,则(m2-2033m-2036)(2 C.x2+2x+1=0D.x2-x+3=0 2033n-2036)的值是 4.小明在写作业时，不小心将方程3x2一 三、解答题（共60分） □x=5的一次项系数用墨水盖住了，已 11.(12分)用适当的方法解下列方程： 知方程的一个解为x=5,则方程的另一 (1)3(2x-1)2-27=0; 个解是 ( A.x=5 B.x=0 Cx=司 D=-号 5.如图，在宽为20m、长为32m的矩形地 面上修筑同样宽的道路（阴影部分），余下 (2)2x2-7x+4=0; 的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2, 求道路的宽.如果设道路的宽为xm,根 据题意，可列方程是 A.(20-x)(32-x)=540 B.(20-x)(32-x)=100 C.(20+x)(32-x)=540 (3)(3x+2)2-4x2=0. D.(20+x)(32-x)=100 6.定义新运算：a①b=2a十b,a☆b=a2b,则 方程(x十1)☆2=(3⊕x)一2的解是 A.x1=0.5,x2=-2B.G1=0.5,x2=-1 C.G1=-0.5,2=2D.x1=-0.5,x2=1 ·7 12.(10分)小明同学解方程x2+8x-9=0 (2)羊圈的面积能为650m2吗？请说明 的过程如下： 理由. 解：移项，得x2十8x=9.…第一步 (x十4)2=9，…第二步 即x十4=3，或x十4=一3.…第三步 x1=一1，x2=一7.…第四步 (1)小明同学是用 (填“配方法” “公式法”或“因式分解法”)来求解方 程的，从第 步开始出现错误； (2)请你用不同于(1)中的方法解该方程. 15.(14分)阅读下列材料： 解方程：x2一|x一2=0. 13.(12分)已知关于x的一元二次方程x2十 解：分两种情况讨论： 2x十3一k=0有两个不相等的实数根， ①当x≥0时，原方程化为x2一x一2=0， (1)求k的取值范围； 解得x1=2,x2=一1（不合题意，舍去）； (2)若方程的两个根为a,B,且b2=a3十 ②当x<0时，原方程化为x2+x一2=0， 3k,求k的值， 解得x1=1(不合题意，舍去)，x2=一2. 综上所述，原方程的根为x=2,x2=一2. (1)已知方程x2十2x一3=0，则此方 程的所有实数根的和为 (2)解方程：x2+|x一1一1=0. 14.(12分)如图，老李想用长为70m的栅 栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围 成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上 留一道2m宽的门（建在EF处，另用其 他材料).设AB的长为xm. (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能 围成一个面积为640m2的羊圈？ ·8AB=AD=12.∠A0D=90.:E是AD的中点，∴OE=AE=合AD=6.由(1)知四 边形OEFG是矩形，∴.FG=OE=6.,EF⊥AB,∴∠EFA=90°.∴AF=√AE-EF =2...BG=AB-AF-FG-4. 易错章测（二） 1.C2.D 3.C【易错点拨】判定矩形、菱形、正方形时，不要忽略基本条件“平行四边形”. 4.D 5.D【易错点拔】利用公式S=6(@,6为两条对角线的长)进行计算时，漏掉号 而致错. 6.B。【易错点拨】弄清平行四边形成为矩形、菱形时边或角需满足的条件是解题的关键. 7.AB=AD(答案不唯一)8.45°9.4√310.7.8 11.证明："DM∥AB,.∠BAM=∠AMD.由折叠的性质，得∠BAM=∠DAM,AB= AD,BM=DM.'.∠DAM=∠AMD..AD=DM..AB=AD=BM=DM..四边形 ABMD是菱形. 12.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC.∴.∠F=∠BCE.E是AB的中 「∠F=∠BCE, 点，.AE=BE.在△AEF和△BEC中，∠AEF=∠BEC,∴.△AEF≌△BEC(AAS). AE=BE, (2)解：，四边形ABCD是矩形，∴.∠D=90°，AD=BC=2.△AEF≌△BEC,AF =BC=2..DF=AD+AF=4..CF=√CD3+DF=4√2. 13.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,AC⊥BD,AD=BC..BE=BC, AD=BE.∴.四边形AEBD是平行四边形.∴AE∥BD.,BF∥AC,.四边形AFBO 是平行四边形.，AC⊥BD,∠AOB=90°.∴四边形AFBO是矩形.(2)解：四边形 AFBO是矩形，.∠AFB=∠OAF=90°，OF=AB.∴.∠BFE=180°-∠AFB=90. :∠E=30°，BF=1,BE=2BF=2.在Rt△AEC中，BE=BC,∴AB=2CE=BE= 2.∴.OF=AB=2. 14.证明：(1)：四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,∠BAD=2∠CAD,∠ABC= 2∠DBC.∴.∠BAD+∠ABC=180°.：∠CAD=∠DBC,∴.∠BAD=∠ABC. .2∠BAD=180°.∴∠BAD=90°..四边形ABCD是正方形.(2)，四边形ABCD是 正方形，ACLBD,.AC=BD,0C=号AC,0D=号BD.∴∠COB=∠DOC=90,OC =OD.:DH⊥CE,.∠DHE=90..∠EDH+∠DEH=90°.：∠ECO+∠DEH= 1∠ECO=∠FDO, 90°，.∠ECO=∠EDH.在△ECO和△FDO中，OC=OD, '.△ECO≌ ∠COE=∠DOF, △FDO(ASA).∴.OE=OF. 阶段小测（三） 1.B2.C3.D4.D5.A6.A7.-38.号9.直角三角形10.-4068 11.解：(1)整理，得(2x-1)2=9.两边开平方，得2x-1=±3，即2x-1=3,或2x-1= -3.x1=2,x2=-1.(2)这里a=2,b=-7,c=4.b-4ac=(-7)2-4×2×4=17 >0,x=二（二亚_生亚，即=十亚，=？二厘.(3)原方程可变 2×2 4 4 形为(8x十2+2x)3x十2-2a)=0.5z十2=0，或x+2=0.∴函=-号=-2. 12.解：(1)配方法二(2)公式法：这里a=1,b=8,c=一9.，b-4ac=82-4×1× 9)=100>0,÷x=810=二810，即x4=1,4=-9. 2 13.解：(1)，该方程有两个不相等的实数根，.△=22一4×1×(3一k)=一8十4k>0, -55 解得k>2.(2)方程的两个根为a,B,∴8=3一k..b2=3一十3k,解得k1=3,k2= -1.由(1)知k>2,∴.k的值为3. 14.解：(1)根据题意，得x(70-2x十2)=640，解得x1=16,x2=20.当x=16时，72- 2x=40.当x=20时，72-2x=32.答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽 为20m时，能围成一个面积为640m的羊圈.(2)不能.理由如下：根据题意，得x(70一 2x十2)=650.整理，得x2-36x十325=0.4=(-36)2-4X325=-4<0,∴.该方程 没有实数根.，∴.羊圈的面积不能为650m2. 15.解：(1)0(2)分两种情况讨论：①当x一1≥0，即x≥1时，原方程化为x2+x一1一 1=0,即x2+x一2=0，解得x1=1,x2=-2(不合题意，舍去)；②当x-1<0,即x<1 时，原方程化为x2+1一x一1=0，即x2-x=0,解得x=0,x2=1(不合题意，舍去).综 上所述，原方程的根为x1=1,x2=0. 易错章测（四） 1.A 2.A【易错点拨】一元二次方程化成一般形式时，需要把各项移至等号左边. 3.C 4.D【易错点拨】本题易对等式两边同时除以x一2而致错. 5.B 6.C【易错点拨】利用根与系数的关系解题时，要注意△≥0. 7.x1=2,x2=-28.x2十x-6=0(答案不唯一) 9.一2【易错点拨】易忽略一元二次方程的二次项系数不为0而致错. 10.1或5 11.解：(1)原方程可变形为5x(x一1)十2(x一1)=0..(x一1)(5x十2)=0.∴.x一1= 0,或5x+2=0.=1,m=-号.(2)这里a=3,6=-7,c=2.-40c=（-7)2 4X3X2=25>0=二《一-装压-7告.=2，=专(3)整理得士-红 2X3 =-3.配方，得x2-4x十4=-3十4，即(x-2)2=1.两边开平方，得x一2=士1，即x 2=1,或x-2=-1..=3,x2=1. 12.解：把x=3代入x2-mx十m-3=0,得9-3m十m-3=0,解得m=3.设方程的另 一个根为t,则3十t=m=3,解得t=0..m=3,方程的另一个根为x=0. 13.解：设锦缎边饰的宽度为xm.根据题意，得(6十2x)(4十2x)=48,解得x1=1,x2= 一6（不合题意，舍去）.答：锦缎边饰的宽度为1m. 14.解：(1)：方程有两个实数根，.△=[一2(k-1)]2-4k2=4k2一8k十4一4k2=一8k 十4>0，解得≤分.(2)根据题意，得十x=2(k-1),1x=.由(1)可知≤2， 2(k-1)<0,即x1十x2<0.|x1+x2|=-(x1十x2)=x1x2-1..-2(k-1)= -1,解得1=1（不合题意，舍去），k2=-3..=-3. 15.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b.把(50,500)，(60,400)代人，得 /50士6二50，解得二-10，y关于工的函数表达式为y=-10z+100.(2)根 (60k+b=400, b=1000. 据题意，得(x-40)(-10x十1000)=8000，解得x1=60,x2=80.要让利于顾客， ∴x=60.答：该茶叶的销售价格应定为60元/kg. 阶段小测（五） 1.B2.D3.B4.B5.D6.B7.∠A=∠C(答案不唯-)8号9.510.5 1.解：2a=36,号=号.(1-322=号.(2)2a-2X3+2=4 b 2 b 2 12证明：BD平分∠ABC,∠DBE=∠CBD,BD=BC·BE,S-=0 △BCDn△BDE. 13.解：(1)甲乙(2)答案不唯一，如图丙中，长为10的边缩短为3.理由如下：：图 -56 丙中，长为10的边缩短为3，∴号=是=2.又：矩形的四个角都是902.“矩形甲0矩 形丙.又矩形甲∽矩形乙，.矩形甲∽矩形乙∽矩形丙. 14.证明：(1)五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=∠AED=(5-2)×180°÷5= 108,AB=AE=DE.·∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=号×(180-108)= 3S.△AMB∽△AED(②由(I)知△AMEO△AED,￥-盖：∠DME= ∠DAE+∠AEM=72°，∠DEM=∠AED-∠AEM=72°.∴∠DME=∠DEM.∴.DE =DMAE=DM微-器M是AD的黄金分制点 15.解：(1)2t(5-t)(2),∠POQ=∠AOB=90°，.△POQ与△AOB相似分两种 情况讨论.①当△P0Q△A0B时，贺-8器，即号-5号，解得1=号 2;②当△P0Qn △BOA时，8器-器，即号-5日，解得：=1擦上所述，当△P0与△A0B相似时，d 的值为号或1. 阶段小测（六） 1.A2.D3.D4.D5.B6,D7,三边成比例的两个三角形相似8,729.吾 10.(4-3a,-3b) 1L.解，AB=6,BC-10,AC=AB+BC=16,直线马/么/∴是-B器即是 -2票DE=, 12.解：(1)如图，△OBC即为所求.(2)点B的坐标是(-6,2)，点C的坐标是(-4，一2). 13.(1)证明：：AF⊥DE,AG⊥BC,∴∠AFE=∠AGC=90°.∴∠AED=90°- ∠EAF,∠C=90°-∠GAC.'∠EAF=∠GAC,∠AED=∠C.∠DAE=∠BAC, ÷△ADED△ABC,(2)解：号 14.证明：(1：0D-20A,0c-20B,÷8器-8咒-子又：∠A0B-∠D0C ∴.△AOB∽△DOC.(2)由(1)得△AOB∽△DOC,∴.∠AB0=∠DCO.AB∥DE,. ∠AB0=∠ED0.∠Dc0=∠ED0.:∠D0C=∠E0D,△D0C∽△EOD.÷8器 -8%0D=0E0C 15.解：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥CD.∴∠AEF=∠CDF, ∠EAF=∠DCR△AEF△CDR.:AE:EB=2:3,荒-=号∴甍-能- 号.△AEF与△CDF的周长之比为2：5.(2)：Sam=20,Sm=8,Sx S△cDF十S△ADF=28.,四边形ABCD是平行四边形，.S△ABc=S△ADC=28.由(1)知 △AEF∽△CDF,.= CD =是5aMs=20X若-5Saae=S 124 一SAAEF=5· 易错章测（七） 1.A2.D3.C 57