第2章 2 一元二次方程的解法（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

课堂训练 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 知识梳理 有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等，并且有一个角是直角两四 针对训练 1.D2.A3.C4.矩形5.75 6.解：，四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB=8,BC=AD=15.,∠ABC=90°，∴.AC= √AB+BC=17.:0是AC的中点，M是AD的中点.∴0C=2AC=8.5,DM= 之AD=7.5,OM是△ACD的中位线.0M=合CD=.:四边形0MDC的周长为 OM+DM+CD+OC=4+7.5+8+8.5=28. 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 相等垂直 针对训练 1.C2.B3.B4.C5.35 6.解：(1)5030(2)四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BD=2OB.在Rt△AOB 中，AB=50,OA=30,∴.OB=√AB2-OA2=40.∴.BD=2OB=80. 第2课时菱形的判定 知识梳理 相等相等垂直 针对训练 1.D2.C3.OA=OC(答案不唯一)4.四边相等的四边形是菱形 5.证明：，AE⊥BC,CF⊥AB,∴.SOABCD=BC·AE=AB·CF.AE=CF,∴.BC= AB.,.□ABCD是菱形 6.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠ADB=∠CBD.BD平 分∠ABC,∠ABD=∠CBD.∠ABD=∠ADB..AB=AD.□ABCD是菱形. (2)口ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BO=DO.,EC=BC,.OC是△BDE的中位线. ∴.OC∥DE..DE⊥BD.∴∠BDE=90. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 直角相等一半 针对训练 1.C2.C3.D4.A5.56.35° 7.证明：.四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.，PB=PC, ∴.∠PBC=∠PCB.∴.∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB,即∠ABP=∠DCP. ∴.△ABP≌△DCP(SAS).∴.PA=PD. 第2课时矩形的判定 知识梳理 平行四边形直角相等 针对训练 1.D2.C3.C4.有三个角是直角的四边形是矩形5.90° 6.(1)证明：，AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形..AC=2OA,BD= 2OD.,OA=OD,∴AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：由(1)可知四边形 ABCD是矩形，.∠BAD=90°.，OA=OD,∠AOD=60°，.△AOD是等边三角形 ∴.OD=AD=5.∴.BD=2OD=10.∴.AB=√BD2-AD=5W3. —43 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 直角相等相等垂直平分 针对训练 1.B2.B3.B4.D5.(-2,2)6.2 7.证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=DC,∠ADC=90°.∠ADE+∠CDF= 90°.AE⊥DP,CF⊥DP,.∠AED=∠DFC=90°..∠CDF+∠DCF=90°. ∠AED=∠DFC, ∴.∠ADE-∠DCF.在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF,∴.△ADE≌△DCF(AAS) AD-DC, 第2课时正方形的判定 知识梳理 邻边直角矩形垂直直角菱形 针对训练 1.D2.D3.正方形4.∠ABC=90(答案不唯一) 5.(1)证明：连接AC,交BD于点O.,四边形ABCD为菱形，∴AO=CO,BO=DO,AC ⊥BD.BE=DF,BO+BE=DO+DF,即EO=FO..四边形AECF是菱形.∴AE =AF...∠AFE=∠AEF=45°..∠EAF=180°-∠AFE-∠AEF=90°..四边形 AECF为正方形.(2)解：20 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 一整式常数项二次项系数一次项系数 针对训练 1.A2.B3.C4.-115.-1(答案不唯一，k≠1即可) 6.解：(1)设其中一个数为x.根据题意，可列方程为x(5一x)=6.(2)设长方体铁盒底 面的宽为xcm.根据题意，可列方程为6x(x十5)=750. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 相等 针对训练 1.C2.A3.B4.-2<x<-15.2 6.解：(1)3-1120.36-0.011.61.7(2)x的值约为1.7. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 知识梳理 完全平方式一半 针对训练 1.A2.A3.m≤14.534 5.解：(1)移项，得5x2=80.两边都除以5，得x2=16.两边开平方，得x=士4..x1=4, x2=一4.(2)两边都除以2，得(x一1)2=9.两边开平方，得x一1=士3..x1=4,x2= -2.(3)配方，得x2+6x十32=6+32，即(x+3)2=15.两边开平方，得x+3=士√15. ∴x1=-3十√15，x2=-3-√15.(4)移项，得x2-3x=一2.配方，得x2-3x十 (号)》”=-2+（号）广，即(x一号）广=子两边开平方，得x一多=土分=26=1 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 知识梳理 一半 44 针对训练 1.D2.B3.x2-4x-2=02222262+√62-√6 4.解：1)两边都除以2，得x+受=子配方，得2+受+（什）°=合+（分），即 (红+号)°-6两边开平方，得x+子=士是.函=号函=-1.(2)两边都除以3， 得x-2x+号=0.移项，得2-2x=-子配方，得2-2x+1=-号+1，即(x 1少-导两边开平方，得一1=士9=1+号=1-怎（3)丙边都除以，得 2-号-是=0，移项得2-号x=是配方，得-是+(）°=是+()月， 即（一）广=器两边开平方，得x一是=士=3+，=3二区 4 4 (④)整理，得2：十7x=7.两边都乘2，得2十14x=14.配方，得x+14x+7-14+ 72,即(x+7)2=63.两边开平方，得x十7=士3√7..x1=一7+3V7,x2=-7-3V7. 第3课时用公式法求解一元二次方程 知识梳理 不相等相等一品设有 针对训练 1.B2.B3.B4.5二35-3255.8 2 2 6.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2一3x十3=0.这里a=1,b=一3，c=3.,b2- 4ac=(-3)2-4X1×3=-3<0.原方程没有实数根.(2)这里a=2,b=-√2，c= 1.0-4ac=(-②2-4X合×1=0，x--《②±0-，即西=4=E. 2x 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 知识梳理 00 针对训练 1.C2.C3.B4.0或2 5.解：1)原方程可变形为x(5x+3)-0.x-0,或5x十3-0.=0，=-号 (2)原方程可变形为x(x一2)一3(x一2)=0.'.(x一2)(x一3)=0.∴.x一2=0，或x一3 =0..x1=2,x2=3.(3)原方程可变形为(x-1)2-2(x-1)=0..(x-1)(x-1-2) =0,即(x-1)(x-3)=0.x-1=0,或x-3=0.∴.x1=1,x2=3.(4)原方程可变形 为3(x-5)2-(x十5)(x-5)=0..(x-5)(3.x-15-x-5)=0,即(x-5)(2x-20)= 0..x-5=0,或2x-20=0.∴x1=5,x2=10. 3一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 -台 针对训练 1.D2.D3.A4.12 5.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2-√2x-3=0.这里a=1,b=一√2，c=-3.4 =b-4ac=(-√2)2-4×1×(-3)=14>0，.方程有两个实数根.∴.x1十x2=√2， x1x2=一3.(2)将原方程化为一般形式，得x2-x-5=0.这里a=1,b=一1，c=-5. △=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-5)=21>0,.方程有两个实数根.∴.x+x2=1, x2=-5. 6.解：(1)：方程x2-3x+2m=0有两个不相等的实数根，△=（-3)2-4×2m>0, 452一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 √知识梳理 通过配成 的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的 配方法 方法称为配方法 一般步骤： 用配方法解二次 (1)把常数项移到方程的右边； 项系数为1的 (2)方程两边加上一次项系数 的平方，化成(x十m)2=n(n≥0)的形式； 元二次方程 (3)直接开平方求解 (1)移项时注意符号变化； 易错警醒 (2)两边同时开方时，勿漏“士”号 ◇针对训练 1.一元二次方程x2=2的根是( (2)2(x-1)2=18; A.x1=√2，x2=-√2 B.x1=1,x2=2 C.x1=x2=√3 D.x1=x2=-√3 2.用配方法解一元二次方程x2-2x=2 (3)x2+6x=6; 时，应在方程两边同时加上 ( A.1 B.2 C.-1D.4 3.若关于x的一元二次方程(x一2)2=1一m 有实数根，则m的取值范围是 4.将方程x2+10x-9=0化为(x十n)2=p 的形式，则n的值为，p的值为 (4)x2-3x十2=0. 5.解下列一元二次方程： (1)5x2-80=0; ·10· 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 √知识梳理 一移（移项）：将常数项移至等号右边，含未知数的项移至等号左边 二化（二次项系数化为1）：左右两边同时除以二次项系数 配方法解方程的一般步骤 三配：左右两边同时加上一次项系数 的平方 四开：根据平方根的意义直接开平方 ◇针对训练 1.将方程2x2一4x一3=0进行配方，结果 (2)3x2-6x+1=0; 正确的是 ( ) A.(x-1)2=0 B.(x-1)2=4 C(x-10-3 D.(x-1)2=5 2 2.用配方法解一元二次方程一3x2十12x 2=0时，将它化为(x十a)2=b的形式， 则b的值为 ( A号 号 C.2 (3)4x2-6x-3=0; 3.小明解方程22一2x-1=0的过程如 下，将他的解答过程补充完整. 解：两边都除以号，得 移项，得x2一4x= 配方，得x2一4x十 =2十 ,即 (x-)2=· .x1= ,x2= 4.用配方法解下列方程： (0分(x+6)-7=-4x (1)2x2+x=1; ·11· 第3课时用公式法求解一元二次方程 一知识梳理 求根公式 x=-b±VB-4ac 2a 用公式法解方程 ax2+bx+c=0 2-4ac>0台方程有两个 的实数根，即x=一b士V一4ac (a≠0) 2a 根的情况 b2一4ac=0台方程有两个 的实数根，即x1=x2= b2-4ac<0台方程 实数根 (1)一元二次方程有两个实数根的隐含条件为b2-4ac≥0； 易错警醒 (2)当b2一4c=0时不能说方程有一个实数根，而是有两个相等的实数根，写法 上也要注意 针对训练 1.用公式法解方程x2一2=一3x时，a,b,c6.用公式法解下列方程： 的值依次是 ( (1)x2-3x=-3; A.0,-2,-3 B.1,3,-2 C.1,-3,-2 D.1,-2,-3 2.一元二次方程2x2十x一5=0的根的判 别式的值是 () A.24 B.41C.-41D.-24 3.一元二次方程x2一5x一4=0的根的情 况是 ( A.有两个相等的实数根 (2)2r-Bx+1=0. B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.用公式法解方程x2+3x十1=0，b2一4ac 的值为，方程的解为x= x2= 5.若关于x的方程x2一x十2=0有两个 相等的实数根，则飞的值是 ·12· 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 √知识梳理 因式分解法的依据 若ab=0,则a= 或b= 一移、二分、三化、四解： 因式分解法的 ax2+bx十c=0(a≠0)->(x+m)(x十n)=0>x+m=0,或x十n=0>x1= 一般步骤 m,x2=—n 易错警醒 利用因式分解法解方程时，切忌方程两边同时约去公因式，避免方程造成失根 针对训练 1.方程(x一3)(x十2)=0的根是（ (2)x(x-2)=3x-6; A.x1=-3,x2=-2 B.x1=-3,x2=2 C.x1=3,x2=-2 D.x1=3,x2=2 2.解方程2(x一2)2=3(x一2)最合适的方 法是 ( A.配方法 B.公式法 C.因式分解法 D.无法确定 (3)(x-1)2+2-2x=0; 3.解一元二次方程3x(x一1)=2x一2，变 形正确的是 ) A.(x-1)(3x+2)=0 B.(x-1)(3x-2)=0 C.3x(x-2)=0 D.3x(x+2)=0 (4)3(x-5)2=x2-25. 4.若(m+n)(m+n-2)=0,则m十n的值 为 5.解下列方程： (1)5x2+3x=0; ·13