第5章 3 二次函数的应用（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

3二次函数的应用 第1课时 确定二次函数的表达式 √知识梳理 已知 所设表达式 任意三点的坐标 一般式：y=ax2十bx+c 顶点坐标(h,)或对称轴和最值 顶点式：y=a(x-h)2十k 与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0) 交点式：y=a(x-x1)(x一x2) 针对训练 1.已知二次函数y=ax2+3x十c的图象经 距离5m处达到最高，最高点距地面 过点（一1,0）和(0,2)，则这个二次函数 3.2m.建立如图新示的平面直角坐标 的表达式为 ) 系，水柱距地面的高度y(m)关于水柱距 A.y=x2+3x+2B.y=-x2+3x+2 喷水头的水平距离x(m)的函数表达式 C.y=x2+3x-2D.y=-x2+3x-2 为 2.已知抛物线y=x2十bx十c的顶点坐标为 5.已知二次函数y=ax2十bx+c,函数y (1,3),则该抛物线的表达式为( 与自变量x的部分对应值如表所示.根 A.y=x2-2x+4 B.y=x2-2x-3 据表格数据，解答下列问题 C.y=-x2+2x+1D.y=x2-2x+1 -3 -2-1 0 3.已知某二次函数的图象如图所示，则该 y 0 3 一4 -3 二次函数的表达式可能是 (1)二次函数图象的顶点坐标为 A.y=(x+1)(x+4) (2)写出二次函数的图象与x轴的交点 B.y=(x十1)(x-4) 坐标； C.y=(x-1)(x+4) (3)选择合适的方法，求二次函数的表达式。 D.y=(x-1)(x-4) 3 (第3题图) (第4题图) 4.某处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形 状，小明对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平 ·38 第2课时几何图形面积问题 针对训练 1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边 (2)当x为何值时，花圃的面积最大？最 长为x(0<x<1)的小正方形，若设剩余 大面积是多少？ 部分的面积为y,则y关于x的函数表 达式为 ( A.y=x2 B.y=1-x2 C.y=x2-1 D.y=1-2x 2.已知直角三角形两直角边长之和为20cm, 当这个直角三角形的面积最大时，其中 一条直角边长为 ( A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm 3.一个长20m、宽16m的矩形花园如图 6.如图，这是一个矩形窗框的示意图，它由 所示，将它的长缩短xm、宽增加xm. 两个小矩形组成，现工人计划用长为 要想使改建后的花园面积达到最大，则x 6m的铝合金框条制作该窗框.当窗框 的值为 ( 的高AB为多长时，窗户的透光面积最 A.1 B.1.5 C.2 D.4 大？最大透光面积是多少？ B30° (第3题图) (第4题图) 4.如图，已知□ABCD的周长为8cm,∠B= 30°.若边长AB为xcm,□ABCD的面 积为ycm,则当x的值为时，y的 值最大，最大值为 5.如图，用长为23m的栅栏围成一个矩形 花圃ABCD,为方便进出，在边AB上留 有一个宽1m的小门EF. (1)设AD的长为xm,花圃的面积为 ym,求y关于x的函数表达式； ·39· 第3课时 商品销售中的利润问题 √知识梳理 内容 公式 利润=（售价一进价）×数量； 建立利润与价格之间的函数表达式（二次函数），再根 利润率=利润÷进价×100%； 据二次函数求最值的方法，即可求出最大利润 标价=进价×(1+利润率)； 实际售价=标价×打折率 针对训练 1.将进货价格为35元/个的商品按40元/个4.某电商以每件40元的价格购进某款T 售出时，能卖出200个，已知每个该商品的 恤，以每件60元的价格出售，一周的销量 价格每上涨2元，其销售量就减少10个 为500件，经调查，发现该T恤每降价1 设这种商品的售价为x元/个，获得的利润 元，本周的销量就会增加50件.若要求销 为y元，则下列关系式正确的是( 售单价不低于成本，且按照物价部门规 A.y=(x-35)(400-5x) 定，销售利润率不高于30%，则该电商一 B.y=(x-35)(600-10x) 周能获得的最大利润为 元 C.y=(x+5)(200-5x) 5.某旅行团组团外出旅游，每人单价1000 D.y=(x+5)(200-10x) 元；旅行团对超过10人的团给予优惠， 2.某超市销售一种商品，发现一周利润 即旅行团每增加1人，每人的单价就降 y(元)与销售单价x(元)之间的关系满 低50元.设一个旅行团的人数为x(x> 足y=一2(x-22)2十1558.由于某种原 10),旅行团可获得营业额为y元. 因，销售单价x的范围只能是15≤x≤20， (1)求y与x之间的函数表达式 那么一周可获得的最大利润是( (2)当x取何值时，y的值最大？最大营 A.1558元 B.1550元 业额为多少？ C.1508元 D.20元 3.某商店经销一种学生双肩包，已知这种双 肩包的成本价为30元/个.经市场调查发 现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售 价格x(元/个)有如下关系：y=一x十60 (30≤x≤60，且x为整数).当这种双肩包 的销售价格定为 元/个时，每天的销 售利润最大，最大利润为元 ·40· 第4课时 拱桥问题及其他问题 √知识梳理 常见情形 具体方法 抛物线型问题 拱桥、隧道、拱形门窗、高脚杯等 (1)建立适当的平面直角坐标系； 运动路线 运动员空中的跳跃轨迹、球类飞行 (2)求抛物线的函数表达式； (轨迹)问题 的轨迹、喷泉的轨迹等 (3)根据所求抛物线的函数表达式解答相关问题 针对训练 1.一小球被抛出后，距离地面的高度h(m) 4.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角 和飞行时间t(s)满足函数关系式h= 坐标系中设计了一款高OD为14cm的 一6(t一2)2+7，则小球距离地面的最大 奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y= 高度是 ( 音女+5的一部分，则杯口的日径AC为 A.2m B.5 m C.6 m D.7m 2.如图，某拱桥形状可看作抛物线的一部 m. 5.如图，一个抛物线形拱形桥洞离水面的 分，其表达式为y=一 之当水面宽度 最大高度AB为4m,跨度OC为10m. AB为20m时，拱桥顶部到水面的高度 (1)请建立适当的平面直角坐标系，并求 OD为 ( 抛物线的表达式； A.4 m y/m (2)求在AB右边1m的D处所对应的 B.2 m x/m 桥洞离水面的高. C.9 m D.10m 3.如图，某大门的形状是抛物线形，大门的 10m 地面宽8m,在两侧距地面3.5m高处 有两个挂牌匾用的铁环，两铁环的水平 距离是6m.建立如图所示的平面直角 坐标系，则抛物线的表达式是 (第3题图) (第4题图) ·41·5.解：(1)如图，四边形A'BC'D'即为所求.(2)A'(-3,3),B(-4,1),C(- D'(-1,2). 第四章投影与视图 1投影 第1课时投影与中心投影 针对训练 1.B2.B 3.解：如图示， B D 第2课时平行投影与正投影 针对训练 1.A2.C3.30 4.解：(1)如图，EF即为所求.(2)10 7777777 2视图 第1课时几何体的三视图 针对训练 1.D2.B3.B4.D 5.解：主视图正确，左视图、俯视图错误.正确画法如图所示， 左视图 俯视图 6.解：(1)(2)如图所示. 主视图 左视图 主视图 左视图 俯视图 俯视图 (1) (2) 第2课时 由视图确定几何体 针对训练 1.D2.C3.B4.C5.6 6.解：如图所示. 49 ,0), 主视图 左视图 7.解：(1)长方体(2)长方体的体积为10×12×15=1800(cm3),表面积为2×(10× 15+10×12+15×12)=900(cm2). 第五章二次函数 1认识二次函数 知识梳理 y=ax2十bx十c≠全体实数 针对训练 1.C2.B3.C4.D5.y=3.x2+7x-616.2 7.解：(1)由题意，得y=x(38一2x)=一2x2十38x.(2)9≤x<19(3)当x=2时，y= 一2×22+38×2=68.∴.养鸡场的面积为68m. 2二次函数的图象 第1课时二次函数y=x2和y=一x2的图象与性质 知识梳理 上下(0,0)(0,0)00增大减小减小增大 针对训练 1.A2.C3.D4.> 5.解：(1)一4-10-1-4(2)如图所示.(3)一4<y≤0 4 5 2 O -5-4-3-2V2345x 3 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2十c的图象与性质 知识梳理 (0,c)(0,c)cc增大减小减小增大 针对训练 1.D2.D3.m>24.y=2x2-35.> 6.解：(1)71一117(2)如图所示.(3)该抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为 (0,-1),最小值为-1.(4)a=2,k=1. 9 6 O 5-43-2斤2345x 第3课时二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 知识梳理 (h,0)(h,0)00增大减小减小增大 针对训练 1.A2.D3.B4.右35.< 一 50 6.解：函数图象如图所示.(1)上x=2(2,0)(2)y=(x+3)2 -4-2O■ 246 第4课时二次函数y=a(x一h)2+k的图象与性质 知识梳理 (h,k)(h,)k及增大减小诚小增大 针对训练 1.D2.D3.B4.> 5.解：(1)函数图象的开口向下，对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1，-4).(2)当x =一1时，函数有最大值，最大值为一4.(3)当x>一1时，y随x的增大而减小. 第5课时二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质 知识梳理 名一会如。#如。艺猫大减小减小增大 针对训练 1.C2.A3.C4.D5.y=(x-3)2+2 6.解：(1)把M(-2,3)代入y=-x2+mx+3,得-4-2m十3=3，解得m=-2.∴此抛 物线的表达式为y=一x2-2x十3=一(x十1)2十4..此抛物线的顶点坐标为（一1,4）. (2)当一3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4. 3二次函数的应用 第1课时确定二次函数的表达式 针对训练 1.A2.A3D4y=-（x-5+32 5.解：(1)（一1，一4）(2)二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(-3,0)，(1,0). (3)设y=a(x十1)2一4，将(0，一3)代入，得-3=a-4,解得a=1.∴.二次函数的表达式 为y=(x+1)2-4=x2+2x-3. 第2课时几何图形面积问题 针对训练 1.B2.B3.C4.22 5.解：(1)由题意，得y=x.23-?+1=一x2+12.y关于x的函数表达式是y 2 -x2+12x.(2)由(1)知y=-x2十12x=-(x-6)2+36,.当x=6时，y取得最大值， 最大值为36.∴.当x=6时，花圃的面积最大，最大面积是36m2. 6.解：设窗框的高AB为xm,窗户的透光面积为ym3.根据题意，得y=x·6,3江- 2 -名(x-102+号：x>0,6-3x>0,∴0<x<2.当x=1时，y有最大值，最大值为 号.答：当窗框的高AB为1m时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是》m。 第3课时商品销售中的利润问题 针对训练 1.A2.B3.452254.10800 5.解：(1)由题意，得y=[1000-50(x-10)]x=-50x2+1500x.∴.y与x之间的函数 表达式为y=-50x2+1500x.(2)由(1)知y=-50x2+1500x=-50(x-15)2+11 250,.当x=15时，y有最大值，最大值为11250.答：当x=15时，y的值最大，最大营 业额为11250元 —51— 第4课时拱桥问题及其他问题 针对训练 1.D2.A3.y=-2x+84.g 5.解：(1)答案不唯一，如：建立平面直角坐标系如图所示.由题意得抛物线的顶点A的 坐标为(5,4).设抛物线的表达式为y=a(x一5)2+4.把(0,0)代入，得0=a(0一5)2+ 4 4 4,解得a=一2方小抛物线的表达式为y=一23(x-5)2+4.(2)由题意，得0D=6m 当x=6时，y=一希×(6-5)2十4=器答：在AB右边1m的D处所对应的桥洞离水 面的高为碧m m O -10m Cx 4二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程 知识梳理 不相等两相等一 针对训练 1.A2.D3.x1=-1,x2=54.-45.10 6.解：1)把A(-2,0),B(-1,4)代人y=-2+z十c,得仁4二26+c=0 1-1-b+c=4, 解得 ”抛物线的表达式为y=-2十x十6.(2)=3，=-2(3)m>2华 c=6. 第2课时利用二次函数图象求方程的近似根、解不等式 知识梳理 大于小于解集 针对训练 1.C2.C3.C4.0<x<15.3.2 6.解：(1)如图所示.(2)一元二次方程x2一2x一1=0的近似根为x1≈-0.4，x2≈2.4. (3)不等式x2-2x-1>2的解集为x<-1或x>3. -3-2-TNO134x 第六章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求概率 针对训练 1.D2.C3.D4.6 5.解：列表如下： 2 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 52 共有9种等可能的结果，其中摸出的两球上的数字之和是4的结果有3种，∴摸出的两 球上的数字之和是4的概率为9=3： 31 6.解：画树状图如下： 开始 第1张 净 第2张旦净丑生净丑生旦丑生旦净 共有12种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果有6种，抽取 到的两张卡片中有“生“的概率为品=宁 第2课时 利用概率判断游戏的公平性 针对训练 1号乙 2.解：画树状图如下： 开始 小明 5 7 小东579479459457 共有12种等可能的结果，其中数字之和小于13与不小于13的结果各有6种，∴.P(小 明获胜)=P(小东获胜)=是-分这个游戏公平。 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 针对训练 1.c2号 3.解：画树状图如下： 开始 红 蓝 蓝 白蓝蓝红蓝蓝红白蓝红白蓝 共有12种等可能的结果，其中摸到的两管颜料的颜色能配成紫色的结果有4种，.摸 到的两管颜料的颜色能配成紫色的概率为23· ,4=1 2用频率估计概率 知识梳理 针对训练 1.C2.A3.D4.0.225.4 6.解：(1)0.95(2)需购买约19000÷0.95=20000（株）郁金香. 提分小卷 阶段小测（一） 1.D2.D3.C4.C5.D6.A7.48.120°9.16√510.3√5 11.证明：四边形ABCD是矩形，∴.AD=BC,AD∥BC.∴∠DAF=∠BCE.:BE⊥ AC,DF⊥AC,∴.∠AFD=∠CEB=90°.∴.△AFD≌△CEB(AAS).∴.AF=CE. 12.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.OB=OD.∴.O是BD的中点.DH⊥AB, ∴∠DHB=90.OH=号BD=OD,∠OHD=∠ODH.(2)解：四边形ABCD是 菱形，AB=BC=CD=AD,0D=号BD=3,AC=20C=8,BD1AC.CD= 53 VOC+0D=5.∴菱形ABCD的周长为4CD=20,S爱#aD=号AC·BD=24. 13.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.,BE=DF,'.OB BE=OD-DF,即OE=OF.∴.四边形AECF是平行四边形.AC=2OE,EF=2OE, ∴AC=EF.四边形AECF是矩形.(2)解：，四边形AECF是矩形，∠AEC=90°. :∠ACE=30°，∴∠OAE=90°-∠ACE=60°.：四边形AECF是矩形，∴.OA=OE. .△AEO是等边三角形..∠AOE=60°，OA=AE=4.∠BAC=90°，.∠ABO=90° -∠AOE=30°..OB=2OA=8..AB=√OB2-OA=4√3.AC=2OA=8,∴.BC =V√AB+AC=4√7. 14.(1)证明：EF是对角线AC的垂直平分线，.OA=OC,AC⊥EF.,四边形ABCD 是矩形，.AD∥BC..∠AEO=∠CFO.又：∠AOE=∠COF,∴.△AEO≌△CFO (AAS)..AE=CF..四边形AFCE是平行四边形.又，AC⊥EF,∴四边形AFCE是 菱形.(2)解：四边形ABCD是矩形，∠B=90°，BC=AD=8.∴AC=√AB2十BC =45.由(1)知四边形AFCE是菱形，0C=7AC=26.设AF=x,则CF=x,BF =BC-CF=8-x.在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF,即42+(8-x)2=x2,解得x= 5..CF=5.∴.OF=√CF-OC=√5.∴.EF=2OF=2√5. 几何专练（一）特殊平行四边形的性质与判定 1.解：，E,F分别是AB,AD的中点，.EF是△ABD的中位线..BD=2EF=4.,四 边形ABCD是菱形，∴.AB=AD.又，∠A=60°，∴.△ABD是等边三角形.∴.AB=BD =4..菱形ABCD的周长为4AB=16. 2.证明：，四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD,BD=2BO.∴.∠ABD=∠CDB. ,AC=2BO,.AC=BD.∴.四边形ABCD为矩形.：BD为∠ABC的平分线， .∠ABD=∠DBC.∴.∠CDB=∠DBC.∴.BC=CD.∴.□ABCD为正方形. 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D.CE= CD,.AB=CE..四边形ABEC是平行四边形..AE=2AF,BC=2BF.,∠AFC= ∠ABC+∠BAE=2∠D,.∠ABC=∠BAE..AF=BF..AE=BC..四边形ABEC 是矩形 4.证明：(1)：四边形ABCD是矩形，.CD∥AB.CE∥BD,.四边形DBEC是平行 四边形.(2)：四边形ABCD是矩形，∴.BD=AC.,四边形DBEC是平行四边形， ∴.BD=CE..AC=CE. 5.(1)证明：∠BAC=∠ACB,AB=BC..□ABCD是菱形.∴.AC⊥BD.(2)解： :四边形ABCD是菱形，0A=是AC=8,OB=合BD,AC⊥BD.:OB= √AB-ON=6.BD=20B=12.∴S菱#am=号AC·BD=96. 6.证明：(1)四边形ABCD为正方形，∴.AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°.在△EAB (AB=CB, 和△ECB中，∠ABE=∠CBE,∴△EAB≌△ECB(SAS).(2),'四边形ABCD为正 BE=BE, 方形，∴.∠BDC=45°.，△EAB≌△ECB,∠AEC=45°，∴.∠CED=∠AED= ∠ABC=2.5∠DCE=∠BDC-∠CED=2.5.∴∠CBD=∠DCE.=DE 7.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC.:△EAC是等边三角形， ∴.EA=EC.∴.EO⊥AC.∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(I)知四边形ABCD是菱 形，OA=OC=合AC=4,OB=0D.在R△AOB中，OB=VAB-O=3,∴0D= OB=3.△EAC是等边三角形，∴.AE=AC=8.在Rt△AOE中，OE=W√AE2-OA =4√3，.DE=OE-OD=4W3-3. 8.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.OB=OD.:E是AD的中点，.OE是△ABD 的中位线..OE∥FG.,OG∥EF,∴.四边形OEFG是平行四边形.，EF⊥AB, ∠EFG=90°.∴.四边形OEFG是矩形.(2)解：四边形ABCD是菱形，∴.BD⊥AC, 54