第5章 4 二次函数与一元二次方程（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

4二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 √知识梳理 判别式 一元二次方程ax2十bx十c=0 抛物线y=ax2十bx十c b2-4ac>0 有两个 的实数根 抛物线与x轴有 个不同的交点 b2-4ac=0 有两个 的实数根 抛物线与x轴有 个交点 b2-4ac<0 没有实数根 抛物线与x轴没有交点 针对训练 1.若一元二次方程ax2+bx十c=0有两个5.王老师对小明推铅球的录像进行技术分 相等的实数根，则二次函数y=ax2+ 析，发现铅球行进的高度y(m)与水平距 bx+c的图象与x轴 离x(m)之间的关系可以表示为y= A.只有一个交点 B.有两个交点 (x一4)+3，铅球从出手到落地的 C.无交点 D.至少有一个交点 路线如图所示，则铅球推出的水平距离 2.若关于x的二次函数y=一x2十mx十n OB为 m. 的图象与x轴的交点坐标是（一1,0）和 6.已知抛物线y=-x2十bx十c过点A(-2, (3,0),则关于x的一元二次方程一x2十 0),B(-1,4) mx十n=0的解为 ( (1)求抛物线的表达式； A.x1=x2=0 B.x1=1,x2=一3 (2)关于x的方程一x2+bx十c=0的解 C.x1=1,x2=0 D.x1=-1,x2=3 是 3.二次函数y=ax2十bx十c的部分图象如 (3)若方程-x2十bx十c=m无解，则m 图所示，由图象可知方程ax2+bx十c=0 的取值范围是 的根是 02 5* (第3题图) (第5题图) 4.已知二次函数y=一x2一4x十k的图象 与x轴只有一个交点，则实数的值是 ·42· 第2课时 利用二次函数图象求方程的近似根、解不等式 知识梳理 元二次不等式ax2+bx十c>0或ax2+bx十c<0是函数y=ax2十bx十c当函数 利用二次函数 值 或 0的特殊情况，即函数值大于或小于0时，函数中自变量x 求解不等式 的取值范围就是一元二次不等式ax2+bx十c>0或ax2十bx十c<0的 √针对训练 1.抛物线y=x2一x一2如图所示，则不等 式x2-x-2<0的解集是 A.x<-1 B.x>2 C.-1<x<2 (第4题图) (第5题图) D.x<-1或x>2 5.二次函数y=ax2+bx一c的部分图象如 2.二次函数y=ax2十bx十c(a,b,c是常 图所示，估计方程ax2+bx=c的一个根 数)中x,y的几组对应值如下表，则方程 x1≈0.8，则估计方程的另一个根x2≈ .(结果精确到0.1) ax2十bx十c=0的根的个数是 6.已知二次函数y=x2-2x-1. 6.17 6.18 6.19 6.20 (1)画出二次函数y=x2一2x一1的图象； 0.02 一0.01 0.02 0.04 (2)结合图象，估算一元二次方程x2 A.0 B.1 2x一1=0的近似根；（精确到0.1） C.2 D.1或2 (3)写出不等式x2一2x一1>2的解集， 3.二次函数y=x2十2x一9中x,y的部分 对应值如下表，则方程x2十2x一9=0的 一个近似解可能为 ( 2-1 01234x 2.1 2.22.3 2.4 0.390.240.891.56 A.2 B.2.1 C.2.15 D.2.2 4.直线y=x十1与抛物线y=x2+1如图 所示，若一次函数的值大于二次函数的 值，则x的取值范围是 ·43第4课时拱桥问题及其他问题 针对训练 1.D2.A3.y=-2x+84.g 5.解：(1)答案不唯一，如：建立平面直角坐标系如图所示.由题意得抛物线的顶点A的 坐标为(5,4).设抛物线的表达式为y=a(x一5)2+4.把(0,0)代入，得0=a(0一5)2+ 4 4 4,解得a=一2方小抛物线的表达式为y=一23(x-5)2+4.(2)由题意，得0D=6m 当x=6时，y=一希×(6-5)2十4=器答：在AB右边1m的D处所对应的桥洞离水 面的高为碧m m O -10m Cx 4二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 知识梳理 不相等两相等一 针对训练 1.A2.D3.x1=-1,x2=54.-45.10 6.解：1)把A(-2,0),B(-1,4)代人y=-2+z十c,得仁4二26+c=0 1-1-b+c=4, 解得 ”抛物线的表达式为y=-2十x十6.(2)=3，=-2(3)m>2华 c=6. 第2课时利用二次函数图象求方程的近似根、解不等式 知识梳理 大于小于解集 针对训练 1.C2.C3.C4.0<x<15.3.2 6.解：(1)如图所示.(2)一元二次方程x2一2x一1=0的近似根为x1≈-0.4，x2≈2.4. (3)不等式x2-2x-1>2的解集为x<-1或x>3. -3-2-TNO134x 第六章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求概率 针对训练 1.D2.C3.D4.6 5.解：列表如下： 2 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 52 共有9种等可能的结果，其中摸出的两球上的数字之和是4的结果有3种，∴摸出的两 球上的数字之和是4的概率为9=3： 31 6.解：画树状图如下： 开始 第1张 净 第2张旦净丑生净丑生旦丑生旦净 共有12种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果有6种，抽取 到的两张卡片中有“生“的概率为品=宁 第2课时 利用概率判断游戏的公平性 针对训练 1号乙 2.解：画树状图如下： 开始 小明 5 7 小东579479459457 共有12种等可能的结果，其中数字之和小于13与不小于13的结果各有6种，∴.P(小 明获胜)=P(小东获胜)=是-分这个游戏公平。 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 针对训练 1.c2号 3.解：画树状图如下： 开始 红 蓝 蓝 白蓝蓝红蓝蓝红白蓝红白蓝 共有12种等可能的结果，其中摸到的两管颜料的颜色能配成紫色的结果有4种，.摸 到的两管颜料的颜色能配成紫色的概率为23· ,4=1 2用频率估计概率 知识梳理 针对训练 1.C2.A3.D4.0.225.4 6.解：(1)0.95(2)需购买约19000÷0.95=20000（株）郁金香. 提分小卷 阶段小测（一） 1.D2.D3.C4.C5.D6.A7.48.120°9.16√510.3√5 11.证明：四边形ABCD是矩形，∴.AD=BC,AD∥BC.∴∠DAF=∠BCE.:BE⊥ AC,DF⊥AC,∴.∠AFD=∠CEB=90°.∴.△AFD≌△CEB(AAS).∴.AF=CE. 12.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.OB=OD.∴.O是BD的中点.DH⊥AB, ∴∠DHB=90.OH=号BD=OD,∠OHD=∠ODH.(2)解：四边形ABCD是 菱形，AB=BC=CD=AD,0D=号BD=3,AC=20C=8,BD1AC.CD= 53 VOC+0D=5.∴菱形ABCD的周长为4CD=20,S爱#aD=号AC·BD=24. 13.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.,BE=DF,'.OB BE=OD-DF,即OE=OF.∴.四边形AECF是平行四边形.AC=2OE,EF=2OE, ∴AC=EF.四边形AECF是矩形.(2)解：，四边形AECF是矩形，∠AEC=90°. :∠ACE=30°，∴∠OAE=90°-∠ACE=60°.：四边形AECF是矩形，∴.OA=OE. .△AEO是等边三角形..∠AOE=60°，OA=AE=4.∠BAC=90°，.∠ABO=90° -∠AOE=30°..OB=2OA=8..AB=√OB2-OA=4√3.AC=2OA=8,∴.BC =V√AB+AC=4√7. 14.(1)证明：EF是对角线AC的垂直平分线，.OA=OC,AC⊥EF.,四边形ABCD 是矩形，.AD∥BC..∠AEO=∠CFO.又：∠AOE=∠COF,∴.△AEO≌△CFO (AAS)..AE=CF..四边形AFCE是平行四边形.又，AC⊥EF,∴四边形AFCE是 菱形.(2)解：四边形ABCD是矩形，∠B=90°，BC=AD=8.∴AC=√AB2十BC =45.由(1)知四边形AFCE是菱形，0C=7AC=26.设AF=x,则CF=x,BF =BC-CF=8-x.在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF,即42+(8-x)2=x2,解得x= 5..CF=5.∴.OF=√CF-OC=√5.∴.EF=2OF=2√5. 几何专练（一）特殊平行四边形的性质与判定 1.解：，E,F分别是AB,AD的中点，.EF是△ABD的中位线..BD=2EF=4.,四 边形ABCD是菱形，∴.AB=AD.又，∠A=60°，∴.△ABD是等边三角形.∴.AB=BD =4..菱形ABCD的周长为4AB=16. 2.证明：，四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD,BD=2BO.∴.∠ABD=∠CDB. ,AC=2BO,.AC=BD.∴.四边形ABCD为矩形.：BD为∠ABC的平分线， .∠ABD=∠DBC.∴.∠CDB=∠DBC.∴.BC=CD.∴.□ABCD为正方形. 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D.CE= CD,.AB=CE..四边形ABEC是平行四边形..AE=2AF,BC=2BF.,∠AFC= ∠ABC+∠BAE=2∠D,.∠ABC=∠BAE..AF=BF..AE=BC..四边形ABEC 是矩形 4.证明：(1)：四边形ABCD是矩形，.CD∥AB.CE∥BD,.四边形DBEC是平行 四边形.(2)：四边形ABCD是矩形，∴.BD=AC.,四边形DBEC是平行四边形， ∴.BD=CE..AC=CE. 5.(1)证明：∠BAC=∠ACB,AB=BC..□ABCD是菱形.∴.AC⊥BD.(2)解： :四边形ABCD是菱形，0A=是AC=8,OB=合BD,AC⊥BD.:OB= √AB-ON=6.BD=20B=12.∴S菱#am=号AC·BD=96. 6.证明：(1)四边形ABCD为正方形，∴.AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°.在△EAB (AB=CB, 和△ECB中，∠ABE=∠CBE,∴△EAB≌△ECB(SAS).(2),'四边形ABCD为正 BE=BE, 方形，∴.∠BDC=45°.，△EAB≌△ECB,∠AEC=45°，∴.∠CED=∠AED= ∠ABC=2.5∠DCE=∠BDC-∠CED=2.5.∴∠CBD=∠DCE.=DE 7.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC.:△EAC是等边三角形， ∴.EA=EC.∴.EO⊥AC.∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(I)知四边形ABCD是菱 形，OA=OC=合AC=4,OB=0D.在R△AOB中，OB=VAB-O=3,∴0D= OB=3.△EAC是等边三角形，∴.AE=AC=8.在Rt△AOE中，OE=W√AE2-OA =4√3，.DE=OE-OD=4W3-3. 8.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.OB=OD.:E是AD的中点，.OE是△ABD 的中位线..OE∥FG.,OG∥EF,∴.四边形OEFG是平行四边形.，EF⊥AB, ∠EFG=90°.∴.四边形OEFG是矩形.(2)解：四边形ABCD是菱形，∴.BD⊥AC, 54